Equations de Lagrange.

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Sujet
IV - Théorème des travaux virtuels. Forces généralisées.
4.1 Enoncé.
Soit les forces suivantes :
F i : force donnée (connue) dont la loi de comportement est donnée,
R i : réaction (inconnue auxiliaire),
f i : force d'inertie relative à la masse mi de Mi :
f i = − mi !r!i (i fixé, sans sommation). La deuxième loi de Newton, ou RFD donne :
Fi + R i + f i = 0
∀ Mi
Fi + Ri = mi!r!i , i fixé ou encore :
à i fixé
(principe d'équilibre généralisé ou principe de d'Alembert). On a évidemment pour un déplacement virtuel δr i (à t figé) :
(F + R + f ).δr
i
i
i
i
=0
i muet
i : [1, N]
en raison de la nullité de la somme ( ) : c'est l'expression du théorème des travaux virtuels.
4.2 Forces généralisées.
A l'aide des équations de transformations : δr i =
(
)

δr i
δr i
δr i
0 = Fi + Ri + f i .δr i =  Fi .
+ f i.
+ Ri .
 δqs
q
qs
δ
δ
s

∂r i
δqs , le théorème des travaux virtuels devient :
∂qs

 δqs


soit en posant :
δr i
δqs
: force d'inertie généralisée,
Q s = Fi .
δr i
δqs
: force donnée généralisée,
ℜ s = Ri .
δr i
δqs
: réaction généralisée,
ℑs = f i .
on obtient le théorème des travaux virtuel en coordonnées généralisées :
(ℑs + Qs + ℜs ) δqs = 0
s muet
s : [1, n]
Remarque importante : s'il existe des liaisons non holonomes alors : (ℑs + Q s + ℜ s ) ≠ 0 car les δqs sont liés par ces liaisons
non holonomes (dans l'exemple du cerceau roulant et pivotant il y a deux liaisons non holonomes donc seulement n-r' = 5-2 = 3
variations δq s indépendantes alors qu'il existe n = 5 coordonnées généralisées qs indépendantes).
C'est seulement dans le cas d'absence de liaisons non holonomes qu'on pourra écrire :
(ℑs + Q s + ℜ s ) = 0
liaisons toutes holonomes.
V - Equations de Lagrange.
5.1 Remarque analytique de Lagrange.
Soit à démontrer :
∂r! i
∂r i
.
=
∂qs ∂q! s
Equations de transformations : r i = r i (, qs , t ) dont les dérivées donnent :
∂r i !
∂r i
r!i =
qk +
∂qk
∂t
Les quantités
k muet
k : [1,n] .
∂r i
∂r i
et
sont fonction des qk et éventuellement du temps mais non des
∂qk
∂t
q! k d'où :
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∂r i
∂r i
∂r! i
δks =
=
∂qs
∂q! s ∂qk
Sujet
δ ks indice de Kronecker. On a bien :
avec
∂r! i
∂r i
=
∂qs ∂q! s
5.2 Identités de Lagrange.
Pour i fixé on peut écrire :
(− ℑs )i = mi!r!i . δr i
δq s
(− ℑs )i =
=
d  ! ∂r i
mi r i .
∂q s
dt 
d  ! ∂r! i
mi r i .
∂q! s
dt 


 − m r! i . d  ∂r i
i

dt  ∂qs



 − m r! i . d  ∂r i
i

dt  ∂qs





or :
∂r! i
∂r i
d'où :
=
∂qs ∂q! s




On suppose les dérivées secondes continues donc :
d  ∂r i
dt  ∂qs
(− ℑs )i
(− ℑs )i =



 = ∂  dr i  = ∂ r! i soit :
 ∂qs  dt  ∂qs



d
∂r!i 
∂ !
ri
=  mi r! i .
− mi r! i .
dt 
∂q! s 
∂qs

d ∂

dt  ∂q! s

 !2
 mi r i
 2


2
N
Par définition l'énergie cinétique du système s'écrit : T =
2 



∂  mi r! i 
−
  ∂q  2 


s 



mi r! i
. Par sommation sur i on obtient les identités de Lagrange :
2
i =1
∑
− ℑs =
d  ∂T

dt  ∂q! s
 ∂T
−
 ∂q
s

5.3 Equations du mouvement avec ℜ s δq s = 0 (liaisons parfaites).
5.3.1 Liaisons toutes holonomes (l.h).
Le théorème des travaux virtuels en coordonnées généralisées s'écrit :
(ℑs + Qs + ℜs ) δqs = 0
s muet
s : [1, n]
Or ici les liaisons sont toutes holonomes donc les variations δqs sont indépendantes, comme ℜ s δqs = 0 la condition
d'indépendance se traduit par :
ℑs + Q s = 0
soit, à l'aide des identités de Lagrange :
d  ∂T

