Centre de masse.

Centredemasse.
Centre de masse d'un secteur circulaire
Considérons une plaque comme étant un secteur circulaire d'angle
rayon
:
(en radian) et de
L'élément de surface vaut ds=dr.r.dθ
Le centre de gravité d’un solide homogène est donné par : V OG = ∫∫∫ OA i dv
v
avec V = Volume du solide
L'épaisseur étant constante, on peut écrire : S OG = ∫∫ OA i ds avec S = Surface de la plaque
s
La position du centre de gravité de l'élément de surface ds est donné par :
r
r
OA i = r. cos θ.x + r. sin θ.z
r
r
donc : S OG = ∫∫ r. cos θ.ds.x + ∫∫ r.sin θ.ds.z
s
R
S OG = ∫0
α
s
r
R
α
r
∫0 r. cos θ.dr.r.dθ.x + ∫0 ∫0 r. sin θ.dr.r.dθ.z
R
α
α
r R
r
S OG = ∫0 r 2 .dr ∫0 cos θ.dθ.x + ∫0 r 2 .dr ∫0 sin θ.dθ.z
S OG =
[ ]
[]
α r
α r
1 3 R
1 R
R 3 sin α r R 3 (1 − cos α) r
r .[sin θ] .x + r 3 .[− cos θ] .z =
.x +
.z
3
3
3
3
0
0
0
0
Si α=π alors S =
1
1
π.R 2 donc S = α.R 2
2
2
2R 3 sin α r 2R 3 (1 − cos α) r
OG =
.x +
.z
3αR 2
3αR 2
donc : OG =
2R sin α r 2R (1 − cos α ) r
.x +
.z
3α
3α
Pour une plaque ayant la forme d’un quart de cercle :
α=
π
2
OG =
4 R r 4R r
.x +
.z
3π
3π
Vérification avec le théorème de Guldin
π
πR 2
, la surface est un quart de cercle de surface S =
. Par rotation autour de
4
2
2πR 3
r
l'axe z , le volume engendré est une demi-sphère de volume V =
.
3
pour α =
Le second théorème de Guldin nous donne la relation : V = 2.π.S.rG où rG est la distance du
r
centre de gravité du quart de cercle par rapport à l'axe z .
On obtient :
2πR 3
πR 2
4R
= 2.π.
.rG d ' où rG =
3
4
3π
ce qui correspond au résultat trouvé par application de la définition du centre de gravité.
Centre de masse d'un cône
Soit un cône de révolution d’axe z , d’angle au somment 2α
ayant une masse m.
Le centre de gravité G est défini par :
OG =
1
∫ OP.dm
mP
On a tan α =
r R
=
z h
donc
r=
z.R
h
ρπz 2 .R 2dz
dm = ρ.dv = ρπr dz =
h2
2
ρπ.R 2 h
et m = ρ.v =
3
(voir calcul d’un volume)
r
Et OP = z.z
[ ]
r
3 h
3 h ρπz 2 .R 2dz r 3 h 3 r
3 4 h r 3h 4 r
z.dm.z =
z.
.z = 3 ∫ z .dz.z = 3 z .z = 3 .z
D’où OG =
ρπR 2 h ∫0
ρπR 2 h ∫0
h2
h 0
4h
4h
0
OG =
On a finalement :
3h r
.z
4
Centre de masse d'une plaque percée d’un trou
r
y
Appelons S1 la plaque
rectangulaire de dimensions L x l
Et S2 le cercle de rayon R
On cherche les coordonnées du
centre de gravité G de la plaque.
a
b
G
r
x
xG
yG
On applique les définitions suivantes : x G =
Avec M = masse totale du système =
∑ mi x i
∑ mi
et
yG =
∑ mi yi
∑ mi
∑ mi
Ici M = ρ.S = ρ.(L.l − πR 2 )
xG =
∑ mi x i
∑ mi
=
m1x G1 − m 2 x G 2 ρ.0 − ρπR 2a
πR 2a
=
=
−
M
ρ.(L.l − πR 2 )
L.l − πR 2
πR 2a
2
G L.l − π2 R
πR b
−
L.l − πR 2
−
donc
yG =
∑ m i yi
∑ mi
=
m1yG1 − m 2 yG 2 ρ.0 − ρπR 2 b
πR 2 b
=
=
−
M
ρ.(L.l − πR 2 )
L.l − πR 2