Leistungsnachweis Mathematik 1 Sommersemester 2007

Leistungsnachweis Mathematik 1
Sommersemester 2007
Prof. Dr. Rainer Sawatzki
12. Juli 2007
Name, Vorname
Matrikelnummer
Aufgaben
12
erreichbare Punkte
100
Punkte:
Ergebnis:
Hinweise zur Klausur
Schriftliche Unterlagen sind grundsätzlich nicht erlaubt (Script, Bücher, eigene Aufzeichnungen)
Nur die Benutzung einer Formelsammlung ist erlaubt.
Die Nutzung eines Taschenrechners ohne Funktionsplotter ist erlaubt.
Kommunikation mit anderen ist verboten (auch Laptop, Handy, eMail, etc.).
Ergebnisse
Der Rechenweg, der zu den Ergbenissen geführt hat, muss für jede Lösung nachvollziehbar dokumentiert werden.
Die schriftlichen Ergebnisse werden am Ende der Klausur eingesammelt und anschließend bewertet.
Es gelten nur die abgegebenen schriftlichen Ergebnisse; mündliche Erläuterungen sind
für das Ergebnis nicht relevant.
1
Leistungsnachweis Mathematik 1 — SS 2007
1 Differentialrechnung
1.1 Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktionen:
4 Punkte
x2 − 2x + 1
x→1
x−1
1. lim
x3 − x2 + 4x − 4
x→1 x3 − x2 − 4x + 4
2. lim
1.2 Sind die folgenden Funktionen in ihrem gesamten
Definitionsbereich stetig?
3 Punkte
Bitte beantworten Sie die Fragen mit ja“ oder nein“.
”
”
1. f1 (x) = x2 , D = R
2. f2 (x) = |x|, D = R


 −1 für x < 0 
0 für x = 0 , D = R
3. f3 (x) =


1 für x > 0
1.3 Gegeben sei eine beliebige Stelle x0 ∈ D. Berechnen Sie aus
f (x) − f (x0 )
durch
dem Differenzenquotienten lim
x→x0
x − x0
Grenzübergang den Differentialquotienten an der Stelle x0 .
4 Punkte
1. f1 (x) = x3 , D = R
2. f2 (x) =
√
x, D = {x ∈ R | x ≥ 0}
√
√
√
√
Tipp: ( x − x0 )( x + x0 ) = x − x0
2
SS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
2
1.4 Diskutieren Sie die Kurve f (x) = xe−x .
20 Punkte
Zur Kurvendiskussion gehören: Symmetrie, Nullstellen, Polstellen, Minima und Maxima,
Wende- oder Sattelpunkte, Asymptote, Bildmenge, Skizze.
3
Leistungsnachweis Mathematik 1 — SS 2007
f (x) = xe−x
4
2
SS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
1.5 Aus 3 Bohlen der Kantenlänge b soll eine Rinne gebaut werden.
Wie groß muß der Winkel α zwischen der Randbohle und der
Horizontalen gewählt werden, damit die Querschnittsfläche der
Rinne maximal wird?
15 Punkte
Tipp: Berechnen Sie die Fläche als Funktion des Winkels α und finden Sie das Maximum dieser Funktion. Zur Berechnung des Maximalwinkels beachten Sie bitte die
Gleichung sin2 α + cos2 α = 1 und ersetzen sin2 α durch cos2 α. Dadurch erhalten Sie
einen quadratischen Ausdruck, der nur cos α enthält und den Sie nach cos α auflösen
können.
1. Bei welchem Winkel wird die Querschnittsfläche maximal?
2. Wie groß ist die maximale Querschnittsfläche?
3. Skizzieren Sie die Größe der Querschnittsfläche in Abhängigkeit des Winkels:
5
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1√
3
1.6 Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f (x) = sin x −
2
mit Hilfe des Newton-Verfahrens, indem Sie von einem
geeigneten Startwert aus 3 Iterationsschritte durchführen.
15 Punkte
Tipp: arcsin
6
1√
π
3 =
2
3
SS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
2 Integralrechnung
2.1 Finden Sie die Stammfunktionen zu:
6 Punkte
1. f1 (x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
2. f2 (x) = (3x + 2)7
3. f3 (x) = x3 ln x
2.2 Berechnen Sie die bestimmten Integrale:
1.
R3
2.
R4√
3.
R2
0
0
0
6 Punkte
x2 − 3x + 5 dx
6 − x dx
e−x dx
2.3 Berechnen Sie die uneigentlichen Integrale:
1.
R∞ 1
dx
1
x2
2.
R1 1
√ dx
0
x
6 Punkte
2.4 Berechnen Sie die Fläche, die von den beiden Funktionen
8 Punkte
f (x) = x2 − 2x und g(x) = −x3 + 2x2 begrenzt wird:
7
Leistungsnachweis Mathematik 1 — SS 2007
2.5 Berechnen Sie das Volumen des Rotationsellipsoids, der durch
x2 y 2
Rotation der Kurve 2 + 2 = 1 im Intervall [−a; a] um die
a
b
x-Achse entsteht.
4 Punkte
Tipp: Lösen Sie die implizite Funktionsgleichung nach y = f (x) auf und wenden dann
auf die explizite Funktionsgleichung die Formel zur Bestimmung des Volumens eines
Rotationskörpers an.
8
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3 Fehlerrechnung
3.1 Gegeben sei die folgende Messreihe. Berechnen Sie den
Mittelwert und die Standardabweichung der Messreihe.
9 Punkte
Messung
1
2
3
4
5
6
Wert
122,5
123,3
121,8
122,0
123,1
122,9
1. Mittelwert:
2. Standardabweichung:
3. Innerhalb welches Bereiches erwarten Sie 68% aller Messungen?
Erreichbare Punkte: 100
Anzahl der Aufgaben: 12
9