Musterlösungen zum 12. Aufgabenblatt

Musterlösung zu Blatt 12 der Vorlesung Analysis I WS08/09
Schriftliche Aufgaben
Aufgabe 1.
Beweisskizze (a): Wir benutzen die Stetigkeit von sin und cos und
sin(−π/2) = −1,
sin(π/2) = 1,
cos(−π/2) = cos(π/2) = 0,
sowie cos(x) > 0 für alle x ∈ (−π/2, π/2). Es folgt
lim
x→−π/2,x>−π/2
sin(x) = −1,
lim
x→−π/2,x>−π/2
cos(x) = 0.
Jetzt benutzen wir Aufgabe 1 von Blatt 10, davon Teile (2) und (3), angewandt
1
auf die Funktionen sin und x 7→ cos(x)
, um die erste zu beweisenden Gleichung
zu erledigen. Die zweite Gleichung folgt analog.
Wichtige Schritte: Aufgabe 1 von Blatt 10 benutzen.
Beweisskizze (b): Die Funktion sin ist auf [0, π/2) streng monoton wachsend und nicht-negativ (was wir aus der geometrischen Denition des Sinus
wissen). Die Funktion cos ist auf [0, π/2) aus dem gleichen Grund streng mo1
noton fallend und positiv. Also ist x 7→ cos(x)
in diesem Bereich streng mosin(x)
noton wachsend und positiv. Folglich ist das Produkt x 7→ cos(x)
der beiden
Funktion in fraglichem Bereich nicht-negativ und streng monoton wachsend.
Da die Funktion tan in diesem Bereich streng monoton wachsend ist und im
Bereich (−π/2, π/2) ungerade, ist sie insgesamt streng monoton wachsend. Sie
ist stetig als Quotient zweier stetiger Funktionen. Die Surjektivität (und damit
Bijektivität) kann man nun aus (a) und dem Zwischenwertsatz folgern.
Wichtige Schritte: Genau hinschauen + ZWS.
Beweisskizze (c): Gesucht ist also ein x ∈ (−π/2, π/2) mit tan(x) = 1
(bzw. tan(x) = −1). Im ersten Fall suchen wir also p
ein x mit sin(x) = cos(x).
2
2
Aus sin + cos = 1 folgt schon sin(x) = cos(x) = ± 1/2. Aus geometrischen
Überlegungen oder den Additionstheoremen erhalten wir sofort x = π/4 (was
einem Winkel von 45 Grad entspricht). Es folgt also arctan(1) = π/4. Analog
(oder aus Symmetrieüberlegungen, arctan ist eine ungerade Funktion) folgt
arctan(−1) = −π/4.
Der Graph von arctan beginnt links fast parallel zur x-Achse auf der Höhe
−π/2, wird langsam steiler, ist in −1 gerade −π/4, geht dann mit Steigung 1
durch 0, geht dann bei 1 durch π/4 und wird dann wieder acher, bis er auf
Höhe π/2 wieder fast parallel zur x-Achse ist.
Aufgabe 2.
[Für diese Aufgabe folgt eine richtige Lösung, keine bloÿe Skizze. Man beachte, daÿ in dieser Lösung keine Äquivalenzpfeile oder Implikationspfeile in
Rechnungen benutzt werden, sondern alle logischen Verknüpfungen im Text
1
2
ausgesprochen werden. Das Resultat liest sich, denke ich, recht üssig. Dieses
Vorgehen empfehle ich zur Nachahmung, auch da es so schwerer fällt, logische
Flüchtigkeitsfehler einzubauen.]
Voraussetzungen: Seien die Funktionen cosh : C → C und sinh : C → C
deniert durch
¢
¢
1¡ z
1¡ z
cosh(z) :=
e + e−z ,
sinh(z) :=
e − e−z .
2
2
Behauptung (a): Die Funktionen cosh und sinh sind stetig, und es gelten für
alle z ∈ C die folgenden Gleichungen:
cosh(z) = cos(iz), sinh(z) = −i sinh(iz), cosh(−z) = cosh(z), sinh(−z) = − sinh(z).
Beweis (a): Die Funktionen z 7→ −z und z 7→ ez sind laut Vorlesung auf
ganz C stetig, also auch ihre Hintereinanderausführung z 7→ e−z . Die Summe
von stetigen Funktionen ist stetig, weshalb z 7→ ez + e−z stetig ist. Das Produkt einer stetigen Funktion mit einem festen Skalar ist stetig, also auch cosh.
Ebenso ist die Dierenz z 7→ ez − e−z zweier stetiger Funktionen stetig, also
auch sinh.
Sei z ∈ C. Wir setzen nun iz in die Denition 14.12 des Kosinus auf C ein
und erhalten
´ 1¡
¢
1 ³ i(iz)
e−z + e+z = cosh(z).
cos(iz) =
e
+ e−i(iz) =
2
2
Ebenso setzen wir iz in die Denition 14.12 des Sinus auf C ein und erhalten
´
¢
−i ³ i(iz)
1¡
−i sin(iz) =
e
− e−i(iz) = − e−z − e+z = sinh(z).
