Modélisation des machines électriques en régime transitoire

Equipements électriques 2
Modélisation des machines électriques
en régime transitoire
Introduction à la commande vectorielle
Bruno FRANCOIS
1
Plan
1 Rappels et Principe du contrôle vectoriel,
2 Machine Synchrone
3 Machine Asynchrone
Annexe : Application à une machine diphasée alternative
4 Onduleurs
2
Équipement Électrique
Modèle en régime permanent – Modèle en régime transitoire
Fondamentaux :
Pour contrôler la vitesse, quelle est la grandeur d’un moteur qu’il faut être
capable de contrôler ?
1
Équation fondamentale de la dynamique :
dΩ ( t )
J
=
dt
ΣC
ouple( t
Ω
)
Bilan des couples :
ΣC
Introduction
ouple( t
Rappels
2eme année
D’après une présentation de Xavier KESTELYN
Modèle en régime permanent – Modèle en régime transitoire
Charge
) = Cmoteur ( t ) − Cch arg e ( t ) − C frottement ( t )
dθ ( t )
Ω( t ) =
dt
3
Moteur
fΩ
Pour contrôler la vitesse ou la position instantanée de l’ensemble,
il faut être capable de
maîtriser le couple instantané fourni par le moteur
4
Modèle en régime permanent – Modèle en régime transitoire
Fondamentaux :
Exemples d’application :
On ne contrôle bien que ce que l’on connaît bien.
Commande en U/f = constante
Algorithme de commande basé sur le modèle en régime permanent :
A partir des équations physiques ou de l’observation du fonctionnement d’un
système,
on établit un modèle qui peut être plus ou moins complexe.
seule la valeur du couple en régime permanent est contrôlée
Prix intéressant, mise en oeuvre simple mais performances dynamiques
limitées :
(Applications : pompes, ventilateurs, …)
On peut donc décider de modéliser le système en :
⇒ Régime permanent = grandeurs stationnaires
• tensions et courants sinusoïdaux et équilibrés de fréquence constante
• vitesse de rotation et couple résistant constant
Modèle simple et en pratique valable pour des grandeurs lentement variables
⇒ Régime transitoire = grandeurs à évolution temporelle quelconque
Commande vectorielle
Algorithme de commande basé sur le modèle en régime transitoire :
la valeur du couple instantané est contrôlée
Prix plus élevé mais performances dynamiques accrues
(Applications : couple à l ’arrêt nécessaire, déplacements rapides, …)
Modèle valable en permanence mais plus complexe …
5
6
Représentation vectorielle des champs magnétiques
Modèle en régime permanent – Modèle en régime transitoire
Une bobine alimentée en courant variable
Réponse à un même échelon de couple des deux types de commande :
Commande U/f
Commande vectorielle
Une bobine alimentée en courant sinusoïdal
Référence désirée pour le couple
Évolution réelle du couple
Si les deux commandes permettent d’obtenir les mêmes valeurs en régime permanent,
seule la commande vectorielle permet d’imposer le couple requis
durant les régimes transitoires
7
Représentation vectorielle des champs magnétiques
8
Principe de la Machine synchrone
Trois bobines alimentées
par des courants sinusoïdaux équilibrés
http://www.physique-appliquee.net/phyapp/champ_tournant/champ_frames.htm
http://www.physique-appliquee.net/phyapp/champ_tournant/champ_frames.htm
Représentation vectorielle des champs magnétiques
Deux bobines alimentées
en courant continu
Animations réalisées par Claude Divoux :
Animations réalisées par Claude Divoux :
Principe de la machine asynchrone
9
Animations réalisées par Claude Divoux :
http://www.physique-appliquee.net/phyapp/champ_tournant/champ_frames.htm
10
Contrôle Vectoriel du Flux ???
Équipement Électrique
Couple électromagnétique instantané :
C = k Φff
Φff
δ
+
Φss
3
C = k Φff Φss sin δ
Φss
(k dépend de la géométrie du système)
C
Machine Synchrone
Contrôle du couple instantané
=
Contrôle des VECTEURS Flux
=
COMMANDE VECTORIELLE
11
2eme année
D’après une présentation de Xavier KESTELYN
12
Principe physique
Réalisation d’un rotor bobiné
Réalisation du champ
magnétique tournant
Balais
Principe de la Machine synchrone
Le rotor peut être réalisé à partir :
_ d’un aimant ou
_ d’une bobine (électroaimant, electromagnétique)
Bobine mobile alimentée
par un courant continu
(Inducteur)
13
Stator triphasé
où circulent
trois courants sinusoïdaux
14
Machine synchrone :
Constitution de la machine
Machine synchrone : 3 bobines fixes décalées de 120°
et et 1 bobine mobile en courant continu
y
q
y
1
i2
v2
2
3’
d
2’
N
θ
F
x
iF
1
vF
S
θ
i1
x
v1
2
3
i3
v3
1’
15
z
1,2,3 :
Enroulements statoriques fixes
couplés en étoile
Alimentation variable
Machine synchrone :
Machine synchrone :
Expression du flux dans une bobine d’une stator
Notation matricielle (« vectorielle ») : Stator
Φ 1 ( t ) = L S i1 ( t ) + M S i2 ( t ) + M S i3 ( t ) + M 1 F ( t ) I F
y
i2
M 1F = M cos θ
v2
2
 Φ 1   LS
  
