Séquence 02 : Géométrie analytique en repère orthonormé
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Séquence 02 : Géométrie analytique en repère orthonormé
Séquence 02 : Géométrie analytique en repère orthonormé 1. Repère dans le plan et coordonnées Définitions : Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis : O, I, J. On note ce repère (O, I, J), et : Le point O est l’origine du repère ; La droite (OI) est l’axe des abscisses et le point I donne l’unité sur cet axe ; La droite (OJ) est l’axe des ordonnées et le point J donne l’unité sur cet axe. Remarque : Dans un plan, on distingue les 3 cas suivants Nous considérons à partir de maintenant un repère (O, I, J) orthonormé Propriété (admise) : Tout point M du plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J) est repéré de manière unique par un couple de nombres (x; y). x est l’abscisse de M et y est l’ordonnée de M. 2. Distance de deux points dans un repère orthonormé. Propriété : Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), la distance AB s’écrit : AB AB (x x ) ( ) Remarques : cette propriété est fausse si le repère n’est pas orthonormé ! Dans la formule ci-dessus ( ) peut être remplacé par ( ) , car les nombres sont opposés et ont par conséquent le même carré. De même pour le terme en y. Exemple : Soit E (-2 ; 1) et F (1 ; -3). La distance EF vaut EF 3 ( ) ( ) ( 3) . 3. Coordonnées du milieu d’un segment Propriété : Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points du plan Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées . Démonstration : Par le théorème des milieux et le calcul de distances Soit C (xB ; yA ), K le milieu de [AC], L le milieu de [CB] et M le milieu de [AB]. On trace la parallèle à (BC) (qui est parallèle à (OJ)) passant par K alors d’après le théorème des milieux dans le triangle ACB elle coupe [AB] en M. Ainsi xM = xK = d’après l’égalité AK KC. Maintenant on trace la parallèle à (AC) (qui est parallèle à (OI)) passant par L alors d’après le théorème des milieux dans le triangle ACB elle coupe [AB] en M. Ainsi yM = yK = d’après l’égalité BL LC. Remarque : Le milieu de [AB] est le « point moyen » de A et B. Son abscisse est la moyenne des abscisses de A et B, et son ordonnée est la moyenne des ordonnées de A et B. Exemple : Soit A(-2 ; -2) et B(6 ; 4). Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées (2 ; 1).