dt  ∂q! s
 ∂T
−
 ∂q = Q s
s

Remarque : la condition de liaisons parfaites ℜ s δqs = 0 avec des liaisons toutes holonomes (donc δqs indépendants) conduit à
ℜs = 0
ce qu'on vérifie facilement, par exemple, sur le pendule simple avec
q =ϕ :
ℜ = R.
∂r
=0
∂q
R n'étant autre que la tension
exercée par le fil du pendule sur la masse m.
Forces dérivant d'un potentiel : Q s = −
Alors on peut écrire :
∂V
, avec : V = V (, qs , t ) , V ne dépendant pas des
∂qs
d  ∂ (T − V )  ∂ (T − V )

−
=0
∂q s
dt  ∂q! s 
q! s ,
Lagrangien : L(q! s , qs , t ) = T(q! s , qs , t ) − V (qs , t ) , homogène à une énergie. En introduisant le lagrangien dans l'expression
précédente on obtient les équations de Lagrange :
d  ∂L

dt  ∂q! s
 ∂L
−
 ∂q = 0
s

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Impulsion généralisée :
ps =
Sujet
∂L
∂q! s
qui s'identifie avec les composantes de la quantité de mouvement si les
q s sont les coordonnées cartésiennes.
Les équations de Lagrange se réécrivent avec les impulsions généralisées sous la forme très condensée :
∂L
p! s =
∂qs
qα : si le lagrangien ne dépend pas de la coordonnée qα on dit alors que qα est une coordonnée
cyclique (invariance du lagrangien par rapport à qα ). Cette invariance a une importance fondamentale :
Coordonnées cycliques
∂L
= 0 ⇒ p! α = 0 ⇒ p α est une constante du mouvement.
∂qα
Exemple : loi de force centrale. L'angle θ n'intervient pas dans le lagrangien ce qui entraîne
pθ = Cte , on retrouve la loi des
aires relativement au mouvement de Kepler.
5.3.2 Existence de liaisons non holonomes-multiplicateurs de Lagrange.
Le théorème des travaux virtuels en coordonnées généralisées, avec des liaisons parfaites, s’écrit :
(ℑs + Q s )δqs
=0
(1)
Les δqs vérifient les r’ relations non holonomes :
a ls δ qs = 0 avec : " ∈ [1, r '] et r’<n.
(2)
A partir de ces r’ éqs. on peut exprimer r’ des quantités δqs (variations et non coordonnées) en fonction des (n-r’) autres
quantités δqs, par exemple les r’ premières :
δq1 = δq1(δqr '+1,...δqn , q1,...qn )
.....................................................
δqr ' = δqr ' (δqr '+1,...δqn , q1,...qn )
Les (δq1,...δqr’) seront dépendantes des (n-r’) autres, les δqr’+1,...δqn étant alors indépendantes.
On multiplie par λl chacune des l.n.h (2) et on ajoute le résultat à l’expression (1) :
(λ "a "s + (ℑs + Q s ))δqs = 0
(3)
il y a n (...+(...)) parenthèses extérieures contenant chacune (r’+1) termes, soit en développant :
(λ1a11 + ...λ r 'ar '1 + (ℑ1 + Q1 ))δq1 + ...(λ1a1n + ...λ r 'ar 'n + (ℑn + Qn ))δqn = 0
Prenons arbitrairement égaux à zéro les coefficients des variations dépendantes, on obtient alors r’ équations à r’ inconnues λl
tels que :
λ " a "s + (ℑs + Q s ) = 0
s ∈ [1, r ']
(4a)
il ne reste alors dans la somme (3) que les termes relatifs aux quantités indépendantes : δqr’+1,...δqn, et ces termes doivent être
tous nuls afin d’assurer l’indépendance des δqs, ( s ∈ [r '+1, n] ), soit :
λ " a "s + (ℑs + Q s ) = 0
s ∈ [r '+1, n]
(4b)
Les deux expressions (4a) et (4b) peuvent donc se résumer sous la forme :
λ " a "s + (ℑs + Q s ) = 0
s ∈ [1, n]
(5)
c’est à dire n équations comportant r’ multiplicateurs λl, ce sont les équations de Lagrange avec multiplicateurs que l’on
obtient en rappelant que :
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− ℑs =
d  ∂T

dt  ∂q! s
Sujet
 ∂T
∂V
−
 ∂q (identités de Lagrange), et : Q s = − ∂q
s
s

soit finalement :
d  ∂L

dt  ∂q! s
 ∂L
−
 ∂q = λ " a "s
s

(6)
On obtient n relations entre les n coordonnées généralisées qs et les r’ coefficients λl, mais le problème n’est pas indéterminé
car les l.n.h fournissent les r’ autres relations nécessaires. La difficulté est d’ordre analytique car il faut éliminer les λl en
procédant par dérivation des l.n.h et en substituant leurs valeurs dans les équations du mouvement (cf : exercice sur le cerceau).
Exemple de variations dépendantes (cerceau) :
Ecrivons la condition de non glissement en J, R(ψ/Oz) désignant la matrice de rotation d’angle ψ autour de Oz :
x!  a(ϕ! + ψ! cos θ)
0   Vt 

!   !
   