Φ 2  =  M S
Φ   M
 3  S
Avec :
F
iF
1
vF
θ
i1
LS
MS
x
i3
v3
F :
Enroulement rotorique
mobile (Excitation – Field)
Alimentation continue
16
M S  i1   M 1F 

  
M S  i2  +  M 2 F  I F
LS  i3   M 3 F 
M 1F = M cos θ
2π

M 2 F = M cos  θ −
3

4π

M 3 F = M cos  θ −
3

v1
z
MS
3






3
17
18
Expression des tensions ( au stator !!! )
Machine synchrone :
En convention récepteur la tension sur la phase a s'écrit:
di
di
di d ( M 1F .I F )
dΦ 1
= R .i1 + Ls . 1 + M s . 2 + M s . 3 +
v1 = R .i1 +
dt
dt
dt
dt
dt
Notation matricielle (« vectorielle ») : Rotor
Φ F = LF I F + (M F 1
MF2
 i1 
 
M F 3 ) i2 
i 
 3
En supposant que les courants sont équilibrés (neutre non relié) :
i3 = −i1 − i2
L'équation précédente devient:
di1
di d ( M 1F .I F )
+ (M s − M s ). 2 +
dt
dt
dt
di1 d ( M 1F .I F )
v1 = R .i1 + Lc . +
dt
dt
v1 = R .i1 + (Ls − M s ).
M F 1 = M 1F = M cos θ
2π 

M F 2 = M F 2 = M cos  θ −

3 

4π 

M F 3 = M F 3 = M cos  θ −

3 

dI
d ( M 1F .I F ) dM 1F dθ
A vide (i1 = 0) , on obtient e1 = v1( i1 = 0 ) =
=
. .I F + M 1F . F
dt
dt
dθ dt
e1 =
19
La tension aux bornes de la phase a s'écrit : v1 = R .i1 + Lc .
Sur les deux autres phases
di
v2 = R .i2 + Lc . 2 + e2
dt
dM 2 F
e2 =
. p .Ω .iF
dθ
di
v3 = R .i3 + Lc . 3 + e3
dt
dM 3F
e3 =
. p .Ω .iF
dθ
dM 1F
. p .Ω .I F
dθ
di1
+ e1
dt
20
Expression du couple instantané
La puissance électromagnétique instantanée s'écrit:
pe = e1.i1 + e2 .i2 + e3 .i3
Celle ci est transformée en puissance mécanique, d'où le couple
électromagnétique
cem (t ) =
pe e1.i1 + e2 .i2 + e3 .i3
=
Ω
Ω
En remplaçant les fem par leurs expressions en fonction des flux, on
obtient:
dCos (θ − 2 pi / 3)
dCos (θ − 4 pi / 3) 
 dCos (θ )
cem (t ) = M .i1.
+ i2 .
+ i3 .
. p.I F
dθ
dθ
dθ


