Gestion obligataire

Gestion obligataire
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SOMMAIRE
Les obligations sont des titres de créance à moyen et long terme détenus sur un emprunteur
par un ou plusieurs porteurs. Derrière cette définition se cache une idée très simple qui est
celle de fractionner le prêt afin de réduire le risque. Quand un particulier souhaite emprunter
de l’argent pour financer l’achat de son logement, par exemple, la somme empruntée est
dérisoire, au regard des réserves dont dispose sa banque. Par contre, lorsqu’une entreprise
souhaite financer un projet d’investissement de grande envergure, le coût est très largement
supérieur et une banque n’est pas en mesure à elle seule de fournir toute la somme requise
sans se mettre dramatiquement en danger. Une solution simple à ce problème consiste alors
pour cette entreprise à diviser le montant à prêter en micro-prêts qui sont proposés sur un
marché organisé, appelé le marché obligataire. Chacun de ces micro-prêts est alors appelé
obligation et rapporte des intérêts.
A la différence des actions, qui confèrent à leurs détenteurs la qualité d’associés et dont la
rentabilité n’est pas garantie, les obligations, ou « valeurs à revenus fixes », donnent à leurs
détenteurs un droit de créance sur l’émetteur qui s’engage normalement à les rémunérer et
à les rembourser à une échéance déterminée ou sur une période donnée.
Les obligations émises peuvent appartenir à différentes catégories : on distingue les
obligations à taux fixe (le taux d’intérêt ne change pas pendant la durée de vie de
l’obligation), les obligations à taux variable ou indexé (le taux d’intérêt est révisé selon un
schéma prédéfini), les obligations à zéro coupon, etc.
Le marché obligataire qui correspond au compartiment du marché financier où s'échangent
ces obligations est assez ancien et le premier emprunt obligataire date du XI siècle lorsque
la ville de Gêne a effectué sa première émission en gageant ses obligations sur les ressources
de l’impôt sur le sel. Le produit de cette émission a permis le financement de projets
d’infrastructures tels que des installations portuaires nécessitant des travaux pluriannuels et
qui ne pouvaient produire des recettes qu’à long terme.
En France, le premier emprunt royal fut lancé par François 1er en 1522 pour financer les
guerres en Italie 1 et l’objectif était d’abaisser le coût de la dette. Mais les emprunts
obligataires destinés au financement de l’économie sont nés avec la révolution industrielle et
ont été émis par les compagnies de chemin de fer et les institutions financières nouvellement
créées. Les obligations d'État ont, dès l'origine, constitué l’essentiel des obligations émises,
les commerçants préféraient s'endetter plutôt à court terme par le biais d'effets de
commerce.
1
François Iᵉʳ est sacré roi de France le 25 janvier 1515. Il règne jusqu’à sa mort en 1547. Fils de Charles
d’Angoulême et de Louise de Savoie, il appartient à la branche de Valois-Angoulême de la dynastie capétienne.
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Gestion obligataire
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Ce n’est qu’après le second choc pétrolier et la hausse brutale des taux d’intérêts, que le
marché obligataire s’est dynamisé. Toutefois, il est resté toujours fortement règlementé et
insuffisamment développé jusqu’à la vague des réforme des années 2000. Ces réformes ont
visé la modernisation du marché et l’incitation à son innovation à travers une plus grande
créativité dans les produits, un accès plus facile des particuliers au marché secondaire, une
plus forte concentration des échéances et une plus grande liquidité des émissions, etc.
Ainsi, les émetteurs d’obligations sont devenus très nombreux. En plus des gouvernements
nationaux, locaux et municipaux, il y a des agences gouvernementales, des entreprises ou
des groupes d’entreprises. Les obligations peuvent être émises également par des agences
supranationales (comme la Banque Mondiale, la Banque Européenne d’Investissement, la
Banque Africaine de Développement, etc.). De nos jours, le marché obligataire brasse des
sommes d’argent considérables. Il constitue un marché riche, liquide et innovant.
Comme les obligations ont une rémunération qui n’est pas liée aux résultats de l’activité de
leur émetteur, sous forme d’intérêts plus ou moins connus à l’avance, elles sont généralement
moins volatiles que les actions. Cela ne veut pas dire que les obligations sont sans risque, ni
qu’elles sont toutes de même qualité. Tout dépend de leurs caractéristiques.
