Pricing prepayment options

Pricing prepayment options
Tchendjou Brice et Abdessamad El Moussaoui,
Etudiants en master de troisiéme année
á l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées
Dérivé de crédit
Mars, 2008
Résumé
Ce travail s'inscrit dans le cadre du cours de troisième année intitulé Risque de crédit et Risque de défault .
Dans la première partie, nous présentons les produits MBS (Mortgage Backed Securities). Ensuite dans la deuxième partie, nous résolvons numériquement le modèle de
GNMA MBS à l'aide des méthodes de type Euler Explicite, Euler Implicite et Crank Nicholson. Et enn, on modélise la méthode d'approximation quadratique pour l'évaluation
du spread du à l'option de prépayement telle qu'expliquée dans [3].
Articles du projet
Le projet se fonde sur deux papiers de recherche expliquant la résolution et les modèles
utilisés pour le calcul du pricer des MBS (mortgage backed securities). Il s'agit de :
"Valuation of GNMA mortgage backed securities", (by Kennith B.Dunn, John
J.MacConnell)
"Ecient Analytic Approximation of American Option Values.", (by G. BaroneAdesi and R. E. Whaley,)
Enn, d'autres reférences ont été rajoutées en annexe.
2
Table des matières
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.1 Dénition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.2 Les caractéristique d'un prêt . . . . . . . . . . . . .
Evaluation de GNMA Mortgage backed securities . . . . .
0.2.1 Goverment National Mortgage Association . . . . .
0.2.2 Le modèle générique . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.3 Le modèle de pricing de GNMA . . . . . . . . . . .
Approximation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1 Calcul de Cash Flows d'un MBS avec prépaiement .
0.3.2 La discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.3 Le schémas Euler explicite . . . . . . . . . . . . . .
0.3.4 Discrétisation :Euler Implicite . . . . . . . . . . . .
0.3.5 Le schémas Crank Nicolson . . . . . . . . . . . . .
0.3.6 Résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation de l'option de prépaiement . . . . . . . . . .
0.4.1 La méthode d'approximation quadratique . . . . .
0.4.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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4
4
4
5
5
5
6
7
7
7
8
9
9
10
11
11
14
15
0.1 Introduction
0.1.1 Dénition générale
Les MBS (mortgage backed securities) sont des produits de titrisation de prêts immobiliers. Ces produits sont très intéressants pour les banques commerciales (qui se débarrassent des risques qu'elles n'ont pas vocation à gérer) et pour les banques d'investissement
(qui récupèrent un produit nancier assez rémunérateur). La banque commerciale constitue donc un pool de prêts qu'elle revend à un SPV. la banque d'investissement eectue
le montage juridique nécessaire pour que les parts du SPV puissent être vendues sur les
marchés boursiers.
0.1.2 Les caractéristique d'un prêt
Un prêt immobilier peut avoir soit un taux xe, soit un taux variable. Dans les deux
cas, le détenteur du prêt peut aussi payer des intérêts courrus. De plus, si c'est le taux est
variable, le montant qu'il paye est régulièrement ajusté en fonction des mouvements de la
courbe des taux. Après chaque date de paiement des porteurs de parts du SPV, le CRD
(capital restant dû) du portefeuille de prêt est recalculé. En eet, tout prêt comporte
une partie de paiement des intérêts et une autre partie de remboursement (partiel) du
nominal. A la n de tous les paiements, le CRD doit être nul.
4
0.2 Evaluation de GNMA Mortgage backed securities
Dans cette section, nous présentons un modèle d'évaluation de "Goverment National
Mortgage Association mortgage-backed pass-through securities", ensuite, nous résolvons
par la méthode de diérences nies le système diérentielle engendré par ce modèle an
de déterminer les prix de MBS.
0.2.1 Goverment National Mortgage Association
Le "Government National Mortgage Association" (GNMA), ou "Ginnie Mae" est une
agence gouvernementale chargée de promouvoir la liquidité du marché secondaire hypothécaire pour les prêts résidentiels. Les pools hypothécaires de GNMA sont basés sur des
hypothèques issues sous l'égide des programmes de la Federal Housing Administration
(FHA), de la Veteran's Administration (VA), ou de la Farmer's Home Administration
(FmHA). Les pools de GNMA sont dits pleinement modiés car GNMA garantie pleinement les paiements de principal et d'intérêt aux détenteurs d'obligations.