Couple électromagnétique instantané (p=1) :
cem (t ) = − MI F [i1 (t ) sin θ (t ) + i2 (t ) sin( θ (t ) − 2π / 3 ) + i3 (t ) sin( θ (t ) − 4π / 3 )]
21
22
ANNEXE: Expression du couple en régime permanent
ANNEXE: Expression du couple en régime permanent
Régime permanent (couple choisi maximum) : θS (t) = θ (t)
On alimente les trois enroulements du stator avec trois courants sinusoïdaux de
fréquence f et équilibrés :
3
3
C = − MI F I max = − MI F 2 I eff
2
2
i1 (t ) = I max sin( 2πf .t ) i2 (t ) = I max sin( 2πf .t − 2π / 3) i3 (t ) = I max sin( 2πf .t − 4π / 3)
Remarque : à vide (i=0)
On définit l’angle électrique (au stator) :
θS (t) = 2πf t
i1 (t ) = I max sin(θ S (t )) i2 (t ) = I max sin(θ S (t ) − 2π / 3) i3 (t ) = I max sin(θ S (t ) − 4π / 3)
Alors :
dM 1F
d (M cos θ )
vide
= p.Ω.I F .
= − p.Ω.I F .M . sin θ = 2 Eeff sin θ
dθ
dθ
M .I F
p.Ω
=−
2
1
e1 = p.Ω.I F .
Eeffvide
C = 3Eeffvide I eff
3
cem (t ) = − MI F I max cos(θ S (t ) − θ (t ) )
2
La valeur efficace du courant vient du schéma monophasé équivalent.
LCS=LS-MS
Il faut donc autopiloter l’angle électrique θS(t) par rapport à l’angle mécanique
θ(t) pour que le couple moyen ne soit pas nul.
Le couple est constant et max pour
θS(t) =θ(t)
p.Ω
Eeff
RS
Ieff
Veff
Inductance cyclique statorique
CΩ = 3Eeff I eff
23
24
25
26
Rappel de l’objectif
Mise en équation dans le repère diphasé orthogonal
On veut imposer la vitesse à une valeur de référence, comment faire ?
dΩ ( t )
J
dt
=
ΣC
ΣC
ouple( t
)
ouple (
t ) = C moteur ( t ) − C ch arg e ( t ) − C frottement ( t )
Le contrôle du couple est difficile car le flux d’une phase dépend des
courants de chacune des trois phases.
SOLUTION :
fΩ
« déplacer » le problème en un autre plus simple
=
UTILISER une TRANSFORMATION
cem (t ) = − MI F [i1 (t ) sin θ (t ) + i2 (t ) sin(θ (t ) − 2π / 3) + i3 (t ) sin(θ (t ) − 4π / 3)]
Au lieu de contrôler les courants de la machine réelle, on préfère
contrôler les courants d’une machine « fictive » équivalente.
Pour contrôler la vitesse, il faut contrôler le couple instantané. Cela :
_ nécessite le contrôle instantané des courants triphasés,
_ dépend de la position instantanée du rotor
IDEE :
La machine couplée en étoile perd un degré de liberté (car i1+i2+i3=0)
donc la machine triphasée couplée en étoile est équivalente à une
machine diphasée (2 phases)
CONCLUSION :
En l’état, dû à la complexité du modèle de la machine,
il est difficile de contrôler le couple instantané de la machine synchrone
en régime quelconque
27
28
Mise en équation dans le repère diphasé orthogonal
β jq
Mise en équation dans le repère diphasé orthogonal
β
2
i2
Ωs*
2
β
1
i1
v1
Bss
β
q
iβ
v2
α
Bff
usact
Bss, champ magnétique tournant créé par les trois bobines du stator
Bff, champ magnétique tournant créé par la bobine du rotor
C’est la course !
Angle quelconque entre les deux champs
29
v3
3
vβ
d
1
α
i3
d
iβ
β
vβ
vα
iα
α
F
α
iF
vF
vα
θ
iα
α
Les axes α et β sont perpendiculaires et
on considère 2 enroulements virtuels perpendiculaires.
Les flux de chaque enroulement sont perpendiculaires aussi !
Il n y a plus d’interactions et donc les inductances mutuelles sont nulles :
Φα dépend uniquement de iα qui dépend de vα
Φβ dépend uniquement de iβ qui dépend de vβ
Le système est découplé et
il est donc plus facile de régler le couple instantané de la machine
30
→
→
Osb
Osβ
ω
xβ
→
ϕ
O
→
Osc
→
O
xa
(
v
v
v
r
x = K x a O sa + x b O sb + x c O sc
sin(
2π
3
2π
3

)   xa 
 
  xb 
4π
sin( )   x 
3
 c
)
cos(
)
→
Osα
)
4π
 xα 
 =
 xβ 
3
Généralisation :
xα
v
v
r
x = xα O sα + x β O sβ
Grandeurs triphasées à l’origine
Grandeurs diphasées à l’origine
d’un vecteur (tournant si sinusoïdal)
d’un vecteur (tournant si sinusoïdal)
K=
cos(
x0 =
ϕ
→
Osa
2

 xα 
2 cos(0)
 =

3  sin(0)
 x β 

ω
x
x
xb
Expression de la transformée de Concordia :
Repère diphasé orthogonal
Repère triphasé
[X
α ,β ,0
]= [C ][X ]
[C ] =
2
3









−
1
1
2
3
0
−
2
1
1
2
1
−
2
3
2
1
2
2

2
3
1
3
1 −

0

(x
1
2
3
2
a
−
−
1
  xa 
x 
 b
 x 
  c
2 

3
2
+ xb + xc
)









(pour conserver la puissance )
3
Application aux courants :
31
Machine synchrone : TRANSFORMATION de CONCORDIA
iα =
2
1
1 
 i1 − i2 − i3 
3
2
2 
1.5
 Φ 1   LS
  
Φ 2  =  M S
Φ   M
 3  S
 Φ α   LS
 
−1 
[C ] .Φ β  =  M S
Φ   M
 0  S
MS
LS
MS
MS
LS
MS
Φα 
 LS



=
[
C
].
Φ
 β
MS
Φ 
M
 0
 S
M S  i1 
 
M S  i2 
LS  i3 
Tracé des courants
en régime permanent
Pour Imax= 1A
 iα 
  +
LS − M S  iβ 
0
 cos θ (t )
3
MI F 

2
 sin θ (t ) 
iβ
1
iA
iC
iB
0
MS 
 iα 

 
M S  .[C ]−1 . iβ 
i 
LS 
 0
-0.5
-1
-1.5
Φ α   LS − M S


Φ  = 
0
 β 
iα
0.5
MS 
 iα 


−1 
M S  .[C ] . iβ 
i 
LS 
 0
MS
LS
MS
32
Machine synchrone : TRANSFORMATION de CONCORDIA
En effectuant le changement de variables OU changement de base, on obtient :
En ne considérant que le stator :
2 3
3 

i2 −
i3 

3 2
2 
iβ =
33
0
2
4
6
8
10
12
34
Expression du couple instantané
ANNEXE: Expression du couple en régime permanent
4π 
2π

cem (t ) = − MI F  i1 (t ) sin θ + i2 (t ) sin( θ −
) + i3 (t ) sin( θ −
)
3
3 

i1 (t ) =
et :
2
iα (t )
3
d’où :
cem (t ) = −
i2 (t ) =
2  iα (t ) iβ (t ) 

