Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l`espace

Vestiges d'une terminale S - Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l'espace rapporté à un repère orthonormé
2. Quelques conséquences
Comme le point H appartient au plan P alors
Formule donnant la distance entre un point et un plan
L'espace est rapporté à un repère orthonormé O; i, j,k .
(
)
La distance entre le point A ( x A ; y A ; z A ) et le plan P d'équation cartésienne
a.x + b.y + c.z + d = 0 est donnée par :
distance ( A; P ) =
a.x A + b.y A + c.z A + d
a 2 + b2 + c2
Rappelons que la distance entre un point A et un ensemble E est la plus petite des
distances AM existant entre le point A et chaque point M de E.
La formule marche lorsque le point A appartient au plan P. Car alors, les coordonnées du
premier vérifient l'équation du second. Donc a.x A + b.yA + c.z A + d = 0 . D'où :
a.x A + b.yA + c.z A + d
0
= 0 = distance ( A; P )
a +b +c
a + b2 + c2
Dans la démonstration suivante, nous supposerons que le point A n'appartient pas à P.
2
2
2
=
2
La preuve de la formule
1. Où la distance AM est-elle minimale ?
Nous venons de le rappeler : la distance entre le point A et le plan P est la plus petite des
distances AM où M est un point quelconque de P.
A priori, cette distance semble minimale lorsque le point M est le projeté orthogonal H du
point A sur le plan P.
A
Voyons pourquoi il en est ainsi !
Pour tout point N du plan P, le triangle
ANH est rectangle en H.
Donc en application du théorème de
Pythagore, il vient :
H
AN 2 = AH 2 + HN 2
N
P
d 'où
Ensuite, comme nous travaillons dans un repère orthonormé alors un vecteur normal du
a 
 
plan P d'équation a.x + b.y + c.z + d = 0 est n  b  .
c
 
3. La dernière phase : un produit scalaire de deux manières
Le produit scalaire n.AH peut se calculer de deux manières :
Avec les coordonnées car nous évoluons dans un repère orthonormé :
 a   xH − xA 
  

n.AH =  b  .  yH − y A  = a × ( x H − x A ) + b × ( y H − yA ) + c × ( z H − z A )
c  z −z 
A 
  H
=
a.x H + b.y H + c.z H ) − ( a.x A + b.yA + c.z A ) = − ( a.x A + b.y A + c.z A + d )
(
=− d
Car le point H appartient à P
En utilisant le fait que les vecteurs n et AH ont même direction (mais pas
nécessairement même sens)
A
En effet, tout deux sont normaux
ou orthogonaux au plan P.
n.AH =
± n × AH
Le plus ou moins indique
n
si les vecteurs ont même sens.
H
2
2
2
P
=±
a + b + c × AH
Norme dans un repère
orthonormé
Ainsi venons-nous d'établir l'égalité :
− ( a.x A + b.yA + c.z A + d ) = n.AH = ± a 2 + b 2 + c2 × AH
a.x A + b.yA + c.z A + d = a 2 + b2 + c2 × AH
On a passé l'égalité à la valeur absolue pour éliminer le − et le ±.
Rappelons qu'un réel positif est sa propre valeur absolue.
HN 2 étant un réel positif ou nul, il vient alors :
AN 2 ≥ AH 2
a.x H + b.yH + c.z H + d = 0 .
Ses coordonnées en vérifient l'équation...
AN 2 ≥ AH 2
donc AN ≥ AH
La racine est une fonction
croissante sur [ 0;+∞[.
AH =
a.x A + b.yA + c.z A + d
Conclusion : la distance entre le point A et le plan P est égale à la distance existant entre le
point A et son projeté orthogonal H sur P.
Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
a 2 + b 2 + c2
D'où la formule !