2i
2
Für die letzten beiden Gleichungen, die wir zeigen wollen, benutzen wir direkt
die obigen Denitionen von cosh und sinh. Es gilt
´ 1¡
¢
1 ³ −z
cosh(−z) =
e−z + ez = cosh(z)
e + e−(−z) =
2
2
und
´ 1¡
¢
1 ³ −z
e−z − ez = − sinh(z).
sinh(−z) =
e − e−(−z) =
2
2
Behauptung (b): Für alle z, w ∈ C gilt
cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w),
sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w),
2
cosh (z) + sinh2 (z) = 1.
Beweis (b): [Anmerkung: Die ersten beiden Formeln kann man auf zwei We-
gen beweisen, nämlich durch Einsetzen in die Denition und Ausrechnen, sowie
alternativ, indem man obige Formeln für den Zusammenhang von cosh und cos
etc. benutzt, um die Additionstheoreme auf Satz 14.14 (Additionstheoreme für
Sinus und Kosinus) zurückzuführen. Wir führen hier beiden Wege einmal vor.
Wir benutzen im übrigen immer wieder das Additionstheorem für die Exponentialfunktion, Satz 14.1 (2).]
3
Seien z und w in C. Dann gilt
´ 1¡
¢
1 ³ z+w
cosh(z + w) =
e
+ e−(z+w) =
ez ew + e−z e−w .
2
2
Andererseits gilt
¢1¡ w
¢ 1¡ z
¢1¡ w
¢
1¡ z
cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) =
e + e−z
e + e−w +
e − e−z
e − e−w
2
2
2
2
¢
1¡ z w
−z w
z −w
−z −w
=
e e +e e +e e +e e
4
¢
1¡
+ ez ew − e−z ew − ez e−w + e−z e−w
4
¢
1¡ z w
=
2e e + 2e−z e−w .
4
Hier haben wir im letzten Schritt einige Terme gekürzt bzw. zusammengefaÿt.
Insgesamt haben wir nun die gewünschte Gleichung gezeigt.
Das zweite Additionstheorem zeigen wir nun, indem wir es auf Satz 14.14
zurückführen: Es gilt
sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w)
=
−i sin(iz) cos(iw) + cos(iz)(−i sin(iw))
=
−i(sin(iz) cos(iw) + cos(iz) sin(iw))
14.14
=
−i sin(iz + iw) = −i sin(i(z + w)) = sinh(z + w).
Hierbei haben wir die Formel aus Satz 14.14 für iz und iw anstelle von z und
w benutzt.
Nun zur letzten verbleibenden Formel, diese zeigen wir wieder direkt; es gilt
1
1
cosh(z) + sinh(z) = (ez + e−z ) + (ez − e−z ) = ez
2
2
und analog
cosh(z) − sinh(z) = e−z .
Also ergibt sich
cosh2 (z)−sinh2 (z) = (cosh(z)+sinh(z))(cosh(z)−sinh(z)) = ez e−z = ez−z = e0 = 1.
Behauptung (c): Für alle z ∈ C gelten
∞
X
z 2n
cosh(z) =
(2n)!
und
sinh(z) =
n=0
∞
X
n=0
z 2n+1
(2n + 1)!
Beweis (c): [Anmerkung: Auch hier gibt es wieder zwei Beweisvarianten: Eine
direkte und eine unter Benutzung der analogen Formeln für Sinus und Kosinus.
Wir machen beides einmal vor.]
Sei z ∈ C. Es gilt
14.13
cosh(z) = cos(iz) =
∞
X
2n
n (iz)
(−1)
n=0
da für alle n ∈ N gilt:
1.
i2n
=
(i2 )n
=
(2n)!
(−1)n ,
=
∞
X
∞
n 2n
(−1) i
n=0
und deshalb
X z 2n
z 2n
=
,
(2n)!
(2n)!
n=0
(−1)n i2n
= (−1)2n =
4
Nun zur zweiten Formel: Es gilt
sinh(z) =
∞
∞
∞
n=0
n=0
n=0
¢ 1 X z n 1 X (−z)n
1¡ z
1 X z n − (−z)n
e − e−z =
−
=
;
2
2
n!
2
n!
2
n!
hier haben wir benutzt, daÿ beide Reihen (absolut) konvergieren, wir also getrost die Summation und die Dierenz vertauschen dürfen. Ist nun n ∈ N
gerade, so gilt z n = (−z)n , also z n − (−z)n = 0. Ist n ∈ N ungerade, so gilt
z n − (−z)n = 2z n . Insgesamt ist also der Term in der Summe 0 für gerade n
n
und gleich 2zn! für ungerade n. Nach Umindizierung (wir ersetzen jedes gerade
n durch zweimal die Hälfte und werfen die ungeraden n einfach weg) erhalten
wir die gesuchte Formel.
Wichtige Schritte: Viele kleine...
Aufgabe 3
Beweisskizze (a): [Wer Aufgabe 4 von Blatt 11 gelöst hat, ist hier klar im
Vorteil! Wir machen hier alles aber noch einmal ohne Rückverweis auf diese
Aufgabe!]