−
+
3 
2
2 
i3 (t ) =
Régime permanent (couple max) :
2  iα (t ) iβ (t ) 
−

−
3 
2
2 
d’ où :
3
.M .I F (iα (t ). sin θ (t ) − iβ (t ). cos θ (t ) )
2
Rappel de l’objectif
Pour contrôler la vitesse, il faut contrôler le couple instantané. Cela :
_ nécessite le contrôle instantané des deux courants sinusoïdaux,
_ dépend de la position instantanée du rotor
CONCLUSION :
En l’état, dû à la complexité du modèle de la machine,
il est encore difficile de contrôler le couple instantané de la machine synchrone
35
en régime quelconque
Machine synchrone : TRANSFORMATION de CONCORDIA
Diagramme vectoriel :
Régime permanent
(couple max)
i1(t) = Imax sinθ i2(t) = Imax sin(θ − 2π / 3) i3(t) = Imax sin(θ − 4π / 3)
iα (t ) =
2
1
1

 i1 (t ) − i2 (t ) − i3 (t )  =
2
2
3

iβ (t ) =

3
2 3
3

i2 (t ) −
i3 (t )  = − I max cos θ

3 2
2
2

3
I max sin θ
2
3
C = − MI F I max
2
36
Mise en équation dans le repère diphasé orthogonal tournant
Même si le problème de départ est simplifié, il faut encore
contrôler deux courants
qui même en régime permanent restent sinusoïdaux.
y
iβ
β
SOLUTION :
Déplacer le problème en un autre encore (!!!) plus simple
=
UTILISER une deuxième TRANSFORMATION
vβ
BSS
F
BFF
iF
α
vF
vα
θ
iα
x
IDEE :
Si je me déplace à la même vitesse qu’un objet mobile, il me paraît être fixe.
37
38
Machine synchrone : TRANSFORMATION de PARK
Repère (o,α,β) fixe
dqo
[
iq
q
F
iF
α
vF
vα
θ
iα
α
d
d
F
id
iF
vd
vF
]
[X αβo ] = [C ][X abc ]
]



2 
[C ] = 
3 



0

0
1 
sin(ψ )
cos(ψ )
θ
Transformée de Park :
α
[X ] = [P(ψ )][X ]
0

 cos(ψ )

2
[P(ψ )] = RP(ψ ) [C ] = − sin(ψ )
3
 1

2

dqo
abc
A la condition :
iq = −iα (t ). sin θ (t ) + iβ (t ). cos θ (t )
id = iα (t ). cos θ (t ) + iβ (t ). sin θ (t )
][
(ψ ) X αβo
ψ(t) est l’angle du repère tournant et
est quelconque a priori.
vq
vβ
P
 cos(ψ )

RP (ψ ) =  − sin(ψ )

0

β
q
iβ
β
[X ] = [R
Repère (o,d,q) tournant
β
Matrice de Concordia :
Relation générale
d’une matrice de rotation
Rotation d’angle θ :
La machine diphasée à enroulements fixes est équivalente
à une autre machine diphasée
dont les enroulements tourneraient à la même vitesse que le rotor
[
39
]
2π 

cosψ −

3 

2π 

− sinψ −

3 

1
2
1
0
1
2
−1
2
3
2
1
2


2 
− 3 

2 
1 

2 

−1
4π  

cosψ −
 
3  

4π  

−sinψ −
 
3  


1

2

40
Machine synchrone : TRANSFORMATION de PARK
En effectuant une rotation ψ(t) = θ(t) pour immobiliser les grandeurs, on obtient :
En ne considérant que le stator :
 Φ 1   LS
  
Φ 2  =  M S
Φ   M
 3  S
Φ d   LS
 
−1 
[ P (θ )] . Φ q  =  M S
Φ   M
 0  S
MS
LS
MS
MS
LS
MS
Φ d 
 LS
 

=
Φ
[
P
(
θ
)].
 q
MS
Φ 
M
 0
 S
Expression du couple instantané :
M S  i1 
 
M S  i2 
LS  i3 
cem (t ) = −
et : iα (t )
MS 
 id 

−1  
M S  .[ P (θ )] . iq 
i 
LS 
 0
MS
LS
MS
d’où :
MS 
 id 

 
M S  .[ P (θ )]−1 . iq 
i 
LS 
 0
constant !
Φ d   LS − M S
  = 
Φ q 
0
  
0
 id 
1
3
  +
MI F  
LS − M S  iq 
2
 0
3
MI F (iα (t ). sin θ (t ) − iβ (t ). cos θ (t ) )
2
= id .cos θ (t ) − iq . sin θ (t )
cem (t ) = −
iβ (t ) = id . sin θ (t ) + iq .cos θ (t )
3
MI F iq
2
Le couple instantané ne dépend plus de la position du rotor !
(mais on est dans un repère qui tourne avec le rotor)
Le couple instantané se règle uniquement par iq (et IF) et
pour obtenir un couple constant, il faut que iq soit constant (id=0)
41
42
Machine synchrone : TRANSFORMATION de PARK
Comparaisons
La transformation de Park appliquée à la machine synchrone
permet de montrer l’équivalence entre une machine synchrone et
une machine à courant continu.

