[4 points].

CORRIGÉ SUJET 1
Exercice 1 : [4 points].
1. Convertir en degrés les mesures d’angles suivantes. Justifier.
π
7π
7π 180
(a) rad = 45deg ; (b)
rad =
×
deg = 140deg
4
9
9
π
2. Convertir en radians les mesures d’angles suivantes. Justifier.
47π
2π
π
rad ; (b) 235deg = 235 ×
rad =
rad
(a) 120deg =
3
180
36
Exercice 2 : [2 points]. Donner les mesures principales des angles de mesures suivantes. Justifier.
2001π
3π 1998π
(a)
=
+
= π + 666π = π + 333 × 2π, la mesure principale est : π
3
3
3
5π 75π
5π
5π
77π
5π
=−
−
=−
− 12π = −
− 6 × 2π, la mesure principale est : −
(b) −
6
6
6
6
6
6
Exercice 3 : [5 points].
B
b
A
b
O
b
b
C
b
b
I
D
−→ −−→
π
1. a. AB, AD = − + k2π , k ∈ Z, le triangle ABD est équilatéral.
3
−→ −−→ −→
−−→ −−→
−−→ π
b. BI, AD = BI, BC = + k2π , k ∈ Z, AD = BC car ABCD est un losange, [BI)
6 −−→ −−→
est la bissectrice de BD, BC .
−−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→
π
2π
c. DC, BO = AB, BO = BA, BO − π = − π = −
+ k2π , k ∈ Z
3
3
−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ π π
2π
π
2. BI, AC = BI, AD + AD, AC = BI, BC + AD, AC = + =
= +k2π , k ∈
6 6
6
3
Z
Exercice 4 : [4 points].
π π
π
5π
⇔ t = + 2kπ , k ∈ Z ou t = π − + 2kπ =
1. sin(t) = sin
+ 2kπ , k ∈ Z
6
6
6 √
6
√
3
3
3
ou sin t = −
2. 4 sin2 t − 3 = 0 ⇔ sin2 t = ⇔ sin t =
4
2
2
π
2π
π
2π
⇔ t = + 2kπ , k ∈ Z ou t =
+ 2kπ , k ∈ Z ou t = − + 2kπ , k ∈ Z ou t = −
+
3
3
3
3
2kπ , k ∈ Z
Exercice 5 : [3 points].
√
√
√
√
√
√
2
3
3
−
3
3
3
=
=
1. 2X 2 −3 3X +3 = 0. ∆ = (−3 3)2 −4×2×3 = 27−24 = 3 > 0, X1 =
4
4
2
√
√
√
3 3+ 3
4 3 √
et X2 =
=
= 3
4
4
√
2. En déduire les solutions dans R de l’équation 2 cos2 √
x−3 3 cos x−3 = 0.. En posant cos x = X
3
on obtient l’équation précédente. Seule la solution
est possible car comprise entre −1 et 1.
2
√
π
π
3
⇔ x = + 2kπ , k ∈ Z ou x = − + 2kπ , k ∈ Z
On a : cos x =
2
6
6
√
√
3
π
4π
Exercice 6 : [2 points]. −2 sin x 6 3 ⇔ sin x > −
⇔ x ∈ − + 2kπ;
+ 2kπ , k ∈ Z
2
3
3
3
CORRIGÉ SUJET 2
Exercice 1 : [4 points].
1. Convertir en degrés les mesures d’angles suivantes. Justifier.
π
7π
7π 180
(a) rad = 30deg ; (b)
rad =
×
deg = 105deg
6
12
12
π
2. Convertir en radians les mesures d’angles suivantes. Justifier.
5π
π
53π
(a) 150deg =
rad ; (b) 265deg = 265 ×
rad =
rad
6
180
36
Exercice 2 : [2 points]. Donner les mesures principales des angles de mesures suivantes. Justifier.
π
2001π
3π 2004π
π
π
(a)
=−
+
= − + 334π = − + 167 × 2π, la mesure principale est : −
6
6
6
2
2
2
π
π 78π
π
π
77π
= −
= − 26π = − 13 × 2π, la mesure principale est :
(b) −
3
3
3
3
3
3
Exercice 3 : [5 points].
B
b
A
b
O
b
b
C
b
b
I
D
−→ −−→
π
1. a. AB, AD = − + k2π , k ∈ Z, le triangle ABD est équilatéral.
3
−→ −−→ −→
−−→ π
−−→ −−→
b. BI, AD = BI, BC = + k2π , k ∈ Z, AD = BC car ABCD est un losange, [BI)
6 −−→ −−→
est la bissectrice de BD, BC .
−−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→
π
2π
c. DC, BO = AB, BO = BA, BO − π = − π = −
+ k2π , k ∈ Z
3
3
−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −→
2π
π
π π
= +k2π , k ∈
2. BI, AC = BI, AD + AD, AC = BI, BC + AD, AC = + =
6 6
6
3
Z
Exercice 4 : [4 points].
π π
π
1. cos(t) = cos
⇔ t = + 2kπ , k ∈ Z ou t = − + 2kπ , k ∈ Z
6
6
6
√
√
3
3
3
ou cos t = −
2. 4 cos2 t − 3 = 0 ⇔ cos2 t = ⇔ cos t =
4
2
2
π
5π
5π
π
+ 2kπ , k ∈ Z ou t = −
+
⇔ t = + 2kπ , k ∈ Z ou t = − + 2kπ , k ∈ Z ou t =
6
6
6
6
2kπ , k ∈ Z
Exercice 5 : [3 points].
√
√
√
√ 2
−3 3 − 3
2
1. 2X + 3 3X + 3 = 0. ∆ = (3 3) − 4 × 2 × 3 = 27 − 24 = 3 > 0, X1 =
=
4
√
√
−4 3
=− 3
4
√
√
√
√
−2 3
− 3
−3 3 + 3
=
==
et X2 =
4
4
2
√
2. En déduire les solutions dans R de l’équation 2 cos2 x+
3
√ 3 cos x−3 = 0.. En posant cos x = X
− 3
on obtient l’équation précédente. Seule la solution
est possible car comprise entre −1 et
2
1.
√
5π
π
− 3
⇔x=
+ 2kπ , k ∈ Z ou x = −5 + 2kπ , k ∈ Z
On a : cos x =
2
6
6
√
√
3
π
4π
Exercice 6 : [2 points]. −2 sin x 6 3 ⇔ sin x > −
⇔ x ∈ − + 2kπ;
+ 2kπ , k ∈ Z
2
3
3
4