En effet, outre le fait qu’elles constituent à priori des titres à revenu fixe, par rapport aux
actions, les obligations se caractérisent par des éléments différents dont la qualité de
l’émetteur, l’échéance, le mode de rémunération et de remboursement. Ces éléments
conditionnent leur risque. Les agences de notation ont pour activité d'évaluer et de suivre
tous les aspects de ce risque pour les obligations émises, tant par les États que par les autres
émetteurs importants.
L’analyse du risque et de la performance d’une obligation ou d’un portefeuille obligataire est
différente de celle d’une action ou d’un groupe d’actions. Des modèles spécifiques ont été
développés pour évaluer les risques obligataires, l’utilisation des méthodes propres aux
actions étant inadaptée. La gestion de portefeuille obligataire n’obéit pas non plus aux
mêmes principes et stratégies que la gestion des portefeuilles d’actions.
Enfin, la gestion obligataire est l’un des sujets les plus anciens de la finance : le mécanisme
prêt/emprunt, vieux comme le monde, est traité dans de nombreux ouvrages historiques.
Nous avons voulu que ce manuel qui est une présentation détaillée des différents aspects de
la gestion obligataire soit un outil pédagogique destiné particulièrement aux étudiants de
master en finance. Nous présenterons en premier lieu les caractéristiques des différentes
sortes d’obligations, leur évaluation et le calcul de leur rendement. L’étude de la structure
par terme des taux d’intérêt et la présentation des différentes théories qui l’expliquent est
l’objet de la section suivante. La présentation des risques obligataires et l’étude des
différentes stratégies actives et passives de gestion obligataire sont ensuite successivement
abordées. Enfin, la mesure, et l’analyse de la performance des portefeuilles d’obligations
sont traitées dans la dernière partie de ce manuel.
Mohamed DAOUAS
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TABLE DES MATIERES
Page
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Sommaire
1. Les caractéristiques d’une obligation
1.1.
La qualité de l’emprunteur
1.2.
Le coupon
1.2.1. Fréquence de paiement
1.2.2. Taux fixe ou taux variable
1.3.
La maturité
1.4.
Le mode de remboursement
1.5.
Les différents types d’obligations
1.5.1. Distinction selon la nature de l’émetteur
1.5.2. Distinction selon le mode de rémunération et de remboursement
5
5
5
5
6
7
9
9
9
10
2. Le fonctionnement du marché obligataire
2.1.
Le marché primaire :
2.1.1. L’adjudication
2.1.2. La syndication
2.1.3. Le placement direct
2.2.
Le marché secondaire : rendement, prix et cotation d’une obligation
2.2.1. Le taux de rendement d’une obligation
2.2.2. Le prix d’une obligation
2.2.3. La cotation d’une obligation
14
14
14
15
15
16
16
17
19
3. Les risques obligataires : nature et mesures
3.1.
Les différentes natures de risques
3.1.1. Les risques spécifiques des placements obligataires
3.1.2. Le risque systématique (ou risque de marché
3.2.
Les différentes mesures du risque systématiques d’une obligation
3.2.1. La valeur d’un point de base
3.2.2. La duration
3.2.3. La sensibilité
3.2.4. La convexité
3.3.
Rendement, duration et sensibilité d’un portefeuille
22
22
22
23
26
26
27
28
30
32
4. La structure par terme des taux d’intérêt
4.1.
Généralités
4.1.1. Les taux au comptant (spoot) spot
4.1.2. Le taux forward
4.1.3. La courbe de taux
34
34
34
35
37
3
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4.1.4.
4.1.5.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
4.2.3.
4.2.4.
La construction de la courbe de taux
Dérivation de la courbe zéro coupon
Les théories explicatives de la structure par terme des taux
La théorie pure des anticipations
La théorie de la prime de risque
La théorie de la segmentation des marchés
La théorie de l’habitat préféré
37
39
43
44
45
46
46
5. Les stratégies de gestion de portefeuille obligataire
5.1.
Les stratégies de gestion active de portefeuille
5.1.1. Les stratégies basées sur les anticipations de taux
5.1.2. Les stratégies du « riding the yield curve »
5.1.3. Les stratégies basées les déplacements de la courbe de taux
5.1.4. Les stratégies basées sur les cotes de crédit et les devises
5.1.5. Les stratégies basées sur les caractéristiques propres aux obligations
5.2.
