Quadratische Funktionen

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Quadratische Funktionen
Du kennst bereits die linearen Funktionen. Mit ihnen kann man sehr gut funktionale Zusammenhänge
betrachten, die einer Proportionalität unterliegen. Quadratische Funktionen begegnen dir in der Physik
(Bremsweg, freier Fall, beschleunigte Bewegung, etc.), in deinem späteren Betrieb, im Bauwesen und im
täglichen Leben sehr häufig. Der Begriff "quadratisch" bezieht sich auf das „x“. Bei linearen Funktionen ist
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der Exponent immer 1, also y = mx + b. Bei quadratischen Funktionen ist der Exponent immer 2. So werden
sie auch in der Mathematik als „Funktion zweiten Grades“ bezeichnet.
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Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei dem jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird.
Quadratische Funktionen sind Zuordnungen, deren Funktionsgraph eine Parabel ist.
Quadratische Funktionen können bis zu 2 Nullstellen haben.
Quadratische Funktionen haben einen Scheitelpunkt.
Quadratische Funktionen lassen sich durch folgende Funktionsgleichung darstellen:
Normalform einer quadratischen Funktion
Funktionen der Form y = ax2
Die einfachen quadratischen Funktionen sind dargestellt in der Form: y = ax2. „a“ wird auch Streckungsfaktor
genannt. Wenn a = 1 ist, dann haben wir sogar die einfachste Form der
quadratischen Funktion, die Normalparabel. Wenn a größer
wird als 1, dann spricht man von einer Stauchung, wenn a
Funktionsgleichung der
zwischen 0 und 1 liegt, dann spricht man von einer
Normalparabel
Streckung der Parabel. Diese Zusammenhänge kann man
sich am besten an den jeweiligen Funktionsgraphen und
deren Wertetabelle deutlich machen. Spätestens nach Beendigung der ersten
Übungsaufgabe wird dir deutlich, dass du gar nicht so viele Werte berechnen
musst, denn es gibt bei den Parabeln der Form y = ax2 einfache
Streckungsfaktor
Zusammenhänge: Sie sind alle achsensymmetrisch zur y-Achse. Tipp: Bist du
dir nicht sicher, wie eine Funktion in einem bestimmten Bereich aussieht, dann
musst du dir für diesen Bereich noch weitere Werte berechnen. Ferner solltest du dir beim Zeichnen sehr
viel Mühe geben, denn quadratische Funktionen haben nirgends eine gerade Linie.
Funktionen der Form y = ax2 + c
Genau wie die Funktionen der Form y = ax2 sind diese
Funktionen an jeder Stelle nur um „c“ nach oben oder nach
unten verschoben. So sieht die Funktion y = 4x2 – 2
Verschiebung der
genauso aus wie die Funktion y = 4x2 nur dass die Funktion
Parabel nach oben oder
um 2 nach unten verschoben worden ist. Wie Funktionen in
unten
der Form y = ax2 sind auch diese Funktionen
achsensymmetrisch zur y-Achse. Auch hier werden dir die Übungsaufgaben helfen die Zusammenhänge
besser zu verstehen.
Funktionen der Form y = ax2 + bx + c
Die Funktionen dieser Typen begegnen dir später am häufigsten. Mit Hilfe der
binomischen Formeln kannst du später noch diese Funktionen als Scheitelpunktsformen
oder als Nullstellenform (auch Produktform genannt) bestimmen. Funktionen können
nämlich nicht nur nach oben oder unten verschoben werden durch das „c“, sie können
auch nach links oder rechts verschoben werden. Mit dieser Form lassen sich viele
Eigenschaften aus dem täglichen Leben beschreiben. Uns werden hier noch die
Nullstellen und die Schnittpunkte mit anderen Funktionen begegnen.