Comment montrer que trois points A , B et C

fiche méthodes :
Vecteurs de l’espace
G
G
Comment montrer que les vecteurs u et v sont colinéaires :
G
G
Il faut établir une relation du type u = α v avec α réel
JJJG
JJJG
Conséquences : ☺ AB et AC sont colinéaires ⇔ A , B et C alignés
JJJG
JJJG
☺ AB et CD sont colinéaires ⇔ (AB) et (CD) parallèles
Comment montrer que trois points AJJJ
, GB et C définissent un plan unique :
JJJG
Il faut montrer que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires
G G
JG
Comment montrer que les vecteurs u , v et w sont coplanaires :
G
G
JG
Il faut trouver deux réels α et β tel que par exemple u = α v + β w
Quelles formules faut-il utiliser en géométrie analytique :
Avec A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) , α et β
cui
cui
cui
On a :
⎛ x − xA ⎞
JJJG ⎜ B
⎟
AB ⎜ yB − y A ⎟
⎜z −z ⎟
A ⎠
⎝ B
Si
I = m [AB]
Égalité :
G G
u=v
⎛x⎞
⎛ x'⎞
⎛ x '' ⎞
G⎜ ⎟
G ⎜ ⎟ JG ⎜ ⎟
deux réels , u ⎜ y ⎟ , v ⎜ y ' ⎟ , w ⎜ y '' ⎟
⎜z⎟
⎜z'⎟
⎜ z '' ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛α x ⎞
⎛ x + x' ⎞
G⎜ ⎟
G G⎜
⎟
α u ⎜α y ⎟
u + v ⎜ y + y '⎟
⎜α z ⎟
⎜z + z' ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛ x + x y + yB z A + z B ⎞
;
alors I ⎜ A B ; A
⎟
2
2 ⎠
⎝ 2
⎧x = x '
⎛ x ⎞ ⎛ x'⎞
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⇔ ⎜ y ⎟ = ⎜ y '⎟ ⇔ ⎨ y = y '
⎪z = z '
⎜z ⎟ ⎜z'⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎩
G
G
Comment montrer que les vecteurs u et v sont colinéaires :
G
G
Il faut trouver un réel α tel que u = α v
⎛x⎞
⎛ x'⎞
⎧x = α x '
⎪
⎜ ⎟
⎜ ⎟
C’est-à-dire tel que : ⎜ y ⎟ = α ⎜ y ' ⎟ qui équivaut à ⎨ y = α y '
⎪z = α z '
⎜z⎟
⎜z'⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎩
didier delcassé
www.mathajakarta.canalblog.com
exemple :
⎛2 ⎞
⎛1 ⎞
G⎜ ⎟
G⎜ ⎟
soit u ⎜ 6 ⎟ et v ⎜ 3 ⎟
⎜ −4 ⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
G
G
G
G
u et v sont colinéaires ⇔ ∃α ∈ R / u = α v
⎧2 = α
⎪
⇔ ∃α ∈ R / ⎨ 2 = α
⎪
⎩ −2 = α
G
G
donc u et v ne sont pas colinéaires .
: impossible
G G
JG
Comment montrer que les vecteurs u , v et w sont coplanaires :
G
G
JG
Il faut trouver deux réels α et β tel que par exemple u = α v + β w
⎛x⎞
⎛ x'⎞
⎛ x '' ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
C'est-à-dire tel que : ⎜ y ⎟ = α ⎜ y ' ⎟ + β ⎜ y '' ⎟
⎜z ⎟
⎜z'⎟
⎜ z '' ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎧ x = α x '+ β x ''
⎪
Le problème revient alors à résoudre le système ⎨ y = α y '+ β y '' d’inconnues α et β
⎪ z = α z '+ β z ''
⎩
rappel : comment résoudre un système de trois équations à deux inconnues α et β :
☺ déterminer si possible α et β à partir de deux équations
☺ puis remplacer les valeurs trouvées dans la troisième équation pour vérification
exemple :
⎛2⎞
⎛1 ⎞
⎛ 1⎞
G⎜ ⎟ G⎜ ⎟
JG ⎜ ⎟
soit u ⎜ 8 ⎟ v ⎜ −1⎟ et w ⎜1⎟
⎜2 ⎟
⎜ −1⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
G
G
JG
G G
JG
u , v et w sont coplanaires ⇔ ∃ (α ; β ) ∈ R 2 / u = α v + β w
⎧2 = α + β
⎪
⇔ ∃ (α ; β ) ∈ R / ⎨8 = −α + β
⎪
⎩−1 = 2α + β
2
facile !
⎧α = −3
⎪
⇔ ∃ (α ; β ) ∈ R / ⎨ β = 5
⎪ −1 = −1 : vrai
⎩
G G
JG
u , v et w sont coplanaires
2
donc
didier delcassé
G
G JG
u = −3v + 5w ⇒
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