Bien que les GNMA pass-throughs ont peu de risque de défaut (car ce sont des prêts garanties), ils peuvent devenir très risqués lorsque des options y sont associés (tel l'option
de remboursement anticipé). Les porteurs d'obligations adossées à de tels prêts risquent
donc de perdre en totallité leur nominal en cas de remboursement anticipé de l'emprunteur. Ceci peut donc être associé à un défaut. Puisque de telles options augmentent le
risque de perte des porteurs de parts, ils sont donc en droit de reclamer un spread supplémentaire an de supporter ce risque.
Le fait que GNMA exige de tous les prêts dans un pool doivent être approximativement homogènes est particulièrement pratique, cette condition nous permet d'évaluer les
titres adossés comme si c'étaient un simple et unique prêt hypothécaire.
0.2.2 Le modèle générique
Nous allons se baser sur le travail eectuée pour modéliser l'évaluation des actifs
contingents de taux intérêt, développé dans [2] et [5]. Sous les hypothèses suivantes :
[H1] : Le prix de l'obligation V (r, t) est une fonction de taux sans risque instantané r(t)
et du temps t.
[H2] : Le taux d'intérêt pour l'emprunt et le prêt sans risque instantanés suit un processus
de Markov stationnaire continu donné par l'équation stochastique :
©
dr = µ(r) ∗ dt + σ(r) ∗ dz
(1)
avec :
µ(r) = k(mp
− r)
σ(r) = σ ∗ (r)
k, m>0, σ constant et dz suit un processus de Wiener.
[H3] : La prime de risque p(r) ∗ ρ ∗ sqrt(r) est proportionnel au taux sans risque.
©
p(r) ∗ ρ ∗ sqrt(r) = q ∗ r
5
(2)
[H4] : Les investisseurs ont des préférences compatibles avec (2) et conviennent sur les
spécications de l'équation (1).
[H5] : Le marché nancier est parfait et concurrentiel.
[H6] : les Cash ows C(t) sont continues.
On trouve que V(r,t) vérie l'équation diérentielle suivante :
½ 1
2
σ(r)2 ∗ ∂∂rV2 + [µ(r) − p(r)σ(r)] ∂V
− ∂V
− rV + C(τ ) = 0
2
∂r
∂τ
V (r, 0) = F (0)
(3)
Avec F (0) ,la valeur faciale de l'obligation à τ = 0.
0.2.3 Le modèle de pricing de GNMA
L'une des caractéristiques des hypothécaires est qu'ils remboursent souvent leurs prêts
à des dates autre que celles correspondant à l'exercice optimal. Dans la suite, nous nous
intéresserons aux prépaiements exercés avant la date optimale en rajoutant deux hypothèses (les deux hypothèses permettent au prix de GNMA MBS de incorporer le fait que
l'option ne s'exerce pas à l'optimum).
[H7] : Les prépaiements qui se produisent se produisent de façon aléatoire suivant un
processus de Poisson. On note y le processus de poisson caractérisant les prépaiements.
[H8] : Les prépaiements, se produisant lorsque la valeur d'une titrisation de GNMA
est inférieure son équilibre principal, suivent un processus décorrélé avec tous les facteurs
du marché.
Sous l'hypothèse (7), la valeur d'une titrisation GNMA V (r, τ, y) est une fonction de
deux variables r et y et est caractérisée par l'équation suivante :
dV = a ∗ dt + b ∗ dz + [F (τ ) − V ] = 0
A partir des calculs d'Ito et un lemme analogue au lemme d'Ito pour des processus de
poisson, on trouve l'équation diérentielle déterminée par la valeur du GNMA mortgage
backed pass-through security :
© 1 2
2
(4)
σ r ∗ ∂∂rV2 + [km − (k + q)r] ∂V
− ∂V
− rV + C(τ ) + λ(r, τ ) ∗ [F (τ ) − V ] = 0
2
∂r
∂τ
On remarque que cette équation a un terme supplémentaire "λ[F (τ ) − V ]" par rapport
à l'équation (3). Ce terme est la valeur d'un prépaiement suboptimal lorsque le temps
restant à la maturité est τ et le taux d'intérêt sans risque est r.
Dans la suite, on va implémenter l'équation (4) en utilisant la méthode des diérences
nies.
6
0.3 Approximation numérique
An de résoudre ce problème numériquement, nous utiliserons les trois approches de la
méthode des diérences nies à savoir Euler explicite, Euler Implicite et Crank Nicolson.
Nous utiliserons l'équation (3) pour pricer les "nonamortizing,noncallable bond","nonamortizing
callable coupon bond" et les "amortizing,noncallable bond", et l'équation (4) pour évaluer les titrisations de GNMA lorsqu'on exerce à l'optimal l'option et aussi pour évaluer
les GNMA MBS avec des prépaiements suboptimaux.
