Développements limités Formule de Taylor

Développements limités Formule de Taylor
Exercice 1 d'après ESSEC 1998
Le but de cet exercice est de déterminer la valeur de la somme
, 1 pour 0 2
On pose pour tout nombre entier naturel et tout nombre réel :
! 1
a. Exprimer sous forme de somme en utilisant la formule du binôme de Newton.
b. Montrer que " # $0, 2%, 0 , .
c. Ecrire le développement limité à l'ordre 3 de ' ! 1 en 0 et en déduire
l'expression en fonction de n des trois nombres réels ( , ) , * tels que :
( ) +, * +- +- .
où . tend vers 0 lorsque tend vers 0.
d. A l'aide de la formule de Taylor écrite à l'ordre 2 en 0, donner alors la valeur des
nombres , pour 0 2.
Exercice 2 (EML 1998)
1. Soit # /1; 1/ .
a. Montrer, pour tout de ℕ et tout 2 de /1; 1/3
1
2ⁿ+,
2 12
12
b. En déduire, pour tout de ℕ et tout 2 de /1; 5 3
|2|ⁿ+,
1
6
2 6 12
1
c. Etablir, pour tout de ℕ :
+,
1
6
6ln1 1
21 !ⁿ
d. En déduire que la série ∑;, converge et a pour somme – ln1 .
En particulier, montrer :
+=
1
>2 .
2ⁿ
,
Exercice 3 ( d’après Ecricome 1997)
On pose
?
"2 # @A+ , B2 2
1
C D
B0 1
a. Montrer que ϕ est une fonction de classe F , sur [0,+∞[
b. On définit de plus la fonction ψ sur [0,+∞[ par :
"2 # @A+ , G2 1 1 2 C
Utiliser cette fonction pour en déduire que B réalise une bijection de [0,+∞[ vers [1,+∞[
Exercice 4
Démontrer par récurrence que " # ℕ,
1 1+, !
!
I 2
!
!
C
J2