seconde chap8 exos

Points et vecteurs dans un repère : exercices
Les réponses (non détaillées) aux questions sont disponibles à la fin du document
Pour tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé.
Exercice 1 :
−
Soit →
u
−2
!
1
−
,→
v
4
1
!
−
et →
w
1
2
!
.
− 34
Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :
1→
−
−
→
−
−
−
−
−
−
−
u +→
w ;
u +→
v ; →
u −→
v ; →
u +→
v +→
w ;
2
−
−
3→
u − 2→
v
Exercice 2 :
−
−
Déterminer si les vecteurs →
u et →
v sont colinéaires dans les cas suivants :
!
!
2
8
−
−
−
1) →
u
;→
v
3) →
u
−1
−4
!
!
1
2
−
−
−
−
−
2
3
4) →
u
2) →
u
;→
v
3
4
!
√ !
2
−3
→
−
; v
√
−2
3 2
!
!
√
3−2
1
→
−
; v
√
1
3+2
Exercice 3 :
−2
!
−3
!
!
1
−6
!
.
et D
,C
5
4
0
−
→ −
→ −
→
−
→
−→ −→ 1 −
→
Déterminer les coordonnées des vecteurs : AB , AC , 3BC , −2BC + 3AD , 2 DB − AB .
2
On considère les points A
,B
1
Exercice 4 :
−1
!
−2
!
3
!
1
!
5
!
.
et C
,B
1
3
1
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
On considère les points A
Exercice 5 :
On considère les points A
3
,B
4
et C
4
−5
!
.
Déterminer les coordonnées du point M dans les cas suivants :
→
−→ −
1) M est tel que BM = AB .
2) M est le milieu de [AC].
−
→
−→ →
−
3) 2 AB + 3 CM = 0 .
4) ABCM est un parallélogramme.
Exercice 6 :
Déterminer si les points A, B et C sont alignés ou non dans les cas suivants :
!
!
!
3
7
15
1) A
,B
,C
2
3
5
!
!
!
−1
0
− 52
2) A
,B
,C
0
2
3
!
!
!
1
17
−2
4
2
3) A
,B
et C
1
−2
−5
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1
Exercice 7 :
!
0
2
!
!
5
−1
et D
!
.
−1
→ −→
−→
−→ 1 −
1) Calculer les coordonnées des points E et F tels que BE = AB et AF = 3 AD
2
2) Montrer que les points C, E et F sont alignés.
On considère les points A
,B
−3
,C
3
7
Exercice 8 :
Calculer la distance AB dans les cas suivants :
!
!
−2
2
1) A
;B
3
6
√ !
√ !
2
3 2
;B
2) A
1
4
√ !
√ !
2
− 22
2
3) A
;B
3
3
Réponses exercice 1 :
2
→
−
−
u +→
v
!
;
2
−6
→
−
−
u −→
v
!
;
0
5
2
5
4
→
−
−
−
u +→
v +→
w
!
1→
−
−
u +→
w
2
;
− 12
− 14
!
;
−
−
3→
u − 2→
v
−14
!
1
Réponses exercice 2 :
1) colinéaires
2) colinéaires
3) colinéaires
4) non colinéaires
Réponses exercice 3 :
−1
−
→
AB
!
−1
−
→
, AC
3
!
3
−
→
, 3BC
12
!
12
−20
−
→
−→
, −2BC + 3AD
4
!
→
−→ 1 −
, 2 DB − AB
2
13
2
− 19
2
!
Réponses exercice 4 :
On cherche D
D
1
x
y
!
−→
tel que AD
···
···
!
−
→
= BC
···
···
!
(ou toute autre égalité de vecteurs possible). Après calcul, on obtient
!
−1
Réponses exercice 5 :
−→
1) BM

2) M 
−
→
3) 2 AB
2
x−···
!
−
→
= AB
···
!
4
!
... On obtient M
y−···
···
5
!
xA + xC 
xM =
1
2
... On obtient M
yA + yC
−1
yM =
! 2
!
!
···
0
−→ 3(x − · · · )
→
−
+ 3 CM
= 0
... On obtient M
···
3(y − · · · )
0
2
!
− 17
3
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x
4) On cherche M
!
y
−→
tel que AM
1
Après calcul, on obtient M
···
···
!
−
→
= BC
···
!
···
(ou toute autre égalité de vecteurs possible).
!
−6
Réponses exercice 6 :
1) Les points A, B et C sont alignés.
2) Les points A, B et C ne sont pas alignés.
3)Les points A, B et C sont alignés.
Réponses exercice 7 :
−→
1) BE
−→
AF
x−···
y−···
!
x−···
!
···
1−
→
= AB
2
−→
= 3 AD
···
···
!
!
... On obtient E
3
!
6
−3
!
... On obtient F
y−···
···
3
−→ −→
2) det CE, CF = 0. Les points C, E et F sont alignés.
Réponses exercice 8 :
1) AB = 5
√
2) AB = √17
3) AB = 2
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