NOMBRES COMPLEXES : METHODES Comment calculer module

NOMBRES COMPLEXES : METHODES
Comment calculer module et argument ?
Exemple : z = 3 – 3 i.
z
=
a² + b² =
3² + ( -3)² =
a
3
1
=
=
=
ρ
3 2
2
b
-3
-1
Sin θ = =
=
=
ρ 3 2
2
Cos θ =
9+9 =
18 = 9
2
.
2
2
2
On peut dire θ =
- 2
2
-
π
π
ou θ = à 2 π près.
4
4
donc θ =
NEGATIF
π
4
2
2
2 = 3 2.
donc z = [ 3 2 ,
-π
+2kπ
4
-π
]=3
4
2 e –i
π
4
π
4
Exemple : z = - 3 – 3 i.
z
=
a² + b² =
(-3)² + ( - 3)² =
9+3 =
12 = 4
3 = 2 3.
a
-3
-3 3
-3 3 - 3
3
π
=
=
=
=
On sait que, ou on lit sur le formulaire que cos =
2x3
2
6
2
ρ
2 3 2 3 3
6π π
5π
-5 π
π
On peut donc dire θ = π =
- =
ou θ =
à 2 π près.
6
6 6
6
6
b - 3
1
-5 π
Sin θ = =
=NEGATIF
donc θ = =
+2kπ
2
6
ρ 2 3
Cos θ =
5π
6
π
6
- 3
2
donc z = [ 2 3 ,
-5π
] = 2 3 e –i
6
3
2
1
2
-5 π
6
Comment passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique ?
ρ e iθ =
[ ρ , θ] = ρ( cos θ + i sin θ) = ρ cos θ + i ρ sin θ
2π
–2 π
–2π
1
- 3
exemple 2 e – i 3 = 2 ( cos
+ i sin
) = 2 (- + i
)=-1–i 3
3
3
2
2
2π
3
π
3
3
2
-
1
2
-2π
3
1
2
- 3
2
5π
6
Comment ajouter deux nombres complexes ?
Il faut obligatoirement la forme algébrique.
Exemple
( 2 + 3 i) + 3 ( - 2 – 5 i) = 2 + 3 i – 6 - 15 i = - 4 - 12 i.
2π
-π
2π
2π
-π
-π
5 e i 3 + 3 e i 6 = 5 ( cos
+ i sin
) + 3 ( cos
+ i sin
)=
3
3
6
6
3
3 1
5 3 3
5 3 3
1
5(- +i
) +3(
- i) = - +
+ i(
– )
2
2 2
2
2
2
2
2
Exemple
Comment multiplier deux nombres complexes ?
On peut utiliser les deux formes , mais si on a la forme trigonométrique, les calculs seront plus simples.
Exemple : ( 3 + 4 i) (5 - 2 i ) = 15 – 6 i + 20 i - 8 i² = 15 + 14 i + 8 =23 + 14 i
π
5 e i 12 x 2 e
i
π
π
π
π
=10 e i ( 12 + 6 ) = 10 e i 4
6
( = 10( cos
2
2
π
π
+ i sin ) = 10
+ i 10
= 5 2 + 5 2 i.
4
4
2
2
Comment diviser deux nombres complexes ?
On peut utiliser les deux formes , mais si on a la forme trigonométrique, les calculs seront plus simples.
Exemple :
( 3 + 4 i) ( 3 + 4 i ) (5 + 2 i) 15 + 6 i + 20 i + 8 i² 15 + 26 i – 8 7 + 26 i 7 26
=
=
=
=
=
+
i.
(5 - 2 i )
(5 - 2 i) (5 + 2 i)
25 – 4 i²
25 + 4
29
29 29
π
5 e i 12
Exemple
2e
i
π
=
π
5 i( π -π
e 12 6) = 2,5 e – i 12
2
6
Comment résoudre une équation du second degré ?
exemple 3 z ² + 4 z + 1 = 0.
∆ = b ² - 4 a c = 4 ² - 4 x 3 x 1 = 16 - 12 = 4
z1 =
-b+ ∆ -4+ 4 -4+2 -2
1
=
=
=
=2a
2x3
6
6
3
z2 =
-b∆ -4- 4 -4-2
6
=
=
= - = -1
2a
2x3
6
6
∆ > 0 donc 2 solutions réelles
1
S = { - ;- 1}
3
exemple - 3 z ² + 4 z – 2 = 0.
∆ = b ² - 4 a c = 4 ² - 4 x ( - 3) x ( - 2) = 16 – 24 = - 8
∆ < 0 donc 2 solutions complexes conjuguées
z1 =
- b + i -∆ - 4 + i 8 - 4 + i x 2 2
-2+i 2 2–i 2
=
=
=
=
2a
2( - 3)
-6
-3
3
z2 =
- b - i -∆ - 4 - i 8 - 4 - i x 2
=
=
2a
2( - 3)
-6
2
=
-2-i 2 2+i 2
=
-3
3
S ={
2–i 2 2+i 2
;
}
3
3
exemple z ² - 6 z + 9 = 0
∆ = b ² - 4 a c = ( - 6 ) ² - 4 x 1 x 9 = 36 – 36 = 0 donc une solution double z =
S = { 3}
-b
- ( - 6) 6
=
= = 3.
2a
2 x1
2
comment calculer une longueur, un angle dans un repère orthonormal?
Si les points A,B,C ont pour affixes respectives zA, zB, zC
pour calculer la longueur AB, on calcule le module de z AB = zB – zA.
→
→
zAC zC – zA
=
.
zAB zB – zA
→
→
Pour calculer l'angle (AB, AC) on calcule l'argument de
→
comment trouver l'image d'un point par une translation ou une rotation de centre O dans un repère
orthonormal ?

