Leistungsnachweis Mathematik 1 Wintersemester 2007/2008

Leistungsnachweis Mathematik 1
Wintersemester 2007/2008
Prof. Dr. Rainer Sawatzki
5. Februar 2008
Name, Vorname
Matrikelnummer
Aufgaben
7
erreichbare Punkte
100
Punkte:
Ergebnis:
Hinweise zur Klausur
Schriftliche Unterlagen sind grundsätzlich nicht erlaubt (Script, Bücher, eigene Aufzeichnungen). Nur die Benutzung einer Formelsammlung ist erlaubt.
Die Nutzung eines Taschenrechners ohne Funktionsplotter ist erlaubt.
Kommunikation mit anderen ist verboten (auch Laptop, Handy, eMail, etc.).
Ergebnisse
Der Rechenweg, der zu den Ergbenissen geführt hat, muss für jede Lösung nachvollziehbar dokumentiert werden.
Die schriftlichen Ergebnisse werden am Ende der Klausur eingesammelt und anschließend bewertet.
Es gelten nur die abgegebenen schriftlichen Ergebnisse; mündliche Erläuterungen sind
für das Ergebnis nicht relevant.
Numerische Ergebnisse müssen mit 4 signifikanten Stellen angegeben werden, wenn
nichts anderes vorgegeben ist.
1
WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
1 Funktionen
1.1 Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion:
1. f1 (x) = tan(x) − cos(x)
9 Punkte
Nf =
1.2 Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktionen:
6 Punkte
x2 + x − 2
=
x→1
x−1
1. lim
x3 + x2 − 4x − 4
=
x→1 −x3 − x2 + 4x + 4
2. lim
2 Differentialrechnung
√
√ √
2.1 Diskutieren Sie die Kurve f (x) = x 2 − x2 , Df = [− 2; 2].
30 Punkte
Zur Kurvendiskussion gehören: Symmetrie, Nullstellen, Polstellen, Minima und Maxima,
Wende- oder Sattelpunkte, Asymptote, Bildmenge, Skizze.
2
WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
√ √
√
f (x) = x 2 − x2 , Df = [− 2; 2]
3
WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
2.2 Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion f (x) = ex − 3x mit
Hilfe des Newton-Verfahrens vom Startwert x0 = 0 aus.
15 Punkte
1. Prüfen Sie, ob der Startwert der Anfangsbedingung genügt.
2. Führen Sie 3 Iterationen aus und geben Sie jeweils das Ergebnis mit 6 signifikanten Stellen an.
4
WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
3 Integralrechnung
3.1 Berechnen Sie die bestimmten Integrale:
1.
R3
15 Punkte
x2 − 5x + 8 dx =
0
2.
R4 √
16 − x2 dx =
0
3.
R2
xe−x dx =
0
3.2 Berechnen Sie das Volumen der “Zwiebel”, die durch Rotation
der Funktion f (x) = x2 (x − a) im Intervall [0; a] um die x-Achse
entsteht.
10 Punkte
5
WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
3.3 Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals
Z4
ln(x)dx
1
näherungsweise mit Hilfe der zusammengesetzten
Simpson-Regel für n = 6. (6 Intervalle – 7 Stützstellen)
15 Punkte
Anzahl der Aufgaben: 7
Erreichbare Punkte: 100
6