 sin(ω t )
ia 

 
[I ] = ib  = I 2 sin ω t − 2π
3

ic 
 
 
4π
sin ω t −
3
 
D’ailleurs, la machine synchrone est souvent appelée :
15









0
-5
-10
-15
1.2
 sin( ω t )
iα 
ia 

2
π

 
I 2 sin( ω t −
β  = [C ] ib  =
3
2

 i0 
ic 
0
 
 

[I ]= i


)


1.205
1.21
iα (A)
10
αβ 0
i c(A)
5
15
DC Brushless Machine (Machine à courant continu sans balais)
ou
MCC à collecteur électronique
i b(A)
i a(A)
10
1.215
1.22
1.225
1.23
1.235
1.24
1.245
t(s)
1.215
1.22
1.225
1.23
1.235
1.24
1.245
t(s)
iβ (A)
5
0
-5
-10
1.2
1.205
1.21
-15
1 
id 
 
 
3
i
I
=
0 
 q
0 
 i0 
 
 
43
44
Machine synchrone : RESUME
Machine synchrone : RESUME
Pour contrôler plus facilement le couple instantanée de la machine
synchrone, on réalise une transformation de Park.
Dans ce cas, la machine synchrone se commande comme une MCC.
β
β
q
iβ
β
q
iq
vq
q
d
BSS
d
BFF
F
id
iF
vF
vd
iq
Ω
2
v2
2
θ
β
i2
α
F
iF
1
vF
θ
i1
i3
q
F
1
v1
iF
α
vF
vα
Concordia-1
v3
Choisir une rotation d’un angle θ revient
à « caler » l’axe d sur le flux rotorique
=
COMMANDE à FLUX ROTORIQUE ORIENTE
vq
vβ
θ
iα
d
d
F
α
id
iF
vF
θ
vd
θ
α
Rotation-1
3
Park-1
45
46
iA
vA
Machine synchrone : Synoptique de commande
Machine synchrone : RESUME
iB
vB
Park inverse
Ωref
vC
Park
vd
iq
vq
PID
+-
PID
vq
PARK
iA
vB Onduleur
de
tension
vC
iB
iC
θ
iA
id
0
+-
PID
+-
0
θ
iC
vA
vd
iq
PARK
iB
iC
θ
θ
id
mesures
Ω
PARK -1
mesure
Modèle de la machine dans le repère de Park tournant
-> nécessité de mesurer la position avec un codeur 47
48
BIBLIOGRAPHIE
• Electrotechnique industrielle.
G.Séguier Editions Tech et doc
• Introduction à la commande vectorielle des
machines asynchrones.
Patrick Brunet
• Cours machines asynchrones. *
Alain Cunière. Gilles Feld.
49
50
Exemple 1 : Deux bobines : 1 fixe – 1 mobile
Équipement Électrique
A : enroulement fixe
F : enroulement mobile
Modélisation :
Annexe
L’enroulement A perçoit son champ
magnétique propre (créé à l’origine par le
courant iA ) et le champ magnétique issu
de l’autre enroulement
Application à une machine diphasée
alternative
Exemple didactique
Expression des flux :
ΦA = ΦAA + ΦAF = LA iA+ MAF iF
ΦF = ΦFF + ΦFA = LF iF+ MFA iA
D’après une présentation de Xavier KESTELYN
2eme année
LA , LF : inductance propre (constante)
MAF = MFA = M cos θ : inductance mutuelle dépendant de la position du
51
rotor
52
Deux bobines : 1 fixe – 1 mobile
Deux bobines : 1 fixe – 1 mobile
Equation en tension (stator) :
Equation en tension (rotor) :
v A = rAi A +
dΦ A
d
= rAi A + ( L Ai A + M AF iF )
dt
dt
v F = rF iF +
dΦ F
d
= rF iF + ( LF iF + M FA i A )
dt
dt
rA , rF : résistance (constante)
v A = rAi A + LA
di A
dL
di
dM AF
+ i A A + M AF F + iF
dt
dt
dt
dt
vF = rF iF + LF
car
LA est constante,
MAF(θ) et θ(t) si le rotor tourne !
v A = rAi A + LA
di A
di
dM AF
+ M AF F + iF
dt
dt
dt
diF
dL
di
dM FA
+ iF F + M FA A + i A
dt
dt
dt
dt
vF = rF iF + LF
53
dM FA
di
diF
+ M FA A + i A
dt
dt
dt
54
Deux bobines : 1 fixe – 1 mobile
Deux bobines : 1 fixe – 1 mobile
Bilan de puissance
Bilan de puissance
pe = p j + pmag + pméc
pe = v Ai A + vF iF = rAi A2 +
Dans cette expression, on identifie la puissance mécanique à :
p méc =
dΦ F
dΦ A
i A + rF iF2 +
iF
dt
dt
dM AF ( = FA ) 
1
 2i AiF

dt
2

D’une manière générale, on retiendra que la puissance mécanique est
proportionnelle au :
pmag + pméc =
dM AF ( = FA )
di
di 
di 
 di A

