CHAPITRE 1 PRIMITIVES

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Mathématiques 4 niveau 1
ANALYSE
CHAPITRE 1
PRIMITIVES
§ 1.1 Primitives
Définition
Une fonction F est une primitive d'une fonction donnée f sur un intervalle [ a ; b ],
si F'(x) = f(x) pour tout point x de cet intervalle.
Exemples
( )" = 2x = f(x).
1.
F(x) = x est une primitive de f(x) = 2x, car F'(x) = x2
2.
F1(x) = 3x + 2 et F2(x) = 3x sont des primitives de f(x) = 3, car F1" (x) = 3 et F2 " (x) = 3.
3.
F(x) = sin(x) est une primitive de f(x) = cos(x),
car sin’(x) = cos(x)
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2
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Les exemples précédents montrent que si F est une primitive de f sur [ a ; b ], alors toute fonction G,
obtenue à partir de F par addition d'une constante, est aussi une primitive de f.
En effet, si G(x) = F(x) + k, alors G'(x) = (F(x) + k)" = F'(x) + k' = f(x) + 0 = f(x).
Mais la réciproque est aussi vraie !
Théorème
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Si F et G sont deux primitives d'une même fonction f (sur un intervalle [ a ; b ]),
alors ces deux fonctions ne diffèrent que d'une constante.
Démonstration :
Ce théorème est une conséquence du théorème des accroissements finis.
Soit donc F et G deux primitives de f sur [ a ; b ].
On a donc F'(x) = f(x) et G'(x) = f(x) pour tout x de [ a ; b ].
On voit que F et G doivent être dérivables sur l'intervalle et comme telles ce sont des fonctions continues sur cet
intervalle.
Considérons maintenant la fonction H, définie sur [ a ; b ] par H(x) = F(x) – G(x).
H est une différence de fonctions continues et dérivables. Elle vérifie donc les hypothèses du théorème des
accroissements finis.
Mais H'(x) = (F(x) − G(x))# = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0.
Selon une des conséquences du théorème des accroissements finis, H est une fonction constante sur [ a ; b ] et
alors, F(x) – G(x) = H(x) = k, d'où F(x) – G(x) = k.
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Exemples :
1.
Toutes les primitives de la fonction f(x) = 2x sont de la forme F(x) = x2 + k.
2.
Toutes les primitives de la fonction f(x) = 3 sont de la forme F(x) = 3x + k.
Collège Sismondi (S.Z., base cours G.E.)
2014 - 2015
chapitre 1, p.1
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3.
ANALYSE
Déterminer la primitive de la fonction définie sur
Les primitives F de f sont de la forme F(x) =
3
par f(x) = 2x - 5x + 1 s'annulant pour x = 1.
x 4 5x2
+ x + k; de plus l'on doit avoir F(1) = 0.
2
2
Par conséquent, on obtient F(1) = k - 1 = 0 ; k = 1
La primitive cherchée est donc la fonction F définie par F(x) =
x 4 5x2
+x+1
2
2
Propriétés et recherche des primitives
Il résulte directement de la définition des primitives que nous pourrons leur appliquer les propriétés
démontrées pour les dérivées. En particulier nous aurons :
P1 :
Primitive de (f(x)+g(x)) = Primitive de f(x) + Primitive de g(x)
P2 :
Primitive de k⋅f(x) = k fois Primitive de f(x)
où k est une constante
Remarques :
Il n'y a pas de méthode infaillible pour trouver une primitive d'une fonction donnée ; seule une bonne pratique de
la dérivation peut permettre de "deviner" certaines primitives !!!
Concrètement, nous rencontrerons principalement 3 types de situation :
a)
le cas trivial où la fonction f est directement connue comme étant la dérivée d'une fonction F (un peu comme le
calcul de
b)
25 est trivial).
le cas moins évident où la fonction f est bien le résultat direct d'une formule de dérivation, mais dans laquelle
intervient une composition de fonction. Il s'agit alors de trouver la partie de f qui peut représenter une dérivée
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interne.
c)
le cas "intéressant" où f n'est manifestement pas reconnaissable comme dérivée d'une fonction. Il faudra alors
chercher à se ramener, au moyen de transformations appropriées, à des cas connus. Nous aborderons plus tard
certaines de ces techniques.
Exemples illustrant les différents cas de la remarque ci-dessus:
a)
Soit f définie par f(x) = 2x ; on sait que 2x est la dérivée de x2,
donc F(x) = x2 + k
b)
Soit la fonction f définie par f(x) = 5(x3 - 1)4⋅3x2; on remarque que (x3 - 1)‘ = 3x2
et donc F(x) = (x3 - 1)5 + k
Soit la fonction g définie par g(x) = (2x4 - 7)5⋅x3 ;
Si l’on imagine comme une partie de la dérivée interne, on peut poser qu’une primitive G de g sera de la forme
G(x) = a(2x4 - 7)6. En dérivant G, on obtient G’(x) = 6a(2x4 - 7)5⋅8x3 = 48a(2x4 - 7)5⋅x3
En prenant a =
1
, on obtient bien G’(x) = (2x4 - 7)5⋅x3 = g(x).
48
Remarques (suite)
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Nous pouvons,
pour les cas a) et b), récrire les formules de dérivation comme formules de primitives:
F1
Primitive de a
=
ax
F2
Primitive de xp
=
1
xp+1+ k
p +1
F3
Primitive de fp ⋅ f# =
1
fp+1+ k
p +1
(p ≠ -1)
etc.
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Collège Sismondi (S.Z., base cours
G.E.)
2014 - 2015
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