Exercices - Étienne Thibierge

Exercices du chapitre SP 8
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Régimes transitoires des oscillateurs amortis
Exercice 1 : RLC parallèle soumis à un échelon de courant
iR
i(t)
R
L
iL iC
C
u
[♦♦]
On considère le circuit ci-contre. À l’instant t = 0, le générateur de courant
impose que i(t) passe de 0 à η = 10 mA. Les composants sont choisis tels
que R = 50 Ω, C = 10 nF et L = 100 mH.
1 - Établir l’équation différentielle satisfaite par u(t) dans ce circuit à t > 0.
2 - Mettre cette équation sous forme canonique et donner l’expression de la pulsation propre ω0 et du facteur de
qualité Q en fonction de R, L et C.
3 - Quel est le type d’évolution de u ?
4 - Justifier qu’à l’instant t = 0, iL = 0 et u = 0. En déduire l’expression de u(t) pour t > 0.
5 - Représenter l’allure de u(t) pour t > 0, en précisant bien les échelles.
Exercice 2 : Analyse de portraits de phase
[♦♦]
Les deux portraits de phase ci-dessous concernent un micro-oscillateur mécanique plongé dans deux fluides différents. Ils sont donnés à la même échelle. Cet oscillateur est formé d’une bille de polystyrène attachée à un support
par une membrane élastique.
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−3 −2 −1 0
v, en mm · s−1
v, en mm · s−1
Orienter les portraits de phase, indiquer le type de régime qu’ils décrivent et construire qualitativement sur un
seul dessin le chronogramme x(t) associé à chaque portrait de phase.
1 2 3
x, en mm
4
5
6
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−3 −2 −1 0
Exercice 3 : Viscosimètre oscillant
1 2 3
x, en mm
4
5
6
[♦♦]
Une bille de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur naturelle `0 . Déplacée
#”
dans un liquide de coefficient de viscosité η, la bille est soumise à une force de frottement f donnée par la formule
#”
de Stokes f = −6π η r #”
v , où #”
v est la vitesse de la sphère dans le liquide. On néglige la poussée d’Archimède.
1 - Établir l’équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et en déduire l’expression de la pseudopériode T des oscillations.
2 - Dans l’air, où les frottements fluides sont négligeables, la période des oscillations est T0 . Déterminer le coefficient
de viscosité η du liquide en fonction de m, r, T et T0 .
Exercice 4 : Oscillateur harmonique électrique
L
e
C
u
[♦]
On s’intéresse au circuit représenté ci-contre, formé d’un condensateur de capacité 100 nF et
d’une bobine d’inductance 400 mH. Le générateur impose une tension e(t) valant E = 2 V
pour t < 0 et 0 pour t > 0.
1 - Justifier par un argument énergétique qualitatif que la tension u va présenter un comportement oscillant.
2 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u pour t > 0.
3 - Écrire cette équation sous forme canonique. De quelle équation que vous connaissez s’agit-il ? Que vaut le facteur
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Étienne Thibierge, 9 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
Exercices du chapitre SP 8 : Régimes transitoires des oscillateurs amortis
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
de qualité du circuit ?
4 - En utilisant la méthode de résolution des équations différentielles d’ordre 2, retrouver la forme générale des
solutions de cette équation différentielle.
5 - Déterminer autant de conditions initiales que nécessaire et exprimer u(t). Tracer l’allure de u(t). Caractériser
l’évolution : quelle est (au moins formellement) la durée du régime transitoire ?
6 - Lorsque l’on réalise l’expérience, au lieu d’oscillations harmoniques, on observe un régime transitoire pseudopériodique qui s’amortit. Seule une trentaine d’oscillation est observable avant d’atteindre un régime permanent.
Expliquer cette observation.
Exercice 5 : RLC, autre version
R
[oral CCP PC, ♦]
Considérons le circuit représenté ci-contre, où le condensateur est initialement déchargé. Le générateur fournit un échelon de tension, sa f.é.m. passant de 0 à E à
l’instant t = 0.
C
E
1 - Établir l’équation différentielle vérifiée par le courant i.
L
2 - L’écrire sous forme canonique en introduisant deux grandeurs ω0 et Q que l’on
interprètera.
i
3 - Expliquer qualitativement pourquoi il n’est pas surprenant que le facteur de qualité du circuit s’écrive
r
C
.
Q=R
L
4 - Donner la valeur du courant i et de sa dérivée à l’instant initial.
5 - En supposant Q = 2, donner l’expression de i(t) et tracer son allure.
Exercice 6 : Double circuit RC
L’interrupteur du circuit représenté ci-contre est fermé à l’instant t = 0. Les
deux tensions valent alors u = 0 et u0 = U0 , le second condensateur ayant
été chargé par un générateur non représenté.
R
u
C
R
[]
C
u0
1 - En utilisant un argument énergétique, préciser ce que vaudront les deux
tensions au bout d’un temps suffisamment long. Retrouver ce résultat en
raisonnant par équivalence de dipôles.
2 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u.
3 - Montrer que les solutions de cette équation sont de la forme
u(t) = α e−t/τ1 +β e−t/τ2 ,
où α, β, τ1 et τ2 sont des constantes de dimension à préciser.
4 - Combien de conditions initiales sont nécessaires pour préciser le comportement du circuit ? Les déterminer.
5 - En déduire l’expression de u(t) et tracer son allure. Cela confirme-t-il l’analyse initiale ?
Exercice 7 : Analyse de relevé expérimental
[]
6
La courbe ci-contre représente le courant mesuré dans un circuit
formé d’une bobine et d’un condensateur montés en série avec
un générateur imposant un échelon de tension. On admet que
la bobine est très bien décrite par une bobine idéale, mais pas
le générateur.
i, en mA
4
2
0
−2
−4
−6
−0.5
Analyser la courbe pour déterminer la hauteur E de l’échelon
de tension, l’inductance L et la capacité C.
0.0
0.5
t, en ms
1.0
1.5
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Étienne Thibierge, 9 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr