Theorie und Numerik von Differentialgleichungen mit MATLAB und

Theorie und Numerik von Differentialgleichungen
mit
MATLAB und SIMULINK
SS08
Abgabe: 6.6.2008
Aufgabe 8.1
Ein Integrationsverstärker kann mit Hilfe eines Widerstandes, eines Operationsverstärkers
und einer Kapazität folgendermaßen realisiert werden.
Erregt man den Integrationsvertärker durch eine Spannungsquelle Ue mit dem Eingangssignal
Ue(t) = cos(2 π t)
so erhält man am Knoten 3 das integrierte und skalierte Ausgangssignal
t
1
Ua = −
U e (s)ds = -sin(2 πt )
R 1 C1 ∫0
Eine Standard-Netzwerkanalyse führt auf die Algebro-Differentialgleichung vom Index 1
0

C1


− C1




− C1
C1
 y& 1   G 1
  
 y& 2   − G 1
 y&  + 
 3  
0  &i 1  
 
0  &i 2   1
− G1
G1
−1
1  y 1 
 0 


 
0
 0 
 y 2 
0 1  y 3  =  0 


 
0
 0 
 i 1 
 U (t) 
 i 
0
 2 
 e 
0
für die Potentiale y1, y2, y3 an den Knoten 1, 2 und 3 sowie die Ströme i1 und i2 durch die
Spannungsquelle und den Operationsverstärker.
Ermitteln Sie die Ausgangsspannung y3 für den Zeitraum [0,1] mit dem impliziten Euler, der
Trapezregel und dem BDF2-Verfahren und verschiedenen Schrittweiten.
Wählen Sie als Anfangsbedingung einmal die korrekte (1,0,0,2*pi,-2*pi) und einmal eine
falsche. Was beobachten Sie?
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Aufgabe 8.2
Werden in der Schaltung aus der Aufgabe 8.1 der Widerstand und die Kapazität vertauscht,
dann ergibt sich ein Differentiationsverstärker.
Dieser soll ebenfalls für t = 0 bis 1ns mit dem Eingangssignal
Ue(t) = cos(2 π t)
erregt werden. Als Ausgangssignal am Knoten 3 ergibt sich in diesem Fall die skalierte
Ableitung der Eingangsspannung
Ua(t) = -R1C1 U ′e ( t ) = sin (2πt ).
Eine Netzwerkanalyse liefert hier das Algebro-Differentialgleichungssystem vom Index 2
 C1

 − C1





− C1
C1
0
  y1′   0
  
  y ′2   0 G 1
  y′  +  0 − G
0
1
 3 
0
  i1′   0 − 1
 
0   i ′2   1
0
0
− G1
G1
0
0
0 1   y1   0 

  
0 0  y2   0 
1 0  y3  =  0  .

  
0 0   i1   0 

  
0 0   i 2   U e ( t ) 
Ermitteln Sie die Ausgangsspannung y3 für den Zeitraum [0,1] mit dem impliziten Euler, der
Trapezregel und dem BDF2-Verfahren und verschiedenen Schrittweiten.
Wählen Sie als Anfangsbedingung einmal die korrekte (1,0,0,0,0) und noch andere. Was
beobachten Sie?
Verringern Sie die Schrittweite!
Aufgabe 8.3
Verifizieren Sie, dass die obigen Algebro-Differentialgleichungen den angegebenen Index
haben.
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