Séquence 02 : Géométrie analytique en repère orthonormé

Séquence 02 : Géométrie analytique en repère orthonormé
1. Repère dans le plan et coordonnées
Définitions :
Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés
dans un ordre précis : O, I, J.
On note ce repère (O, I, J), et :
 Le point O est l’origine du repère ;
 La droite (OI) est l’axe des abscisses et le point I donne l’unité
sur cet axe ;
 La droite (OJ) est l’axe des ordonnées et le point J donne l’unité
sur cet axe.
Remarque : Dans un plan, on distingue les 3 cas suivants
Nous considérons à partir de maintenant un repère (O, I, J) orthonormé
Propriété (admise) : Tout point M du plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J)
est repéré de manière unique par un couple de nombres (x; y).
x est l’abscisse de M et y est l’ordonnée de M.
2. Distance de deux points dans un repère orthonormé.
Propriété : Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J),
la distance AB s’écrit :
AB
AB
(x
x )
(
)
Remarques : cette propriété est fausse si le repère n’est pas orthonormé !
Dans la formule ci-dessus (
) peut être remplacé par (
) , car les nombres
sont opposés et ont par conséquent le même carré. De même pour le terme en y.
Exemple : Soit E (-2 ; 1) et F (1 ; -3).
La distance EF vaut
EF
3
(
)
(
)
( 3)
.
3. Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété : Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points du plan
Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées
.
Démonstration : Par le théorème des milieux et le calcul de distances
Soit C (xB ; yA ), K le milieu de [AC], L le milieu de [CB]
et M le milieu de [AB].
On trace la parallèle à (BC) (qui est parallèle à (OJ)) passant par K
alors d’après le théorème des milieux dans le triangle ACB
elle coupe [AB] en M.
Ainsi xM = xK =
d’après l’égalité AK KC.
Maintenant on trace la parallèle à (AC) (qui est parallèle à (OI))
passant par L alors d’après le théorème des milieux dans le
triangle ACB elle coupe [AB] en M.
Ainsi yM = yK =
d’après l’égalité BL LC.
Remarque : Le milieu de [AB] est le « point moyen » de A et B. Son abscisse est la moyenne des abscisses
de A et B, et son ordonnée est la moyenne des ordonnées de A et B.
Exemple : Soit A(-2 ; -2) et B(6 ; 4). Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées (2 ; 1).