Session ordinaire

F.S.O
Département : Math-Info
Année : 2012/2013
Master : Théorie spectrale et Application
Semestre : 3
Module : Théorie spectrale locale
Examen de la session normale
Durée 3 h
On aura soin d’énoncer précisément les résultats utilisés. Dans tous les exercices ci-dessous, X
désignera un espace de Banach complexe.
Exercice 1. Soit T ∈ L (X ) un opérateur non surjectif.
1. On suppose que X = Ho (T ) + K(T ).
(i) Montrer que pour tout x ∈ X , il existe y ∈ X tel que σT (x) ⊆ {0} ∪ σT (y) avec 0 ∉ σT (y).
(ii) En déduire que 0 est isolé dans le spectre surjectif de T .
2. Montrer que si 0 est isolé dans σsu (T ), alors X = Ho (T )+K(T ). Indication : On pourra utiliser
le fait que X = XT (σsu (T )).
Exercice 2. Soit T ∈ L (X ) un opérateur d’ascente finie n. Montrer que T a la SVEP en 0.
Exercice 3. Soit T ∈ L (X ) un opérateur vérifiant
∥ (T − λ)x ∥2 ≤∥ (T − λ)2 x ∥∥ x ∥ pour tous x ∈ X et λ ∈ C
(I) 1. Montrer que si {a n }n≥1 est une suite de nombres réels strictement positifs tels que a 12 ≤ a 2
et a n2 ≤ a n−1 a n+1 , pour tout n ≥ 2, alors
a 1n ≤ a n pour tout n ≥ 2.
2. Montrer que ∥ (T − λ)x ∥n ≤∥ (T − λ)n x ∥ pour tous λ ∈ C et x ∈ X un vecteur de norme 1.
3. En déduire que Ho (T − λ) = N(T − λ) pour tout λ ∈ C.
4. Montrer que T vérifie la SVEP.
(II) Soit x ∈ X un vecteur de norme 1.
1. Montrer qu’il existe une unique suite de fonctions { f n (λ)}n≥1 analytiques sur ρ T (x) et vérifiant
(T − λ) f 1 (λ) = x et (T − λ) f n (λ) = f n−1 (λ) pour tous λ ∈ ρ T (x) et n ≥ 2.
Indication : on exprimera f n en fonction de f 1 .
2. En déduire que ∥ f 1 (λ) ∥n ≤∥ f n (λ) ∥ pour tous λ ∈ ρ T (x) et n ≥ 1. Indication : On pourra
utiliser (I.1).
(III) Soient x ∈ X un vecteur de norme 1, U un ouvert contenant σT (x) et Γ un contour enveloppant σT (x) dans U .
1. Montrer que
n
(T − λ)
µ
−1
2πi
¶
f 1 (µ)
dµ = x pour tout λ ∈ ρ T (x) \U .
n
Γ (µ − λ)
Z
Indication : On pourra écrire T − λ = (T − µ) + (µ − λ).
2. En déduire que
f n (λ) =
−1
2πi
f 1 (µ)
dµ pour tout λ ∈ ρ T (x) \U .
n
Γ (µ − λ)
Z
3. En utilisant (II.2) et (III.2), montrer que
dist(λ, σT (x)) ∥ f 1 (λ) ∥≤ 1 pour tout λ ∈ ρ T (x).
(IV) Soient F un sous-ensemble fermé de C et λ ∈ C \ F .
1. Montrer qu’il existe un réel c > 0 tel que ∥ (T − λ)x ∥≥ c ∥ x ∥ pour tout x ∈ X T (F ).
2. En déduire que la restriction de T − λ à X T (F ) est inversible.
3. Déduire de ce qui précède que T possède la propriété de Dunford (C).