fonctions circulaires

1ère STI
Ch02 : Fonctions circulaires
2006/2007
FONCTIONS CIRCULAIRES
Table des matières
I
Le radian
1
II Cercle trigonométrique
2
III Angles orientés
III.1 Mesure d’un arc ou d’angle orienté de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Mesure principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
IV Fonctions sinus et cosinus
IV.1 Défintions . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Valeurs remarquables . . . . . . . .
IV.3 Période et parité . . . . . . . . . .
IV.4 Variations et courbe représentative
IV.4.1 Fonction sinus . . . . . . .
IV.4.2 Fonction cosinus . . . . . .
4
4
4
5
5
6
6
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V Equations trigonométriques
7
⋆
I
⋆
⋆
⋆
⋆ ⋆
Le radian
Définition 1
Le radian est, comme le degré ou le grade, une unité de mesure d’angles définie de la façon suivante :
¯
Si A et M sont deux points d’un cercle de centre O de rayon r, l désigne la longueur de l’arc AM
÷ est le réel α = l
➯ La mesure en radians de l’angle AOM
r
M
l = r×α
α
0
r
A
Remarque 1
• Le cas particulier r = 1 est intéressant car alors l = α. Dans ce cas, la mesure en radians de l’angle
÷ est égale à la longueur de l’arc géométrique AM
‘
AOM
• Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians :
360 degrés = 2π radians ou encore 180 degrés = π radians
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Exemple 1
On obtient le tableau de conversions suivant :
Angle
plein
plat
droit
fig.b
fig.a
fig.b
Mesure en degrés
360
180
90
60
45
30
Mesure en redians
2π
π
π
2
π
3
π
4
π
6
Figure a :
π
4
π
6
triangle rectangle isocèle
II
π
4
Figure b :
triangle équilatéral
π
3
Cercle trigonométrique
Définition 2
➤ Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct
ou indirect
➤ Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 orienté de telle sorte que le direct est celui
du sens inverse des aiguilles d’une montre
Remarque 2
On peut donner aux sens plusieurs dénominations :
• Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Sens indirect : sens négatif, sens horaire.
Exemple 2
Placer les principales mesures en radian sur le cercle trigonométrique en prenant 4cm pour une unité
2π
3π 3
4
π
2
π
3
π
4
π
6
5π
6
π
0
11π
6
7π
6
5π
4 4π
3
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+
3π
2
7π
5π 4
3
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1ère STI
III
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Angles orientés
III.1
Mesure d’un arc ou d’angle orienté de vecteurs
(C) est le cercle trigonométrique de centre O, A et M sont deux points de (C)
Définition 3
→ −−→
Ÿ
‘ ou de l’angle orienté (−
OA, OM ) est la longueur de chemin
Une mesure, en radians, de l’arc orienté AM
parcouru pour aller de A à M dans le sens direct
Propriété 1
→ −−→
Ÿ
‘ ou de l’angle orienté (−
OA, OM ), alors toutes les
Si α est une mesure en radians de l’arc orienté AM
mesures en radians de cet arc sont de la forme α + 2kπ où k est un nombre entier relatif
Remarque 3
Le "k" détermine en fait un nombre de tours que l’on affectue sans le sens direct si k est positif, et dans
le sens indirect si k est négatif
Exemple 3
Placez sur le cercle trigonométrique les quatre points
K, L, M, N tels que :
−
−→ −→
ÿ
➔ 5π
3 − 2π est une mesure de (OK, OL)
➔
7π
6
➔
7π
6
III.2
M
N
K
−
−→ −−→
Ÿ
− 3π est une mesure de (OK, OM )
+ 2π −
π
3
−
−→ −−→
ÿ
est une mesure de (OK, ON )
L
Mesure principale
Définition 4
On appelle mesure principale, en radians, son unique mesure appartenant à l’intervalle [ −π; π ]
Exemple 4
Donner les mesures principales des angles suivants en les
plaçant sur le cercle trigonométrique :
21π
2
13π
➔ α2 =
3
−13π
➔ α3 =
6
α1 =
π
2
α2 =
π
3
➔ α1 =
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0
α3 = − π3
-3-
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IV
IV.1
Ch02 : Fonctions circulaires
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Fonctions sinus et cosinus
Défintions
Définition 5
Soit x un réel quelconque
−
→ −−→
Ÿ
Il lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une mesure en radians de (OA, OM )
−
→ −
→
➤ Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M dans le repère (O; i ; j )
−
→ −
→
➤ Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M dans le repère (O; i ; j )
M
sin x
−
→
j
cosx et sinx sont donc respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M dans le repère
−
→ −
→
(O; i ; j ) á
ë
→
x −
i
0
cos x
cos x
On note : M
sin x
Propriété 2
♦ cos2 x + sin2 x = 1
♦ −1 6 cos x 6 1
IV.2
et
−1 6 sin x 6 1
Valeurs remarquables
2π
3
3π
4
5π
6
−π
√
− 23−
√
2
2
− 21
7π
6
π
2
√
3
√2
2
2
1
2
0
π
3
π
4
π
6
1
2
√
2
2
√
3
2
11π
6
− 12
5π
4
4π
3
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√
2
√2
− 23
−
3π
2
0
5π
3
7π
4
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1ère STI
Ch02 : Fonctions circulaires
2006/2007
D’après ce cercle trigonométrique, on peut déterminer quelques valeurs utiles :
IV.3
x
0
sin x
0
cos x
1
π
6
1
√2
3
2
π
√4
2
√2
2
2
π
√3
3
2
1
2
π
2
π
1
0
0
1
Période et parité
D’après la construction du cosinus et du sinus sur le cercle trigonométrique, on en déduit que :
•