+ M AF F i A +  LF F + M FA A iF + 2i AiF
 LA
dt 
dt
dt 
dt
dt


• produit des courants (partie fixe – partie mobile)
• à la dérivée des inductances (on ne tiendra donc compte que des
inductances qui varie avec la position)
55
56
Deux bobines : 1 fixe – 1 mobile
Deux bobines : 1 fixe – 1 mobile
Bilan de puissance :
Remarque 3 : L’expression du couple permet bien de retrouver :
pméc = cem Ω
= cem
dM AF ( = FA )
dθ
= i AiF
dt
dt
= i AiF
ΦAA
dθ d ( M cos θ )
dθ
= −i AiF
M sin θ
dt
dθ
dt
cem = − Mi AiF sin θ
Avec :
c = k Φ FF ∧ Φ AA
ΦFF
Φ FF = LF iF
= − kΦ FF Φ AA sin θ Φ AA = LAi A
(1 − σ )
M2
=
k=
LA LF
M
σ = 1−
M2
LA LF
Coefficient de dispersion entre
les enroulements A et F
Remarque 1 : Le couple est maximum pour θ=90°
Remarque 2 : Il n’existe pas de combinaison (iA, iF) permettant
d’obtenir un couple constant quelque soit l’angle θ
57
58
Rappel sur l’auto-induction
3
Déplacement d’un aimant devant une bobine
•
Machine Asynchrone
(induction machine)
La loi de Faraday (et de Lenz) explique
qu’en cas de variation du flux magnétique à
l’intérieur de ce circuit,
une force contre électromotrice est induite (générée):
e=−
•
dΦ
dt
Si la bobine a une résistance R et est alimentée sous une tension v:
e est générée et additionnée à v
e
R
i
Si la bobine est linéaire
φ = Li
v
1
Déplacement d ’un aimant devant un rail en court circuit
2
Déplacement d ’un aimant devant un rail en court circuit
aimant
vitesse : v
l
i
2
Cette force entraîne le conducteur dans le sens du déplacement du champ magnétique.
B
i
f
i
Si ces conducteurs sont mobiles ces derniers accélèrent. A mesure qu’ils atteignent de
la vitesse, la vitesse à laquelle le champ magnétique est coupé par ces conducteurs
ralentit. La variation du flux diminue et la tension induite diminue, de même que le
courant i.
2
D’après la loi de Faraday, une tension est induite dans chaque conducteur coupé par
le champ magnétique.
Comme chaque conducteur est court-circuité, un courant i se met à circuler dans le
conducteur qui est momentanément en dessous du champ magnétique (ou de l’aimant).
Cet effet de la loi de Lenz (L’effet s’oppose à la cause qui lui a donné naissance) a pour
conséquence de diminuer la force de Laplace.
Ainsi si les conducteurs se déplaçaient à la même vitesse que le champ magnétique, la
tension induite, le courant i et la force s’annuleraient.
Comme ce courant traverse le champ magnétique, d’après la loi de Laplace, une force
mécanique est appliquée sur ce conducteur.
La vitesse du rotor est donc légèrement inférieure à la vitesse du champ
magnétique.
3
4
r r
r
dF = Idl Λ B
Machine asynchrone :
3 bobines fixes décalées de 120°
et 3 bobines mobiles décalées de 120°
isb
→
Osb
Tensions statoriques (notation matricielle)
 v sa   RS
  
 v sb  =  0
v   0
 sc  
sa,sb,sc :
Enroulements statoriques fixes
couplés en étoile
Alimentation variable
v sb
→
Orb
irb
→
Osc
v sc
isc
irc
v ra
v rc
θ
→
Orc
v sa
isa
→
Osa
ra,rb,rc :
Enroulements rotoriques mobiles
Court-circuités
Alimentation induite par les
enroulements statoriques
5
Flux statorique dans un enroulement statorique




Influence des autres
enroulements du stator
2π
3
4π  


 +irc cos θ +

3 


Influence des enroulements du rotor
sur les enroulements du stator
isb
 vra   RR
  
 vrb  =  0
v   0
 rc  
0
RR
0
0  ira 
φ 
  d  ra 
0  irb  +  φrb 
dt  
RR  irc 
 φrc 
 d φr 

