Correction 2nde. Test 3.08
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Correction 2nde. Test 3.08
Correction I. ( 4 points ). ABCD est un carré, AEB et BFC sont deux triangles équilatéraux directs. ( On se propose de démontrer que les points D, E et F sont alignés . On va utiliser le repère A ; AB, AD ) 1. Quelles sont les coordonnées des points B , C , D et A ? B (1 ; 0) en effet C ( 1 ; 1) en effet D ( 0 ; 1) en effet A ( 0 ; 0) en effet AB = 1 AB + 0 AD AC = AB + BC = 1 AB + 1 AD AD = 0 AB + 1 AD AA = 0 AB + 0 AC car BC = AD 2.Calculer les coordonnées des points E et F sachant que chaque triangle équilatéral a pour hauteur 1 3 E ; en effet 2 2 3 1 F 1 + ; en effet 2 2 3 2 1 3 AE = AB + AD 2 2 puisque AEB est équilatéral de hauteur 3 2 3 1 AF = 1+ AB + AD 2 2 puisque BFC est équilatéral de hauteur 3 2 3. Calculer les coordonnées des vecteurs DE et DF puis justifier que les points D, E et F sont alignés 1 3 1 3 −0 − 0 + 1 2 2 1 + 2 donc DE donc DF 2 DE de même DF −1 1 3 3 − 1 −1 − 1 2 2 2 2 2 −1 3 DE et DF ont leurs coordonnées proportionnelles puisque xy '− x ' y = − − 1 = 0 4 2 Conclusion : les vecteurs DE et DF sont colinéaires donc les points D , E et F sont alignés . ( ) II. ( 6 points ). Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; i, j . Placer les points suivants : A ( 6 ; 1) B ( 4 ; 5) et C ( 3 ; 4 ) sur l’annexe jointe . 1. Les vecteurs AB et BC sont-ils colinéaires ? Justifier . −2 −1 4 − 6 3 − 4 AB donc AB de même BC donc BC 4 −1 5 −1 4 − 5 −2 −1 AB et BC ont leurs coordonnées non proportionnelles puisque xy '− x ' y ≠ 0 4 −1 en effet ( −2 ) × ( −1) − 4 × ( −1) = 6 ≠ 0 donc les vecteurs AC et BD ne sont pas colinéaires 2. Pour quelle valeur de x non nulle, les points E (1 ; 0 ) F ( x ; 3) et G (1 ; x ) sont-ils alignés ? x − 1 0 EF et EG sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées vérifient : 3 x x × ( x − 1) = 3 × 0 j’obtiens : x ( x − 1) = 0 c’est-à-dire x = 0 ou x − 1 = 0 0 0 on a alors pour x = 1 EF et EG colinéaires donc E (1 ; 0 ) F (1 ; 3) et G (1 ; 1) alignés 3 1 3. Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [ AB] . y + yB x + xB 6 + 4 1+ 5 I A ; A ; c’est-à-dire I ( 5 ; 3 ) et je vérifie sur le graphique . soit I 2 2 2 2 4. a ) Calculer la longueur IA . 6 − 5 1 2 IA donc IA par suite IA = −2 1 − 3 IA 2 = (1) + ( −2 ) = 5 et 2 2 IA = 5 4. b ) A quelle condition un point M appartient-il au cercle de centre I et de rayon IA ? M appartient au cercle de centre I et de rayon IA si et seulement si IM = 5 4. c ) Démontrer que le point C appartient à ce cercle . −2 3 − 5 2 2 2 2 IC donc IC par suite IC = IC = ( −2 ) + (1) = 5 et IC = 5 1 4 − 3 Je peux en conclure que le point C appartient au cercle de centre I et de rayon IA 5. Déterminer par le calcul, les coordonnées du point D tel que : AC = CD . xD − 3 −3 3 − 6 CD AC donc AC avec D ( xD ; yD ) de même 3 4 −1 yD − 4 xD − 3 = −3 j’obtiens le système : puisque deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées yD − 4 = 3 xD = 0 ainsi : yD = 7 c’est-à-dire D ( 0 ; 7 ) et je vérifie sur le graphique . Nom et prénom : Annexe pour l’exercice II. Annexe pour l’exercice III. Les points D et E vérifient : AD = BC + 2AB et AE = CB + CA III. ( 6 points ). Soit un triangle ABC. 1. Construire les points D et E vérifiant : AD = BC + 2AB et AE = CB + CA sur l’annexe jointe . 2. Montrer que BD = AC . Que peut-on en déduire géométriquement ? BD = BA + AD = − AB + BC 2AB + BC + = AB = AC Je peux en déduire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme . 3. Montrer que BE = 2CA . Déduire de cette égalité et de la précédente que E, B et D sont alignés. BE = BA + AE = BA + CB + CA = CB + BA + CA = CA + CA = 2 CA Je peux en déduire que BE = −2 AC = −2 BD Conclusion : les vecteurs BE et BD sont colinéaires donc les points E , B et D sont alignés . 4. Soit I milieu du segment [ AB] . Justifier que CA + CB = 2CI . Qu’en déduire pour ( AE ) et ( CI ) ? CA + CB = CI + IA + CI + IB = 2CI + IB = 2 CI + IA en effet I milieu de [ AB] signifie IA + IB = 0 0 Je peux en déduire que AE = CB + CA = 2 CI Conclusion : les vecteurs AE et CI sont colinéaires donc les droites ( AE ) et ( CI ) sont parallèles . IV. ( 4 points ). QCM. Le candidat doit cocher la case correspondante . Aucune justification n’est demandée . On considère dans un repère orthonormé O ; i, j les points suivants : A ( −4 ; −2 ) B ( −1 ; 3) C ( 7 ; −2 ) 1. Les coordonnées du vecteur AB sont : 5 −3 −5 AB AB AB × Autre réponse 3 −5 1 2. La longueur AB est égale à : × 34 8 26 Autre réponse ( ) 3. Les coordonnées du milieu J du segment [ AC] sont : 11 −5 1 3 × J ; −2 J ; 0 J ; 2 2 2 2 4. Les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme sont : D (10 ; 3) × D ( 4 ; −7 ) D ( −12 ; 3) Autre réponse Autre réponse