0.3.1 Calcul de Cash Flows d'un MBS avec prépaiement
Nous allons décrire le cash ows d'un GNMA MBS, on considère seulement le cas
d'un paiement mensuel des taux d'intérêt xe. Soit Rn le taux d'hypothécaire au mois n
et C le coupon de GNMA MBS. On suppose que tous ces taux sont des taux annuels. De
plus soit N, le nombre de mois jusqu'à maturité, m le mois ou on évalue le GNMA RBS,
n un mois future (m ¹ n ¹ N ), le M Bn (capital restant dû) du prêt à la n du mois n.
le paiement mensuel constant : M P = M B0 ∗
les intérêts pour le mois n :In = M Bn−1 ∗
Le capital restant dù : M Bn = M B0 ∗
R
R
(1+ 120 )N ∗ 120
R
(1+ 120 )N −1
R0
12
R
R
(1+ 120 )N −(1+ 120 )n
R
(1+ 120 )N −1
On considère la variable aléatoire : Ln le nombre d'emprunteurs qui prépaye à la date n.
On suppose qu'il y a K (que nous avons traité comme un et unique emprunteur grâce à
l'homogénéité) emprunteurs de prêts dans le pool et les tailles de prêt sont égaux.
Le capital réel à la n du mois n : Fn = M Bn ∗ (1 −
Ln
)
K
Le taux d'intérêt payé aux investisseurs à la n du mois n : In = M Bn−1 ∗
R0
12
A partir de ces dénitions, le cash ow total à la date n est dénie par :
Cn = Fn−1 − Fn + In
0.3.2 La discrétisation
Dans cette partie, nous souhaitons expliquer brièvement comment on a choisi les
paramètres temporels de discrétisation. On souhaite calculer les prix jours après jours,
donc le pas de discrétisation sera dt = 1/30 (on suppose qu'un mois à 30 jours. La maturité
sera traduite en nombre de jour : ex 30 ans deviendra T = 30*3260. Enn, on achera
les prix tous les 3 mois c-à dire après 90 pas en temps. L'axe des espaces, reprtésentant
les taux, variera de 0 à rmax. le pas de discrétisation sera pris dr = 0.01).
7
0.3.3 Le schémas Euler explicite
La spécicité de ce schéma est que les valeurs à la date t+1 sont données en fonction
des valeurs des dates 0 à t. L'application de ce schémas au problème (3) nous conduits à
l'équation suivante :
1
σ
2
∗ r(j)
n −2V n +V n
Vj+1
j
j−1
h2
+ [km − (k + q)r(j)]
n −V n
Vj+1
j−1
2h
−
Vjn+1 −Vjn
dt
− r(i) ∗ Vjn + Cn = 0
Avec :Vjn = V (tn , rj ), h est le pas de l'espace, dt est le pas de temps.
L'algorithme :
On fait un maillage uniforme en espace et en temps.
On implémente la suite des fonctions permettant de calculer les cash ows.
On discrétise l'équation diérentielle et on l'écrit sous la forme :
V n+1 = DV n + dt ∗ Cn (*)
Initialisation : V 0 = F0 ∗ II+1 avec II+1 est la matrice matrice identité d'ordre I+1 et I+1
le nombre de division en intervalles de la variable r.
L'équation (*) est résolu en bouclant sur les pas de temps an de déterminer le vecteur V n .
Le prix est calculé en utilisant la solution ainsi obtenue.
Pour les actifs GNMA security avec prépaiements suboptimaux, la résolution se fait sur
l'équation (4). Nous obtenons donc l'équation suivante :
V n+1 −V n
V n −2V n +V n
V n −V n
1
σ∗r(j) j+1 h2j j−1 +[km−(k+q)r(j)] j+12h j−1 − j dt j −r(i)∗Vjn +Cn +λ(Fn −Vjn )
2
=
0
De la même façon que précédemment, on suit le même algorithme. Sauf dans ce cas,
on écrit l'équation discrétisée sous la forme suivante :
V n+1 = DV n + dt ∗ Cn + dt ∗ λ ∗ Fn (*)
8
0.3.4 Discrétisation :Euler Implicite
Comme pour le schéma Euler explicite, sauf que les dérivés premières ou secondes au
points de maillage sont calculés à partir des inconnues à la date n+1. L'application de ce
schémas à notre problème donne :
n+1
n+1
Vj+1
−2Vjn+1 +Vj−1
1
σ
∗r(j)
2
2
h
+[km−(k +q)r(j)]
n+1
n+1
Vj+1
−Vj−1
2h
−
Vjn+1 −Vjn
dt
−r(i)∗Vjn+1 +Cn+1 = 0
Avec :Vjn = V (tn , rj ), h est le pas de l'espace, dt est le pas de temps.