Les stratégies de gestion passive de portefeuille obligataire
5.2.1. La gestion indicielle d’un portefeuille obligataire
5.2.2. L’immunisation de portefeuille
5.2.2.1. L’immunisation afin de satisfaire un seul engagement
5.2.2.2. L’immunisation conditionnelle
5.2.2.3. L’immunisation multi périodique
5.2.2.4. L’appariement des flux d’encaisse
5.3.
Les stratégies hybrides
49
49
51
55
56
67
67
69
69
71
72
78
79
82
84
6. Mesure et attribution de performance d’un fonds obligataire
6.1.
La mesure de la rentabilité d’un fonds obligataire
6.2.
L’analyse de la performance d’un fonds
6.2.1. Les modèles spécifiques d’attribution de performance
6.2.2. Les modèles simples de décomposition de la performance d’un fonds
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88
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91
97
Bibliographie
100
Appendice
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1. Les caractéristiques d’une obligation
L’acte d’investissement dans une obligation est toujours précédé d’une étape importante
qui est l’analyse de ses caractéristiques. Celles-ci ont une influence directe sur le rendement
anticipé et le prix à payer pour cette obligation. L’étude de ces caractéristiques permet aussi
de vérifier si cette obligation répond aux objectifs visés par l’investisseur, particulièrement,
en termes de risque et rendement. Les principales caractéristiques d’une obligation sont la
qualité de son émetteur (son étalonnage ou rating), son coupon, sa maturité, les modalités
de son remboursement, son prix et son rendement.
1.1. La qualité de l’emprunteur :
La qualité de l’émetteur ou sa capacité financière à assumer ses engagements est un facteur
important à analyser avant d’acheter une obligation. Mais, pour différentes raisons, cette
capacité est souvent difficile à évaluer et à suivre pendant la durée de vie de l’obligation.
C’est pourquoi pour la réussite de leurs émissions, les émetteurs paient des agences
spécialisées pour effectuer ce travail au profit des investisseurs.
Ces agences, qui doivent être indépendantes, se basent sur des analyses approfondies de la
situation financière des émetteurs pour leur assigner des qualités de crédit qui jouent un
rôle important dans la détermination des conditions d'émission, puis dans la fixation du
cours des obligations sur le marché secondaire2. Ces qualités font l'objet de classements
normalisés tels que figurants dans le tableau n° 1.
1.2. Le coupon :
Les obligations donnent droit à des intérêts appelés aussi « coupons » qui peuvent :



rester inchangés durant toute la vie de l’obligation. On parle alors d’obligation à
taux fixe ;
être révisés à certaines dates. C’est le cas d’obligation indexée ou à taux variable ;
être payés à maturité. Il s’agit alors d’obligations à zéro coupon.
1.2.1. Fréquence du paiement :
Les intérêts sont payés à une fréquence qui est souvent semestrielle aux USA et annuelle en
Europe. Mais, elle peut être également trimestrielle ou mensuelle (cas des obligations
2
Les agences les plus connues sont les américaines Moody’s Investors Service (Moody’s) et Standard & Poors
Corporation, l’européenne Fitch, et l’asiatique R&I. Contrairement aux deux premières, la portée des deux autres
est limitée à leurs régions respectives. Le rating est attribué à la demande de l’émetteur. Cependant, ces agences
peuvent, de manière unilatérale, attribuer des ratings à certains émetteurs particulièrement importants. On
parle alors de notation sauvage. Les entreprises de petite taille, qui ne recourent que rarement ou pas au marché
financier, ne font pas l’objet de suivi de la part de ces agences. L’absence de rating n’est pas synonyme d’un
mauvais risque.
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hypothécaires). Cette fréquence a une influence directe sur le rendement de l’obligation.
Toutes choses étant égales par ailleurs, plus elle est élevée, plus le rendement est important.
