Fiche d`exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions

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Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions
Continuité
Exercice 3
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur [ 3 ; + ∞ [ par :
f(x) = E(x) pour x ∈ [3 ; 4[
1
f(x) = – x + 4 pour x ∈ [ 4 ; + ∞ [
4
a. Tracer la représentation graphique de cette fonction dans un repère orthonormal du
plan.
b. Cette fonction est-elle continue sur [3 ; + ∞ [? Pourquoi ?
Exercice 2
La fonction donnée ci dessous représente une fonction définie sur [0 ;4].
Exercice 4
1. a. Donner le tableau de variation de f.
b. La fonction f est-elle continue sur [0 ; 4] ?
2. a.
Sur l’intervalle [2 ; 4], pour résoudre l’équation f (x ) =
3
, quel théorème peut2
on appliquer et pourquoi ?
b. En appliquant ce théorème à l’intervalle [2 ; 4], montrer que l’équation
f (x ) =
3
admet une unique solution α.
2
c. Donner une valeur approchée de α.
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Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016
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Etude de fonctions - Problème de synthèse
Dérivabilité
Exercice 8
Exercice 5
Etudier les variations de chacune des fonctions suivantes après avoir précisé les
ensembles de définition et de dérivabilité.
a. f (x ) = (x − 1)2 (x + 1)3
b. f (x ) =
1
(4 − 5x )3
(
)
e. f (x ) = x 4 − x 2 + 1
f. f (x ) =
(
1
)
x x −1
3
2
 3x − 1 
g. g(x ) = 

 2x − 4 
3
c. f (x ) =
(x + 1)3
(x − 1)2
d. f (x ) = 2x 2 − 3x + 1
h. f (x ) = x x − 1
i. f (x ) =
4
j. f (x ) =
x2
x2 +1
x 2 −1
x2 +1
Exercice 6
Exercice 9
Exercice 7
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Exercice 10
Exercice 14
1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa fonction dérivée :
Exercice 11
Soit f la fonction définie par : f (x ) = x 2 − x 3
1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f.
2. Démontrer que f est continue sur Df.
3. Etudier la dérivabilité de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.
Exercice 12
On donne f la fonction définie par :
a. f est définie sur ℝ par f(x) = (x3 – 2)2
b. g est définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = 3x + 1
1
c. h est définie sur [0 ; +∞[ par h(x) =
5x + 3
2. Déterminer les dérivées de chacune des fonctions suivantes :
a. f : x a x2 – 1 sur [2 ; +∞[
3
1
b. h : x a  – 2x sur ℝ*
x

3. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition et
l’ensemble sur lequel elle est dérivable.
Déterminer alors la dérivée de chacune d’elles.
1
a. f(x) = x² –
b. g(x) = (2x + 3) 3x – 5
x
x² + 7
1
d. k(x) =
c. h(x) =
x² – x – 6
(5x² – 3)3
e. m(x) = (2x3 + 3x – 1)4
f. n(x) = x4 + x2 + 1
3
4. On pose : g(x) = 2x + x – 2.
a. Etudier les variations de g.
b. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet dans ℝ une solution unique α.
c. Déterminer une valeur approchée de α à 10-2 près.
d. Etudier le signe de g(x) selon les valeurs de x.
x2 − 4
f (x ) =
x −2
1. Déterminer l’ensemble de définition D de f.
2. Ecrire f sans valeur absolue
3. Démontrer que f est continue sur D.
4. Représenter la courbe représentative de f.
Exercice 15
Exercice 13
On considère la fonction suivante définie D = ]-2 ; 1 [
f (x ) = E (x ) sin(x )
E désignant la fonction partie entière
Etudier la continuité de f sur D.
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Exercice 16
Exercice 17
On considère la fonction h définie par : h(x) = 2x3 – 3x2 – 12x.
1. Dresser le tableau de variation de h.
2. Pour k réel donné, étudier le nombre de solutions dans ℝ de l’équation
h(x) = k.
3. Démontrer que l’équation h(x) = 8 a une solution unique α. Donner un encadrement de
α à 10-2 près.
Exercice 18
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Exercice 19
Exercice 21
Exercice 20
Exercice 22
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Exercice 23
Exercice 25
Exercice 24
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Exercice 27
Exercice 26
Exercice 28
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x ) =
3(x − 1)3
et soit C sa courbe représentative
3x 2 + 1
dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’unité 1cm.
1. Montrer qu’il existe un unique triplet de réels (a ; b ;c) que l’on déterminera, tel
que pour tout x réel x :
cx
f (x ) = ax + b + 2
3x + 1
2. Déterminer les limites de f en -∞ et en +∞.
3. Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée.
4. Dresser le tableau des variations de f.
5. Donner l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer A, T et la
courbe C.
6. Montrer que l’équation f(x) = 1 a une solution unique dans ℝ. On notera α cette
solution. Donner une valeur approchée de α à 10-2 près par excès.
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Annales baccalauréat
Exercice 29 (Métropole 21 Juin 2012)
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