Comme dans le schéma précédent, on obtient une équation matricielle et un prix à la
n de l'algorithme.
0.3.5 Le schémas Crank Nicolson
On peut comprendre la méthode de crank nicolson comme la moyenne temporelle
de ce que donne la méthode d'Euler implicite et de la méthode d'Euler régressive. Elle
consiste à intégrer le temps par la méthode des trapèzes et à utiliser les diérences nies
dans l'espace des variables.
l'application de ce schémas à notre problème nous conduits à l'équation suivante :
n −2V n +V n +V n+1 −2V n+1 +V n+1
Vj+1
j
j−1
j+1
j
j−1
1
σ
∗
r(j)
4
h2
r(i)
(Vjn + Vjn+1 ) + 12 (Cn + Cn+1 ) = 0
2
+
n+1
n+1
n
n
[km−(k+q)r(j)] Vj+1 −Vj−1 +Vj+1 −Vj−1
2
2h
−
Vjn+1 −Vjn
dt
−
Comme dans les deux schémas précédents, on obtient une équation matricielle et un
prix à la n de l'algorithme.
9
0.3.6 Résultat
Nous présentons ici quelque résultats de nos simulaions : T=30 Nominal=1 Dollar
Current IR
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Non Amortizable
Non Callable price
3.55
1.94
1.53
1.34
1.23
1.16
1.10
1.07
1.04
1.01
0.99
0.98
0.96
0.94
0.93
0.91
0.90
0.88
0.86
0.83
0.81
Amortizable
Non Callable Price
3.16
1.70
1.33
1.16
1.06
0.99
0.94
0.91
0.88
0.86
0.84
0.82
0.81
0.80
0.78
0.77
0.75
O.74
0.72
0.70
0.67
10
Non amortizable
Callable
1.00
1.00
0.99
0.99
0.98
0.97
0.97
0.96
0.95
0.95
0.94
0.93
0.92
0.92
0.90
0.89
0.88
0.86
0.85
0.82
0.80
3.5
Prix Coupons après 1 mois
Schema: DF−EI−CENTRE (I+1=30; Maturity (en jours)=324324)
3.0
Erreur (scale = 0)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Fig. 1 Prix Non Amortizable Non Callable Bonds en fonction des taux r
0.4 Modélisation de l'option de prépaiement
Dans cette section, nous allons adapter les travaux eectués par G. Barone-Adesi et
R. E. Whaley dans [3] à notre pricing de GNMA Mortgage backed securities. Ici, on
souhaite calculer le spread qui devrait être reclamer par les porteurs de parts an de
supportrer le risque dû à l'option de remboursement anticipé. L'article nous présente une
méthode basée sur une volatilité et une dérrive constante des taux. Nous allons eectuer,
dans le cas du modèle de Cox Ross Ingersoll les mêmes approximations, puis procéder à
une identication des termes.
0.4.1 La méthode d'approximation quadratique
La méthode quadratique d'approximation calcule la valeur de "Early exercise premium" ("American option"-"European option") et l'ajoute à la valeur calculée par le
modèle de black-Scholes modié pour générer la valeur d'une option américaine.Ainsi,
nous utiliserons les prix calculés dans la sections précédante comme variable de contrôle
et essayerons de calculer le spread nécessaire pour atteindre le prix de l'option américaine.
La méthode quadratique d'approximation emploie une approche itérative pour estimer
cette early exercise option.Dans notre cas (modèle CIR), la méthode quadratique d'approximation devrait être plus lente, mais fournit les valeurs qui sont plus précises.
On considère l'équation vérié par l'actif GNMA MBS avec option de prépaiements :
©
1 2
σ r
2
∗
∂2V
∂r2
+ [µ(r) − qr] ∂V
−
∂r
∂V
∂τ
− rV + C(τ ) + λ(r, τ ) ∗ [F (τ ) − V ] = 0
Soit ²c = C(S, T ) − c(S, T ), la prime de l'option américaine (spread à calculer).
L'équation diférentielle vériée par ²c est donc :
11
(5)
©
1 2
σ r
2
∗
∂ 2 ²c
∂r2
c
+ [[µ(r) − qr] ∂²
−
∂r
∂²c
∂τ
− r²c − λ(r, τ ) ∗ ²c = 0
(6)
On pose ²c (S, K) = K(τ )∗f (S, K), on a alors : ²s s = Kfs s, ²s = fs et ²τ = Kτ f +KKτ fK .
