DS 2 Analyse Algèbre - IMJ-PRG

N. Laillet
[email protected]
MP2, groupe PHY5/ESPC – DS 2
DS 2
Durée : 1 heure 20. Le barème sur 30 points est donné à titre indicatif.
Analyse
Exercice 1
(question de cours – 2 points) Énoncer le théorème de Rolle.
Exercice 2
(5 points) Déterminer, en justifiant, les limites en +∞ des suites suivantes :
un =
Exercice 3
1 + n − n2
,
n2 − n
vn = e−n (sin(n) + cos(n)),
wn =
√
√
n + 1 − n.
(6 points) Soit (un )n∈N la suite définie par récurrence par
u0 = 1
un+1 = u2n + 1
a. Calculer u1 , u2 , u3 .
b. Étudier le signe de x2 − x + 1 sur R.
c. En déduire le sens de variation de (un )n∈N .
d. On suppose que un est bornée.
(i) Montrer qu’alors un converge, vers une limite notée ℓ.
(ii) En utilisant la relation de récurrence, déterminer l’équation vérifiée par ℓ, et aboutir à une
contradiction.
On a donc montré que un n’est pas bornée.
e. En déduire limn→+∞ un .
Algèbre
Exercice 4 (exercice théorique – 5 points)
a. Rappeler le théorème du rang (c’est-à-dire la relation entre la dimension du noyau et de
l’image d’une application linéaire).
b. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une forme linéaire est une application linéaire
de Rn dans R.
(i) On suppose que f n’est pas nulle. Quelle est alors la dimension de Im(f ) ?
(ii) En déduire la dimension de Ker(f ).
(iii) Soit u un vecteur de Rn tel que f (u) 6= 0. Montrer que Ker(f ) et Vect(u) sont supplémentaires dans Rn .
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N. Laillet
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MP2, groupe PHY5/ESPC – DS 2
Exercice 5
(12 points) Soit f l’application linéaire définie par
f (x, y, z) = (−2x + 5y − 2z, −3x + 6y − 3z, −x + y − z).
a. Donner la matrice A de f dans la base canonique de R3 au départ et à l’arrivée.
b. Déterminer un système d’équations du noyau et de l’image de f .
c. On considère les vecteurs suivants :
 
 
 
1
1
−1
u = 1 , v =  0  ,  1  .
0
−1
3
(i) Montrez que (u, v, w) est une base de R3 .
(ii) Quelle est la matrice P de passage de la base canonique à la base (u, v, w) ?
(iii) Déterminer en fonction de (u, v, w) les images par f des vecteurs (u, v, w).
(iv) En déduire sans calculer P −1 la valeur de B = P −1 AP .
d.
On considère la matrice C définie par
3 0
C = 0 0
0 0


0
1 .
0
1. Calculer C 2 .
2. Calculer C n pour tout n.
e.
(i) Calculer P −1 .
(ii) En déduire l’expression de An pour tout n.
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