Tableau n° 1 : Catégories de risques ou de notations
Catégorie de risque (ou de crédit)3
Moody’s
S&P, Fitch et R&I
Non spéculatif (grade d’investissement)
Meilleure qualité, sécurité maximale : risque de crédit minime
Aaa
AAA
Aa1
AA+
Aa2
AA
Aa3
AA-
A1
A+
A2
A
A3
A-
Baa1
BBB+
Baa2
BBB
Baa3
BBB-
Ba1
BB+
Ba2
BB
Ba3
BB-
B1
B+
B2
B
B3
B-
Fortement spéculatif : mauvaise qualité de signature et risque de
crédit très élevé
Caa
CCC+
Extrêmement spéculatif : Proche d’une situation de défaut, offre un
potentiel de récupération d’une partie du principal et des intérêts
Ca
CCC
Défaut imminent et potentiel limité de récupération du principal et
des intérêts
C
CCC-
Défaut
D
D
Haute ou bonne qualité, très faible risque de crédit
Qualité moyenne supérieure : risque faible
Qualité moyenne inférieure susceptible de présenter des
caractéristiques spéculatives
Spéculatif ou à haut rendement
Spéculatif : risque de crédit important
Hautement spéculatif : risque de crédit élevé
1.2.2. Taux fixe ou taux variable :
Certaines obligations sont à taux fixe. Le taux payé par l’emprunteur est figé pendant toute
la durée de vie de l’obligation. L’évolution des taux sur le marché financier n’influe pas sur
le coupon payé par l’émetteur. Par contre, comme on le verra plus loin, la variation des taux
sur le marché influence le prix de l’obligation et sa volatilité. Cette dernière, qui est plus forte
pour l’obligation à taux fixe, est d’autant plus grande que l’échéance de l’obligation est
lointaine. Les investisseurs qui choisissent les obligations à taux fixe cherchent à se protéger
3
Chaque catégories peut être affinée en lui greffant l’appréciation : flat, perspectives positives ou négatives
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contre une baisse des taux dans le futur. Quant aux émetteurs, ils préfèrent ce type
d’obligations lorsqu’ils anticipent une hausse des taux d’intérêt.
D’autres obligations sont à taux variable. Dans ce cas, le taux d’intérêt payé par l’émetteur
est revu à une fréquence déterminée. Ce taux est fixé en fonction d’une règle connue
d’avance et décrite dans le prospectus d’émission des obligations. Il est généralement fixé
en ajoutant une marge (ou spread) à un taux de référence tel que le taux des bons de trésor
américain, ou le LIBOR (London Interbank Offered Rate), ou l’EURIBOR (European Interbank
Offered Rate) ou le TMM (le taux du marché monétaire en Tunisie), etc. Comme le taux
d’intérêt versé suit en définitive les fluctuations du marché, le prix de ces obligations est
donc moins volatil et toujours proche de leur valeur nominale4. Lorsque le marché s'attend
à une hausse des taux, une émission à taux fixe rencontre peu de succès et l'émetteur peut
alors faire appel à une émission à taux flottant pour réussir à collecter les fonds qu'il cherche
à mobiliser. Si les fonds obtenus sont destinés à des emplois à "taux flottant", il ne sera pas
nécessaire à l’émetteur de se couvrir contre la hausse des taux du marché. L'émetteur peut
fixer un taux minimum pour rendre l'émission plus attractive, ainsi qu’un taux maximal pour
éviter des charges d'intérêt excessives.
Enfin, la dernière catégorie d’obligations est celle des titres qui ne versent aucun coupon
(obligations à coupon zéro). Celles-ci se vendent à escompte (discount) par rapport à leur
valeur faciale. Cet escompte remplace les intérêts. Ces obligations présentent l’avantage
d’éliminer les problèmes du paiement des coupons pour leur émetteur et celui de leur
réinvestissement pour leurs porteurs. L'émetteur qui cherche à réunir le financement d'un
projet qui ne génère pas de flux financier suffisant pour assurer le paiement des intérêts
avant la fin de sa réalisation, a recours à ce type d'émission. De son côté, l'investisseur qui
n'a pas besoin de revenus intermédiaires avant l’échéance est attiré par ce genre
d’obligation dont le prix d’émission est plus bas à cause de l’escompte. L'investisseur réalise
un placement à terme capitalisé qu'il peut revendre facilement avant l'échéance.
