Lösung zur Übungsaufgabe Wahlteil Exponentialfunktionen e)1x()x

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Lösung zur Übungsaufgabe Wahlteil
Exponentialfunktionen
f ( x ) = ( x + 1) × e 1- x
a) Asymptoten: Senkrechte Asymptoten gibt es keine, da es keine Definitionlücken
gibt.
Waagerechte/Schiefe Asymptoten:
lim f ( x ) = 0 , also y = 0 waagrechte Asymptote für x ® ¥
x ®¥
lim f ( x ) ® -¥ und e-Funktion strebt nicht gegen Null, also keine Asymptote für
x ® -¥
diese Richtung
Schnittpunkt mit x-Achse: ( x + 1) × e 1- x = 0 Þ x = -1 , also N(-1/0)
Schnittpunkt mit y-Achse: f (0) = e , also S(0/e)
Ableitungen: f ¢( x ) = 1× e 1- x + ( x + 1) × e1- x × ( -1) = e1- x (1 - x - 1) = - x × e1- x
f ¢¢( x ) = -1× e1- x - x × e1- x × ( -1) = e1- x (-1 + x )
Extrempunkte: f ¢( x ) = 0 Þ x = 0
f ¢¢(0) < 0 Þ HP(0 / e)
Wendepunkte: f ¢¢( x ) = 0 Þ x = 1
Da f ¢¢(0,9) < 0 und f ¢¢(1,1) > 0 existiert aufgrund des VZW der WP(1/2).
b) F( x ) = -( x + 2) × e 1- x
Nachweis der Stammfunktion erfolgt mit Hilfe der Ableitung:
F ¢( x ) = -1× e1- x - ( x + 2) × e1- x × (-1) = e1- x ( -1 + x + 2) = f ( x ) und somit ist F(x) die
Stammfunktion.
1
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Für die Berechnung der Fläche A 1 wird die Gleichung der Wendenormalen
benötigt:
1
Steigung der Tangente im WP: f ¢(1) = -1 Þ m Norm = =1
-1
Punkt-Steigungs-Form: y - 2 = 1( x - 1) Þ y = x + 1 ist die Wendenormale.
1
1
A 1 = ò [( x + 1) × e
-1
1- x
1
é
ù
- ( x + 1)]dx = ê- ( x + 2) × e1- x - x 2 - x ú
2
ë
û -1
= -3 - 0,5 - 1 - ( -e 2 - 0,5 + 1) = e 2 - 5
z
[
A 2 = ò ( x + 1)e 1- x dx = - ( x + 2)e 1- x
z
]
-1
= -( z + 2)e 1-z + 1e 2 ® e 2 für z ® ¥
-1
c)
d(u) = f (u) - g(u) = (u + 1) × e1-u - e 1-u = u × e 1-u mit 0 < u < ¥ .
d¢(u) = e 1-u - u × e1-u = e 1-u (1 - u) = 0 Þ u = 1
Es gilt d¢(0,9) > 0 und d¢(1,1) < 0 , also Maximum mit d(1) = 1.
Randwerte: d(0) = 0, also kein Maximum
lim d(u) = 0 also kein Maximum.
u ®¥
Somit ist das absolute Maximum bei u = 1 mit der Sehnenlänge d = 1.
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