= Vr  −  Rr   I r  

 dt
 rotor
→
Osb
v rb
O
→
Osc
6
Remarque
r r
M sr cos Osa , Ora = M sr cos (θ )
irb
v sc
dans le repère triphasé du rotor
4
2 

cos(θ − π ) cos(θ − π ) 
 cos(θ )
3
3


2
4
cos(θ − π ) 
[ R(θ )] = cos(θ − π ) cos(θ )

3
3


4
2
cos(θ − π ) cos(θ − π )

cos(θ )


3
3
→
Orb
v rc
 vra   0 
   
 vrb  =  0 
 v   0
 rc   

φsa   ls M s M s  isa 
ira  

  
 
  
[φs ] = φsb  =  M s ls M s  isb  + M sr [ R(θ ) ] irb  
  
 
 

φsc   M s M s ls   isc 
 irc  stator

v sb
irc
Si rotor en CC
Flux statorique (notation matricielle)
φsa = ls isa + M s isb + M s isc + M sr  ira cos(θ ) +irbcos θ +
isc
dans le repère triphasé du stator
Tensions rotoriques (notation matricielle)
→
Ora
ira
RS
0
0  isa 
φ 
  d  sa 
0  isb  +  φsb 
dt  
RS  isc 
 φsc 
 d φs 

= Vs  −  Rs   I s  

 dt
 stator
v rb
O
0
v ra
(
→
Ora
ira
(
θ
→
Orc
v sa
)
)
r r
2π 
4π 


M sr .cos Osa , Orb = M sr .cos θ −
 = M sr .cos θ +

3 
3 


isa
→
Osa
7
r r
4π

M sr cos Osa , Orc = M sr cos θ −
3

(
)
2π 


 = M sr cos θ +

3 


8
Hypothèse :
Les courants sont équilibrés -> isc=-isa-isb
Flux rotorique (notation matricielle)
2π 
4π  



φsa = (ls − M s )isa + M sr  ira cos(θ ) +irbcos θ +
 +irccos θ +

3 
3 




φra   Lr 0 0  ira 

  
 
T
[φr ] = φrb  =  0 Lr 0  irb  + M sr [ R(θ )]
  
 


φrc   0 0 Lr  irc 

φsa   Ls 0 0  isa 
ira  

  
 
  
[φs ] = φsb  =  0 Ls 0  isb  + M sr [ R(θ )] irb  
  
 
 

φsc   0 0 Ls   isc 
 irc  stator

avec
isa  
  
isb  
 
 isc  rotor
3
Ls = ls − M s = lsp + lsσ
2
9
10
Modélisation dans un repère tournant de Park
Régime transitoire :
Comme pour la machine synchrone, on cherche à simplifier le modèle de la
machine.
Expression générale des flux rotoriques (notation matricielle)
[ ]  =  [L ] [M (θ )]  [I ] 
[ ]  [M (θ )] [L ]  [I ] 
φ
 s
 φr

s
sr
s
dans le repère triphasé du stator
On va utiliser la transformation de Park
T
sr
r
r
Tout d’abord, il faut utiliser un seul repère pour toutes les équations
dans le repère triphasé du rotor
,
 Ls

Ls =  0
0

[ ]
0
Ls
0
0

0
Ls 
 Lr

Lr =  0
0

,
[M
sr
(θ )]
=M sr [R(θ )]
[ ]
0
Lr
0
0

0
Lr 
Problème: On a deux modèles dans deux repères tripasés dufférents
11
12
Grandeurs statoriques :
Comme pour la machine synchrone (le stator étant identique),
on applique aux grandeurs statoriques une transformation de Park
d’angle θS (t)
Transformée de Park sur les grandeurs du stator
 d φs 







=
−
V
R
I

 s   s   s 
 dt
 stator
Grandeurs rotoriques :
Pour se ramener dans ce repère de Park, on applique aux grandeurs
rotoriques une transformation de Park d’angle θR (t) = θS (t) - θ (t)
→
Orb
([ (
d P θs
→
Osb
→
Oq
)] [φ
−1
s _ dq 0
]) = [P(θ )] [V
−1
s
dt
Rotation d’un angle θs
dans le repère de Park
]− [R ][P(θ )] [I
−1
s _ dq 0
s
s
O
θs
→
Osc
→
Od
θr
→
Ora
θ
→
Osa
→
Orc
13

dφ sd
= v sd − Rs isd + ω sφ sq 
dt


dφ sq
= v sq − Rs isq − ω sφ sd 
dt


dφ s 0
= v s 0 − Rs i s 0

dt

Transformée de Park sur les grandeurs du rotor
[ ( )] [φ
[ ( )] [φ
Rotation d’un angle θr dans
le même repère de Park
−1
Pθ
s