Monotonie: x 7→ ex ist streng monoton wachsend auf R (Satz 14.4 (2)). Also
ist x 7→ e−x streng monoton fallend, also x 7→ −e−x streng monoton wachsend.
Also ist x 7→ ex − e−x streng monoton wachsend. Somit ist auch sinh auf R
streng monoton wachsend.
Bijektivität: Es gilt limx→∞ ex = ∞ und limx→−∞ e−x = 0 (siehe Satz
14.9 bzw. Satz 14.4 und den Beweis dazu). Folglich gilt limx→∞ ex − e−x =
+∞ und limx→−∞ ex − e−x = −∞. Es folgt limx→∞ sinh(x) = +∞ und
limx→−∞ sinh(x) = −∞. Aus der Stetigkeit von sinh und dem Zwischenwertsatz folgt nun die Surjektivität. Injektivität folgt schon aus der strengen Monotonie.
Die Formel für den arcus sinus hyperbolicus erhält man nun durch Einsetzen.
Wichtige Schritte: Eigenschaften der Expontenialfunktion und der Zwischenwertsatz. Es gibt auch andere Lösungswege, etwa unter Zuhilfenahme
von Aufgabe 4, Blatt 11.
Beweisskizze (b): cosh(R) = cosh([0, ∞)) folgt aus cosh(x) = cosh(−x) für
alle x ∈ R.
Die Bijektivität kann auf verschiedenste Weise zeigen. Eine, brutale, Möglichkeit ist, cosh(x) in die angebotene Formel für die Umkehrfunktion einzusetzen (und andersherum) und auf diese Weise nachzurechnen, daÿ Arccosh, wie
angegeben, eine Umkehrfunktion von cosh auf fraglichem Intervall ist. Dann
muÿ cosh dort bijektiv sein. Hätte man die Dierentialrechnung zu Verfügung,
wäre man ganz schnell fertig.
Wir benutzen folgenden Argument: Erstens überzeugt man sich (anhand
elementarer Umformungen), daÿ y + 1/y ≥ 2 für alle y > 0 gilt; hierbei gilt
Gleichheit genau dann, wenn y = 1 gilt. Es folgt cosh(x) ≥ 1 für alle x ∈ R
mit Gleichheit genau für x = 0. Nun benutzen wir das Additionstheorem für
5
cosh: Seien x und x0 aus [0, ∞) mit x0 > x. Setze w := x0 − x > 0. Dann gilt
cosh(x0 ) = cosh(x + w) = cosh(x) cosh(w) + sinh(x) sinh(w).
Aus (a) wissen wir, daÿ sinh(x) ≥ sinh(0) = 0, da x ≥ 0 und sinh monoton
wachsend ist. Analog gilt sinh(w) > 0. Schlieÿlich gilt cosh(w) > 1. Also folgt
cosh(x0 ) = cosh(x) cosh(w) + sinh(x) sinh(w) ≥ cosh(x) cosh(w) > cosh(x).
Nun gilt cosh(0) = 1 und oenbar limx→∞ cosh(x) = ∞, also ist cosh bijektiv auf den angegebenen Intervallen.
Das die angegeben Formel für Arccosh stimmt, überprüft man wiederum
durch Einsetzen.
Skizze (c): Der Graph von cosh ist eine Art Kreuzung einer nach oben geöneten Parabel mit der Exponentialfunktion; in 0 ist die Funktion 1 und verläuft
dort waagerecht. Nach links und rechts steigt sie dann aber bald viel schneller
an, als jedes Polynom.
Der Graph von sinh ist andererseits eine Art Kreuzung von x 7→ x3 und der
Exponentialfunktion. Die Funktion kommt von −∞ herauf, ist in 0 gleich 0,
hat dort aber Steigung 1, und steigt dann rasant an. Sie verläuft aber immer
unterhalb von cosh.
Die anderen beiden Graphen erhält man, indem man an der Geraden durch
den Ursprung mit Steigung 1 spiegelt.
Aufgabe 4
Beweisskizze: Die Wurzelfunktion f ist auÿerhalb der Null dierenzierbar,
aber nicht in 0. Die Ableitung ist für x > 0 gegeben durch f 0 (x) = 2√1 x .
Für alle x, x0 ∈ (0, ∞) mit x 6= x0 gilt
√
√
√
√
1
x − x0
x − x0
√
√
√ .
=√
= √
√
0
0
0
x−x
( x − x )( x + x )
x + x0
Aus der Stetigkeit der Inversion und der Wurzelfunktion folgt dann für alle
x ∈ (0, ∞):
√
√
x − x0
1
1
√ = √ ,
lim
= lim
√
0
0
0
0
x →x
x →x
x−x
2 x
x+ x
was zu beweisen war.
Für die Null stellen wir folgenden Überlegung an: Es gilt für alle x0 > 0 gilt
√
√
0 − x0
1
=√ ;
0 − x0
x0
dies konvergiert nicht für x0 → 0.