0  =  Vr  = R(ψ / Oz )y  + aθ sin θ

z!  − aθ! cos θ
0   Vn 
 


z
z’
on multiplie par R(-ψ) les deux membres :
sin(− ψ ) 0  a(ϕ! + ψ! cos θ)
0 x!   cos ψ

 !
  !  

0 = y  + − sin(− ψ ) cos ψ 0  aθ sin θ

0 z!  
0
0
1 − aθ! cos θ

O
G
O’
x
y
ψ
J
G’
t
ou encore, en multipliant par dt les expressions ci-dessous et en remarquant que les liaisons sont stationnaires (donc en
identifiant formellement les différentielles et les variations), on obtient finalement les variations δx, δy, δz en fonction des
variations δψ, δθ et δϕ et de fonctions de ψ et de θ :
x! = −a(ϕ! + ψ! cos θ)cos ψ + aθ! (sin ψ sin θ ) , soit :
y! = −a(ϕ! + ψ! cos θ)sin ψ − aθ! (cos ψ sin θ) , soit :
z! = aθ! cos θ , soit :
δx = −(a cos ψ cos θ )δψ + (a sin ψ sin θ )δθ − (a cos ψ )δϕ
δy = −(a sin ψ cos θ)δψ − (a cos ψ sin θ)δθ − (a sin ψ )δϕ
δz = (a cos θ)δθ
Le choix des r’ variations dépendantes est arbitraire mais il est guidé par la simplification des dépendances fonctionnelles des
seconds membres (par exemple ici x, y, z et ϕ n’interviennent pas en tant que coordonnées dans les seconds membres).
Remarque : confusion à éviter entre le nombre n de degrés de liberté (ou coordonnées généralisées indépendantes) et celui (nr’) de variations ou, ici, de vitesses généralisées. Il peut être tentant d’écrire l’énergie cinétique T sous la forme T ψ! , θ!, ϕ! , ψ, θ, ϕ
après avoir substitué les valeurs de x! , y! tirées des deux relations non holonomes ci-dessus. L’énergie potentielle V ne
dépendant que de θ, on pourrait alors penser que trois relations de Lagrange relatives à ψ, θ et ϕ suffisent. En fait les équations
de Lagrange (ou équations du mouvement en coordonnées généralisées) qui sont des relations linéaires relativement aux
!!s donnent les solutions sous la forme q s (t ), coordonnées en nombre n qui ne peut être réduit à (n-r’).
accélérations q
(
5.4 Equations du mouvement avec résistances passives : ℜ s δq s ≠ 0 .
5.4.1 Liaisons toutes holonomes.
Du théorème des travaux virtuels : (ℑs + Q s + ℜs )δqs = 0
on déduit, puisque les δqs sont indépendants : ℑs + Q s + ℜs = 0 , soit encore :
d  ∂L

dt  ∂q! s
 ∂L
−
 ∂q = ℜ s
s

(7)
)
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Sujet
On obtient n relations entre les n coordonnées qs (et leurs dérivées) et les n inconnues (au plus)
ℜ s : pour que le problème ne
soit pas indéterminé il faut n relations supplémentaires concernant les lois de force des réactions par exemple la loi de
Coulomb du type (cf : cerceau) :
ℜ t = µℜ n
µ <1
5.4.2 Existence de liaisons non holonomes à résistances passives.
En reprenant §5.3.2 et l’existence des travaux non nuls dus aux
d  ∂L

dt  ∂q! s
ℜ s les équations de Lagrange s’écrivent :
 ∂L
−
 ∂q = ℜ s + λ " a "s
s

(8)
Le problème est alors à (n + n + r’) inconnues avec (n + r’) équations auxquelles il faut nécessairement ajouter les n relations
supplémentaires relatives aux lois de comportement des réactions.
Remarque : travail d’une l.n.h, a priori parfaite, dans un déplacement virtuel non compatible avec la liaison : si on considère,
dans une l.n.h, un δqα comme indépendant alors tout se passe comme si on faisait travailler une réaction correspondante.
Exemple :
λ1a1α
représente dans l’équation (6) le travail de la liaison 1 intervenant selon le degré de liberté qα.