 cos(x + 2π) = cosx

 sin(x + 2π) = sinx
Ce qui signifie que les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, c’est à dire qu’elle se répetent de
manière identique tous les 2π
•


 cos(−x) = cosx

 sin(−x) = −sinx
Ce qui signifie que la fonction cosinus est paire (elle admet une symétrie d’axe l’axe des ordonnées), et
que la fonction sinus est impaire (elle admet 0 comme centre se symétrie).
x
x
sin x
cos x
− sin x
−x
IV.4
−x
Variations et courbe représentative
Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, on les étudie sur un intervalle de période 2π
Ces fonctions étant aussi paire ou impaire, on peut encore restreindre l’intervalle à [ 0 ; π ]
On obntient les tableaux de variations par lecture du cercle trigonométrique :
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1ère STI
IV.4.1
Ch02 : Fonctions circulaires
2006/2007
Fonction sinus
Le tableau de variations sur l’intervalle [ 0; π ] de la fonction sinus est :
π
2
1
0
x
sin(x)
ր
0
π
ց
0
−
→ −
→
On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; i ; j )
sur l’intervalle [ 0 ; π ], puis par symétrie centrale, sur [ −π ; π ]
1
−1
π
2
−π
−
π 1
2
π
−1
−2
π
2
π
−2
puis par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction sinus qui s’appelle une sinusoïde
−2π
−π
−
1
π
2
π
2
−1
π
−2π
2π
IV.4.2
Fonction cosinus
Le tableau de variations sur l’intervalle [ 0; π ] de la fonction cosinus est :
x
0
π
2
π
1
cos x
0
−1
−
→ −
→
On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; i ; j ) sur l’intervalle
[ 0 ; π ], puis par reflexion par rapport à l’axe des ordonnées, sur [ −π ; π ]
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1ère STI
Ch02 : Fonctions circulaires
1
π
2
−1
2006/2007
1
−π
−
π
−2
π
2−1
π
2
π
−2
par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction cosinus qui s’appelle une sinusoïde :
1
−π
−2π
−
π
2
π
2 −1
−2π
π
2π
V
Equations trigonométriques
Propriété 3
Soit α une réel fixé, alors l’équation :
♦ sin x = sin α a pour solutions x = α + 2kπ et x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
♦ cos x = cos α a pour solutions x = α + 2kπ et x = −α + 2kπ, k ∈ Z
π − α + k 2π
α + k 2π
α + k 2π
sin x
α
Exemple 5
Résoudre les équations suivantes :
π ➔ cos(x) = cos
4 π
➔ cos(x) = cos −
3
√
➔ cos(x) = 22
Å ã
3π
➔ sin(x) = sin
4
ã
Å
5π
➔ sin(x) = sin −
6
1
➔ sin(x) =
2
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αcos x
−α + k 2π
o
n π
π
• S = − + 2kπ, + 2kπ
4
4
n π
o
π
• S = − + 2kπ, + 2kπ
3
3
o
n π
π
• S = − + 2kπ, + 2kπ
4
ß 4
™
π
3π
• S=
+ 2kπ,
+ 2kπ
4
ß4
™
5π
π
• S= −
+ 2kπ, − + 2kπ
6 ™
ß 6
5π
π
+ 2kπ,
+ 2kπ
• S=
6
6
-7-