Probe-Klausur zur Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen

15. Januar 2008
Universität Siegen
Fachbereich Mathematik
Dr. M. Stiemer, M. Sc. I. Cherlenyak
Probe-Klausur zur Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
Bearbeitungszeit: 2 Stunden.
Hilfsmittel: ein eigenhändig beidseitig beschriebener DIN-A-4 Zettel.
Alle Behauptungen müssen begründet werden. Zum Bestehen sind 10 Punkte erforderlich.
Aufgabe 1
Lösen Sie das Anfangswertproblem
2
y 0 + xy + ex y 3 = 0 ,
y(0) = 1/2 .
4 Punkte
Aufgabe 2
Bestimmen Sie explizit – das heißt, nach y aufgelöst – die allgemeine Lösung von
2
x − e−y + yx2 y 0 = 0 .
Hinweis: Es gibt einen Eulerschen Multiplikator, der nur von y abhängt.
4 Punkte
Aufgabe 3
Lösen Sie das Anfangswertproblem
y 0 = 2y + x + 1 ,
y(0) = 2 ,
und berechnen Sie, ausgehend von der Startfunktion y (0) ∈ C(R) , y (0) (x) = 2 für x ∈ R ,
die ersten beiden Picard-Iterierten y (1) , y (2) .
4 Punkte
Aufgabe 4
Beweisen Sie, dass der Operator T : C([0, 1]) → C([0, 1]) ,
Z x
(T y)(x) = 1 +
e−t sin y(t) dt ,
x ∈ [0, 1] ,
0
kontrahierend bezüglich der Maximumsnorm || · ||∞ auf C([0, 1]) ist.
Formulieren Sie ein Anfangswertproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung erster
Ordnung, das äquivalent zur Fixpunktgleichung T y = y ist.
4 Punkte
Aufgabe 5
Bestimmen Sie ein (reelles) Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem


−1 0
1
y 0 = −1 0 −1 y .
−1 1 −2
Geben Sie die Lösung an, die y(0) = (1, 0, 1)> erfüllt.
4 Punkte