Formeln Mathematik 2

Formelsammlung (1)
Formelsammlung (2)
Ebene Figuren (A: Flächeninhalt u: Umfang)
Quadrat
A=a
a
b
A=a·b
u=2·a+2·b
a
Dreieck
g ˜h
2
Würfel
Rechteck
2
u=4·a
A
Körper (V: Volumen O: Oberfläche G: Grundfläche M: Mantelfläche)
b
a
h
Im rechtwinkligen
Dreieck gilt:
2
2
Höhen- und Kathetensatz
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Parallelogramm
b
a
G
G
Quadratische Pyramide
V = S · r2 · h
b
h
r
O = 2 ·S· r + 2 ·S· r · h
d
b
h
A
Kreis
d=2·r
A = S˜ r2
a
Kreissektor und Kreisbogen
ʌ ˜ r 2˜Į
A
r
3600
D b
ʌ˜r ˜Į
r
b
0
180
u = 2˜S˜r
S˜
V
S˜d
ʌ ˜ r2 ˜ h
3
s
h
Kreisring
r
O = 4 · S · r2
Maßeinheiten
ra
ri
Länge
1 km
Beispiel:
AB A´B´
usw.
AC A´C´
außerdem gilt: Z
ZA AB
usw.
ZA´ A´B´
4 ˜ ʌ ˜ r3
3
V
r
O = S · r2 + S · r · s
Fläche
=1000 m
1m
Zentrische Streckung und Ähnlichkeitsbeziehungen
Wird das Original '(ABC) bei einer
zentrischen Streckung mit dem
Streckungszentrum Z und dem
Streckungsfaktor k (k v 0) auf das Bild
'(A´B´C´) abgebildet, dann sind beide
Dreiecke zueinander ähnlich.
Das bedeutet:
Æ die Winkelgrößen bleiben erhalten
Æ die Streckenverhältnisse sind konstant
a
a
d
d2
4
A ʌ ˜ ra2 ʌ ˜ ri 2
hs
Kugel
Kegel
r
h
O = a2 + 2 · a · hs
c
c
a2 ˜ h
3
V
2
g=a
h
M
Zylinder
q
Trapez
ac
˜h
2
u=a+b+c+d
G
V=G·h
h
b
a
O=2·a·b+2·a·c+2·b·c
h
O=2·G+M
u=2·a+2·b
V=a·b·c
Prisma
a
A=g·h
h
p
b
c
u=a+b+c
a =c·q
b2 = c · p
a
a
2
a +b =c
2
O = 6 · a2
a
c
a
V = a3
Satz des Pythagoras
g=c
h2 = p · q
Quader
C´
kv0
=1000 mm
=100 mm
=10 mm
Volumen
1 m³
C
B
1 m²
=10 dm =100 cm
1 dm =10 cm
1 cm
=1000 dm³
1 dm³
1 Liter = 1l = 1 dm3
A´
=100 cm²
1 cm²
1 a = 100 m²
=100 mm²
1 ha = 10000 m²
Masse
1t
=1000 cm³
1 cm³ =1000 mm³
B´
A
=100 dm²
1 dm²
1 Milliliter = 1 ml = 1 cm3
=1000 kg
1 kg
=1000 g
1g
=1000 mg
Formelsammlung (3)
Formelsammlung (4)
Trigonometrie (im rechtwinkligen Dreieck)
Prozentrechnung
G: Grundwert
W: Prozentwert
p%: Prozentsatz
W
G˜ p
100
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
K0:
Kn:
n:
p%:
a
b
Zinseszinsen (exponentielles Wachstum)
D
Kapital am Anfang
100 p
Kapital nach n Jahren
Zinsfaktor: q
Zeit in Jahren
100
Zinssatz in Prozent
Kn = K0 · q
n
c
sin Į
a Gegenkathete
c Hypotenuse
cos Į
b Ankathete
c Hypotenuse
tan Į
a Gegenkathete
b
Ankathete
E
Beschreibende Statistik / Stochastik
Binomische Formeln
Arithmetisches Mittel (Mittelwert x )
(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2
(a – b)2 = a2 – 2·a·b + b2
(a + b)·(a – b) = a2 – b2
x
Potenzgesetze
Für m, n\ bei positiven reellen Basen bzw. für m, n] bei Basen aus \ \ ^0`
am · an = am+n
am : an = am–n
an · bn = (a · b)n
an : bn = (a : b)n
a0 = 1
a n a1n
(am)n = am·n
Wurzelgesetze (… für a, b p 0)
n
n
a ˜n b
n
a ˜b
n
a
b
n
a
(b ! 0)
b
n m
a
m n
a
m˜ n
a
n
a
m
n
am
Quadratische Gleichungen
Lösung:
Normalform:
2
x + px + q = 0
x1/ 2
2p r ( 2p )2 q ; wenn ( 2p )2 q t 0, sonst x ‡
Lineare Funktionen: y = m · x + n
Quadratische Funktionen:
m: Steigung der Geraden g durch die
Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2)
y y
m 2 1 ( x2 z x1 )
x2 x1
n: Schnittpunkt mit der y-Achse
Allgemeine Form: y = ax2 + bx + c (av0)
Normalform:
y = x2 + px + q
b
c
(aus der allg. Form durch p
und q
)
a
a
y
.
.
P1
x2 – x1
P2
y2 – y1
Scheitelform: y = (x – d)2 + e Æ S (d | e)
y
x
x
g
S (d | e)
x1 x2 ... xn
n
Median (Zentralwert)
In einer Stichprobe, deren Werte nach der Größe geordnet sind, stehen links und rechts vom
Median gleich viele Werte. Der Median ist also die Mitte der Liste. Bei einer geraden Anzahl
von Werten ist der Median deswegen nicht eindeutig bestimmt (man nimmt dann z.B. das
arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden Werte oder einen dieser beiden Werte).
Laplace - Versuch
Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. Münzwurf).
Die Wahrscheinlichkeit P für das Eintreten eines Ereignisses E berechnet man wie folgt:
Anzahl der günstigen Ergebnisse
P (E)
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Mehrstufige Zufallsversuche lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen. Dabei kann ein
Ergebnis als Pfad veranschaulicht werden. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich mithilfe von
Pfad- und Summenregel berechnen.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
p1
...
p2
P(E) = p1 · p2
...
...
E
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist
gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
p2
p
1
P(E) = P(E1) + P(E2)
= p1 · p2 + q1 · q2
E1
E
E2
q
1
q2