Blatt V4

Blatt V4
12.05.2010
Höhere Mathematik II
SS 2010
W. Kimmerle
Aufgabe V4.1 (Ableitung der Umkehrfunktion)
Wir bezeichnen mit f (x) = arcoth(x) : R\[−1, 1] −→ R\{0} die Umkehrfunktion
von coth : R\{0} −→ R\[−1, 1] : x 7−→ cosh(x)
.
sinh x
a) Bestimmen Sie die Ableitung von f mit dem Satz über die Ableitung der
Umkehrfunktion.
x+1
b) Bestimmen Sie die Ableitung von g(x) = 12 ln x−1
.
c) Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 2.4.6, dass f (x) = g(x) gilt.
Aufgabe V4.2
Auf einem Videoband mit 4 Stunden Spieldauer befindet sich eine Filmszene der
Länge `. Man kann das Videoband an eine Stelle spulen und dann einschalten.
Man erkennt ob man vor oder nach der gesuchten Stelle ist.
a) Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem man die gesuchte Stelle möglichst
schnell finden kann und das auch funktioniert wenn die Länge ` beliebig
klein ist.
b) Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem man die gesuchte Stelle finden kann,
wenn man nicht erkennt, ob man sich vor oder nach der gesuchten Stelle
befindet.(` ist hier beliebig aber fest)
c) Vergleichen Sie, wie lange beide Verfahren für ` = 1 Minute schlimmstenfalls brauchen, bis die Stelle gefunden ist.
Aufgabe V4.3 (Mathematik-Online Aufgabe 114)
Prüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie diese
gegebenenfalls:
sin x
x→0 tan(7x)
a) lim
c) lim
x→0
1 − cosh x
x2
ln |x|
x→0 cot x
b) lim
d) lim xx
x→0+0
Aufgabe V4.4 (Mathematik-Online Aufgabe 1426)
Gegeben sind die Funktionen
f1 : R → R : x 7→ x
f2 : R → R : x 7→ x2
f3 : R\{0} → R : x 7→ x1
f4 : R\ k + 12 ∈ Rk ∈ Z : x 7→
cos(πx)
|cos(πx)|
a) Formulieren Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für [−1, 1].
b) Bestimmen Sie, falls möglich, für die Funktionen fi mit i ∈ {1, 2, 3, 4}
jeweils für das Intervall [−1, 1] eine oder mehrere solche Zwischenstellen ξ ,
die die Aussage des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung erfüllt.
Aufgabe V4.5 (eine Differentialgleichung)
Gegeben sei die Differentialgleichung (kurz DGL)
y 00 + y 0 − 6y = 0.
Wir wollen alle Funktionen y(x) finden, die diese DGL erfüllen.
a) Bestimmen Sie alle λ für die eλx eine Lösung der DGL ist.
(Tipp: Es gibt 2 solche λ)
b) Rechnen Sie nach: Sind eλ1 x und eλ2 x Lösungen der DGL, so ist auch
C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
eine Lösung der DGL.
c) Gegeben seien jetzt noch Randbedingungen: Unsere Lösung soll zusätzlich
y(0) = y 0 (0) = 0 erfüllen. Bestimmen Sie C1 und C2 für die
y(x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
Lösung der DGL mit Randbedingungen ist.
(Tipp: C1 und C2 sind eindeutig.)
Die Aufgaben werden am 17.5.2010 in den Vortragsübungen besprochen.