→
exemple: A(3, 2) , u(2,-1)
θ=
π
6
→
Soit A' l'image de A par la translation de vecteur u .
zA = 3 + 2 i ; z
→
u
= 2 – i;
zA' = zA + z
→
u
=3+2i+2–i =5+i.
donc A' a pour coordonnées ( 5 ; 1).
Soit B l'image de A par la rotation de centre θ.
la rotation est associée à la fonction définie dans C
I par f (z) = z e i θ donc
π
zB = zA e i θ = ( 3 + 2 i ) e i 6 = ( 3 + 2 i ) ( cos
=3
3 1
π
π
+ i sin ) = (3 + 2 i ) (
+ i)
6
6
2
2
3 3

3 3
3
2
3 3
3
3
+ i +2
i + i²=
+ i+ 3i -1= 
– 1  + i 
+ 3
2 2
2
2
2
2
 2

 2

 3

3
donc B a pour coordonnées 3
–1,
+ 3
2
 2

comment trouver la rotation de centre O qui transforme A en B dans un repère orthonormal ?
cette rotation , si elle existe, est associée à une application dans C
I de la forme f (z) = z e i θ.
donc si il existe une telle rotation, on doit avoir
on doit donc avoir
on calcule donc
zB = zA e i θ (B est l'image donc zB est f(z) ).
zB
= e i θ.
zA
zB
z
, si le module est bien 1, on a bien une rotation de centre O dont l'angle est un argument de B .
zA
zA
exemple zA = 2 + 4 i ; zB = - 2 + 3 2 i
zB - 2 + 3 2 i (- 2 + 3 2 i) ( 2 – 4 i) - 2 2 + 4 2 i + 6 2 i – 12 2 i²
=
=
=
zA
2+4i
(2 + 4) (2 – 4 i)
4 – 16 i²
=
- 2 2 + 12 2 + 10 2 i 10
=
4 + 16
le module est
cos θ =
 2 2  2 2=
  +  
2
2
2 + 10 2 i 10 2 10 2
2
2
=
+
i=
+
i
20
20
20
2
2
2 2
+ =
4 4
4
= 1 on a bien une rotation de centre O.
4
2
2
π
et sin θ =
donc θ = + 2 k π.
2
2
4
π
le point B est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle .
4