1 Quadratische Gleichungen lösen

Mathematik Sek II
Choge guet drus cho!
1 Quadratische Gleichungen lösen
Für das Lösen von quadratischen Gleichungen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten:
1. quadratische Ergänzung
2. pq-Formel
3. Mitternachtsformel / abc-Formel
Quadratische Ergänzung
Bei der quadratischen Ergänzung wird die Gleichung so ergänzt, dass sich ein Binom ergibt.
Repetition binomische Formeln
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
(a − b)2
a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b)
a2 − b 2
Dazu wird eine Gleichung der Form mx2 + nx + k = 0 in vier Schritten umgeformt:
1. Konstante k auf die rechte Seite bringen
mx2 + nx
2. quadratische Ergänzung bestimmen
(n/2)2 : m = o
3. quadratsiche Ergänzung addieren
4. Binom bilden
= −k
mx2 + nx + o = −k + o
√
√
( mx + o)2 = −k + o
Choge guet drus cho!
Mathematik Sek II
Nun kann die Gleichung in zwei weiteren Schritten aufgelöst werden:
5. Wurzel ziehen
6. nach x auflösen
√
√
√
( mx + o = ± −k + o
√
√
x = ± −k + o − m
Hinweis: Falls m keine Quadratzahl ist, eignet sich die Mitternachtsformel besser.
So trocken sieht das recht kompliziert aus. Deshalb hier ein Beispiel:
Gegeben:
1. Konstante k (-7) auf die rechte Seite bringen
2. quadratische Ergänzung bestimmen
3. quadratsiche Ergänzung addieren
x2 + 6x − 16 = 0
x2 + 6x = 16
(6/2)2 : 1 = 9
x2 + 6x + 9
= 16 + 9
4. Binom bilden
(x + 3)2
= 25
5. Wurzel ziehen
x+3
= ±5
6. nach x auflösen
x1,2
= 2, −8
Löse nun die folgenden Aufgaben mit Hilfe der quadratischen Ergänzung auf ein separates
Blatt.
1. x2 − 4x = −3
5. x2 + 24x − 108 = 0
2. x2 + 14x + 24 = 0
6. 4x2 − 20x + 24 = 0
3. x2 + 12x + 20 = 0
7. 9x2 + 30x + 24 = 0
4. x2 + x = 2
Mathematik Sek II
Choge guet drus cho!
pq-Formel
Mit Hilfe der pq-Formel kann man quadratische Gleichungen der Art x2 + px + q = 0 einfach
auflösen. Die Formel lautet:
x1,2 =
− p2
r
± ( p2 )2 − q
Auch hier gibt es wieder ein Beispiel:
Gegeben:
x2 − 6x − 55 = 0
p = −6
q = −55
2. pq-Formel aufstellen
x1,2
= −( −6
)±
2
3. Klammern in Wurzel auflösen
x1,2
)±
= −( −6
2
4. Addition in Wurzel
x1,2
= −( −6
)±
2
5. Wurzel ausrechnen
x1,2
= −( −6
)±8
2
6. Ergebnis bestimmen
x1,2
= 11, −5
1. p und q bestimmen
q
√
√
( −6
)2 − (−55)
2
9 + 55
64
Löse nun die folgenden Aufgaben mit Hilfe der pq-Formel auf ein separates Blatt.
1. x2 + 8x − 20 = 0
5. x2 + 24x − 25 = 0
2. x2 − 8x − 20 = 0
6. x2 + 12x − 13 = 0
3. x2 + 8x − 128 = 0
7. x2 − 49x − 50 = 0
4. x2 − 28x + 29 = 2
Mathematik Sek II
Choge guet drus cho!
Mitternachtsformel / abc-Formel
Mit Hilfe der pq-Formel kann man quadratische Gleichungen der Art ax2 + bx + c = 0 einfach
auflösen. Im Vergleich zur pg-Formel gibt es hier eine dritte Variable (a). Die Formel lautet:
x1,2 =
√
−b± b2 −4ac
2a
Auch hier gibt es wieder ein Beispiel:
Gegeben:
1. a, b und c bestimmen
3x2 − 16x + 30
=
a = 3 b = −16
0
c = 30
−(−16)±
√
(−16)2 −4∗3∗30
2∗3
2. Mitternachtsformel aufstellen
x1,2
=
3. Klammern in Wurzel auflösen
x1,2
=
4. Addition in Wurzel
x1,2
=
√
−(−16)± 256−240
2∗3
√
−(−16)± 64
2∗3
5. Wurzel ausrechnen
x1,2
=
−(−16)±8
6
6. Ergebnis bestimmen
x1,2
=
4, 4/3
Löse nun die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Mitternachtsformel auf ein separates Blatt.
1. 5x2 − 17x + 12 = 0
5. 7x2 − 24x − 31 = 0
2. 5x2 + 6x − 8 = 0
6. 8x2 + 50x + 23 = 0
3. 2x2 − 9x − 35 = 0
7. 29x2 − 66x + 37 = 0
4. 3x2 + 36x + 105 = 2
8. 8x2 + 10x − 403 = 0
Choge guet drus cho!
Mathematik Sek II
Lösungen
Quadratische Ergänzung:
1. L= {1, 3}
5. L= {−18, 6}
2. L= {−12, 2}
6. L= {2, 3}
3. L= {−10, 2}
7. L= {−2, −4/3}
4. L= {−5, 4}
pq-Formel:
1. L= {−10, 2}
5. L= {−25, 1}
2. L= {−2, 10}
6. L= {−15, 3}
3. L= {−16, 8}
7. L= {−1, 50}
4. L= {1, 27}
Mitternachtsformel:
1. L= {0.8, 2.6}
5. L= {−1, 31/7}
2. L= {−2.4, 1.2}
6. L= {−23/4, −1/2}
3. L= {−2.5, 7}
7. L= {1, 37/29}
4. L= {−7, −5}
8. L= {6.5/7.75}