Donc l'équation (6) devient :
n
2
∂f
1 2
(7)
σ rK ∗ ∂∂rf2 + [µ(r) − qr]K ∂f
− (Kτ f + KKτ ∂K
) − rKf − λK ∗ f = 0
2
∂r
On posant M = (r + λ), K(T ) = 1 − exp(−rT ) et on factorise par K on trouve l'équation
suivante :
n
2
∂f
1 2
(8)
σ r ∗ ∂∂rf2 + [µ(r) − qr] ∂f
− f (M + KKτ (1 + K ∂K
/f )) = 0
2
∂r
Après simplication, on trouve l'équation suivante :
n
2
∂f
1 2
σ r ∗ ∂∂rf2 + [µ(r) − qr] ∂f
− (M
)f − (1 − K)M ∂K
=0
2
∂r
K
(9)
∂f
On fait l'approximation suivante :(1 − K)M ∂K
= 0, on déduit alors l'équation de second
degré suivante :
n
2
1 2
(10)
σ r ∗ ∂∂rf2 + [µ(r) − qr] ∂f
−M
f =0
2
∂r
K
L'équation (10) est une équation de second ordre avec deux solutions linéairement indépendantes de la forme arα .
On remplace M par (r + λ) et on multipliant l'équation par r, on trouve l'équation
suivante :
½
2
Q
−K
f =0
r2 ∗ ∂∂rf2 + rN ∂f
∂r
(11)
2
avec N = σ [km − (k + q) et Q = (r + λ)r
La solution de l'équation (11) est de la forme :
f (r) = a1 r1α + a2 r2α
Avec :
√
[−(N −1)2 − (N −1)2 + 4M
]
K
α1 =
√2
[−(N −1)+ (N −1)2 + 4M
]
K
α2 =
2
Comme α1 ¹ 0, alors nécessairement a1 = 0, d'ou :
C(S, T ) = c(S, T ) + Ka2 S α2
On détermine ansi le taux critique r∗ caractérisé par :r∗ − X = c(r∗ , T ) + Ka2 r∗α2 , avec
X le strike
−1
On dérive l'équation, on trouve : 1 = N [d1 (r∗ )] + Kα2 ∗ a2 ∗ r∗α2
∗
1 (r )]
Ainsi on détermine la valeur de a2 = [1−N (d∗α
−1
Enn, on aura le résultat suivant :
Ka2 ∗r
2
∗
r∗ − X = c(r∗ , T ) + 1 − N [d1 (r∗ )] αr 2
12
∗
avec : d1 (r∗ ) =
ln( rX )+(r∗ +0.5σ 2 )T
√
σ∗ T
b = m : moyenne des taux (fourni dans le modèle CIR)
strike = 0.08 (au delà, l'emprunteur aura intérêt à se renancer)
Les fonctions RHS et LHS ont été implémenté dans le pricer telle que décrites dans
l'article an d'implémenter l'algorithme.
Toute la problématique réside donc dans le calcul de r∗ qui permettra d'obtenir le
spread. L'article fournit un algorithme de calcul de cette valeur. Il est à noter que nous
nous sommes placer dans le cas CIR en prenant les équivalences suivantes : (avec l'article
fournit )
13
0.4.2 Résultats
Nous récaputilons dans ce tableau les résultats de sémulations.
T itre
Valeur Spread
Valeur Prix Optimal
Valeur prix à 0.08
Valeur s début
Valeur prix début
Valeur λ
Valeur rate
Valeur σ
14
Valeur
0.15
0.83
1.02
0.23
0.68
0.51
0.08
0.30
0.5 Conclusion
En guise de conclusion à cette analyse, on peut dire que ce projet nous a permis d'acquérir des connaissances sur le fonctionnement des produits hypothécaires, d'implémenter
un pricer pour évaluer ces produits, ainsi que de bénécier d'une meilleure maîtrise des
techniques numériques ci-dessus mentionnées.
15
Bibliographie
[1] A. Kalotay, D. Yang and F. Fabozzi. An option-theoretic Prepayment Model for
mortgages and Mortgages Backed Securities., International Journal of Theoretical
and Applied Finance.
[2] Kenneth B. Dunn and John J.McConnell, Valuation of GNMA Mortgage-Backed
Securities., The Journal of Finance, Vol.36, N 3 (jun., 1981), pp.599-616.
[3] G. Barone-Adesi and R. E. Whaley, Ecient Analytic Approximation of American
Option Values., the Journal of Finance
[4] T. Kariya, F. Ushiyama and S. Pliska, A 3-factor Valuation Model for Mortgage
Backed Securities (MBS)., April 13, 2002.
16