Question posée : Calculer ∑ k=0 cos(kx). En utilisant une formule

Question posée : Calculer ∑ k=0 cos(kx). En utilisant une formule

Question posée : Calculer
Pk=n
k=0
cos(kx).
En utilisant une formule classique
1
sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a − b))
2
1
= (sin(b + a) − sin(b − a))
2
Avec kx et
k=n
X
k=0
x
2
à la place de b et de a on obtient
k=n
X1
x
x
x
(sin(kx + ) − sin(kx − ))
cos(kx) sin( ) =
2
2
2
2
k=0
k=n
X
k=0
k=n
X
k=0
k=n
X
x
1
x
sin(kx + ) − sin(kx − )
cos(kx) =
x
2 sin( 2 )
2
2
1
cos(kx) =
2 sin( x2 )
1
=
2 sin( x2 )
k=0
k=n
X
k=0
k=n
X
k=0
!
k=n
X
x
x
sin(kx + ) −
sin(kx − )
2
2
x
sin(kx + ) −
2
k=0
k=n−1
X
k=−1
!
x
sin(kx + )
2
!
k=n−1
X
x
x
x
x
sin(kx + ) − sin(− )
sin(kx + ) + sin(nx + ) −
2
2
2
2
k=0
k=0
x
x
1
sin(nx + ) − sin(− )
=
x
2 sin( 2 )
2
2
1
x
x
=
sin(nx + ) + sin
2 sin( x2 )
2
2
1
=
2 sin x2
k=n
X
cos(kx) =
k=0
k=n
X
k=0
k=n−1
X
sin(nx + x2 ) + sin x2
2 sin( x2 )
=
nx
2 sin nx+x
2 cos 2
2 sin( x2 )
=
nx
sin nx+x
2 cos 2
sin( x2 )
cos(kx) =
sin (n+1)x
cos nx
2
2
sin( x2 )