Pθ
r

r _ dq 0
dt
→
Orb
→
Osb
→
Oq
θs
→
Osc
→
Od
θr
→
Ora
θ
→
Osa
→
Orc
14
s
sr
s
T
sr
−1
r
r
]   [L ] [M (θ )]  [P(θ )] [I
.
=
]  [M (θ )] [L ]  [P(θ )] [I
−1
s _ dq 0
−1
s
s
sr
s _ dq 0
−1
r _ dq 0
sr
r
r
r _ dq 0
] 
] 
Tous calculs faits on obtient :
Tous calculs faits on obtient :

dφrd
= v rd − Rr ird + ωrφrq 
dt

dφrq

= v rq − Rr irq − ωrφrd 
dt


dφr 0
= v r 0 − Rr i r 0

dt

O
[ ]  =  [L ] [M (θ )]  [I ] 
[ ]  [M (θ )] [L ]  [I ] 
([ ( )] [φ ]) =









→
Osb
→
Oq
Transformée de Park sur les flux
φ
 s
 φr

 d φr 

= Vr  −  Rr   I r  

 dt
 rotor
d P θr
]
→
Orb
Tous calculs faits, on obtient :









s _ dq 0
O
→
Osc
→
Orc
θs
θr
θ
→
Osa
[
[
φ
 s _ dq0
φ
 r _ dq0
→
Od
→
Ora
[L ] =
ps
15
 Ls

0
0

0
Ls
0
0 

0 
Ls 0 

[L ]
pr
]   [L ] [M ] [I
=
]  [M ] [L ] [I
 Lr

= 0
0

ps
psr
s _ dq 0
pr
r _ dq 0
T
psr
0
Lr
0
0 

0 
Lr 0 

[M psr ] = 23 M sr [Rr ]
] 
] 
[Rr ]
1

= 0
0

0
1
0
0 

0 
0  16
Machine asynchrone : calcul du couple
En résumé :
dφ Sd
− ω Sφ Sq
dt
dφ Sq
vSq = RS iSq + ω Sφ Sd +
dt
vSd = RS iSd +
φSd = LsiSd + M .iRd
φSq = LsiSq + M .iRq
On peut maintenant pour un régime quelconque, calculer le couple
instantané en faisant un bilan de puissance :
dφRd
− ωrφRq = 0
dt
dφ
= RRiRq + ωrφRd + Rq = 0
dt
vRd = RRiRd +
vRq
On obtient :
c = M (ird isq − irq isd )
φRd = LriRd + M .iSd
φRq = LriRq + M .iSq
c= p
M
(isqφrd − isd φrq )
Lr
c = p (isqφsd − isd φsq )
3
M = M sr
2
Même si ces équations paraissent lourdes, elles sont bien plus simples
que celles écrites au début de l’étude !!!
17
Machine asynchrone : commande vectorielle
Machine asynchrone : commande vectorielle
Stratégies de commande par orientation du flux
Stratégie la plus utilisée : Orientation à flux rotorique orienté sur l’axe direct
Si on aligne le repère de Park avec un des deux flux, on annule une
composante
4 idées pour simplifier l’expression du couple
y
q
Expression avec les flux rotoriques Expression avec les flux statoriques
M
(isq φrd − isd φrq )
c= p
Lr
Commande à flux rotorique orienté
sur l’axe direct φrq=0
M
c= p
Lr
(i
sq
)
φrd )
)
αS
r
v2
a
Commande à flux statorique orienté
d
i3
v1
M
(isq φrd )
Lr
θ
i1
c
c= p
αR
ΦR
1
b
c = pisqφsd
ΦRq=0, le couple devient :
i2
2
sur l’axe direct φsq=0
sur l’axe en quadrature φrd=0
M
isd φrq
c = −p
Lr
(
(
c = p isq φsd − isd φsq
18
x
On montre (et on voit) que :
c ne dépend que de iSq si
ΦR est maintenu constant
v3
sur l’axe en quadrature φsd=0
3
c = − pisd φsq
19
20
Machine asynchrone : Synoptique de commande
Machine asynchrone : commande vectorielle
En régime permanent :
y
q
i2
v2
2
On constate que (par rapport à la
machine synchrone) le flux statorique
ne peut plus être perpendiculaire au
flux rotorique.
αS
ΦSS
a
r
ΦRR
d
ΦR
1
b
αR
θ
i1
c
x
v1
i3
v3
En effet, il n’y a qu’une source
d’alimentation pour :
• Magnétiser la machine (comme le fait
l’enroulement inducteur d’une MS) par
la composante de l’axe d
• Produire du couple par la composante
de l’axe q
3
21
22
BIBLIOGRAPHIE
BILAN :
Machine synchrone + variateur :
• Commande performante plus aisée car la machine est magnétisée
par le rotor. Il ne faut contrôler que le couple
• Rapport puissance/masse élevé
• Machine au prix plus élevé (aimants ou bobinage rotorique + bagues
collectrices)
Machine asynchrone + variateur :
• Commande performante plus exigeante car il faut magnétiser et
contrôler le couple en même temps et de façon indépendante
• Rapport puissance/masse moins élevé - ventilation plus importante
• Machine au prix le plus bas du marché
• Possibilité d ’utiliser des commandes moins performantes
• Electrotechnique industrielle.
G.Séguier Editions Tech et doc
• Introduction à la commande vectorielle des
machines asynchrones.
Patrick Brunet
Il n ’y a pas de bon choix. Tout dépend de l ’application envisagée et
des performances attendues.
• Cours machines asynchrones. *
Alain Cunière. Gilles Feld.
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