Compte tenu du caractère capitalisé des revenus d'une obligation à coupon zéro, la volatilité
du cours de cette dernière est plus élevée en cas de fluctuation des taux que celle des prix
des autres catégories d'obligations. En cas de baisse des taux, le gain en capital est maximisé,
mais à l'inverse, la hausse des taux est très pénalisante en cas de revente. Enfin, dans le choix
d'une obligation à coupon zéro, il est primordial de prendre en compte le rating de
l'émetteur, car ce dernier devra rembourser, à l'échéance finale, un montant important par
rapport à celui de l'émission.
1.3. La maturité :
Lorsqu’elle existe, la date d’échéance ou de maturité se réfère à une date à laquelle
l’émetteur de l’obligation rembourse le principal emprunté à l’investisseur. L’obligation est
4
Ce point sera examiné dans la deuxième partie de ce manuel.
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remboursée « in fine 5 » ou progressivement jusqu’à l’échéance finale, sinon, elle est
perpétuelle.
En fonction des conditions de remboursement caractérisant l’obligation, le dénouement
effectif peut se faire bien plus tôt que l’échéance finale. En effet, aussi bien l’émetteur que
le détenteur peut s’octroyer le droit et non l’obligation d’avancer la date de maturité de
l’obligation. Ainsi, les obligations perpétuelles sont en général pourvues d'une date à partir
de laquelle l'émetteur peut les rembourser par anticipation.
Que l’obligation soit à maturité ou à perpétuité son remboursement anticipé est possible
dans les cas suivants :
•
Obligation avec option d’achat : L’option d’achat donne à l’émetteur de
l’obligation le droit de la rembourser avant sa date d’échéance finale. En
pratique, l’emprunteur utilise ce droit lorsque les taux d’intérêt baissent. D’où,
toutes choses étant égales par ailleurs, pour l’investisseur une telle obligation est
moins chère que l’obligation ordinaire. En acquérant une obligation avec CALL,
l’investisseur signe au profit de l’emprunteur une option de remboursement
anticipé. La prime apparait sous forme de réduction du prix de l’obligation :
Prix d’une obligation avec CALL = Prix d’une obligation ordinaire – Prix du CALL
Pour l’investisseur, cette obligation est moins recherchée, car en cas de baisse
des taux, elle est remboursée et le réinvestissement de son prix de
remboursement se fait à un rendement inférieur. Le prix de remboursement est
fixé par avance et n'est pas nécessairement égal au "pair". En pratique,
l’opération n’est pas si simple ; avant de lancer le remboursement anticipé,
l’émetteur doit tenir compte du coût de refinancement et de tous les frais
occasionnés par ce remboursement.
•
L’obligation avec option de vente (rétractable) : L’option de vente (PUT) donne
à l’acheteur de l’obligation le droit et non l’obligation d’être remboursé avant la
date de maturité finale. En pratique, le détenteur de l’obligation utilise son droit
lorsque les taux d’intérêt sont plus élevés que lors de l’émission de l’obligation.
A cause de ce droit, une telle obligation est plus chère à payer par l’investisseur :
Prix de l’obligation avec PUT = Prix de l’obligation ordinaire + Prix du PUT
•
5
Il existe aussi des obligations qui donnent lieu à des remboursements partiels de
leur principal avant l’échéance. C’est le cas des obligations matérialisant des prêts
hypothécaires dont le remboursement du principal se fait mensuellement ou
trimestriellement. On parle alors de durée de vie moyenne plutôt que de
maturité finale pour ces obligations.
Le remboursement du principal de l'obligation se réalise en une seule fois à la date d'échéance du titre.
8
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•
Enfin, il existe des obligations qui n'ont pas d'échéance finale et sont donc
assimilables à des capitaux propres pour l'émetteur. Pratiquement, ces
obligations sont émises à un taux flottant ; elles ont par conséquent les avantages
des obligations à taux variable tout en souffrant en permanence d'une décote
due à leur faible liquidité. En effet, la liquidité qui découle essentiellement de la
qualité de l'émetteur et de la taille de l’émission influence de manière
considérable le cours des obligations.
1.4.
Le mode de remboursement :
Il existe trois modes de remboursement :
• Remboursement à l'échéance finale : Ce mode de remboursement est le plus
courant. Il présente l'avantage de la simplicité pour l'investisseur, mais n'offre
aucune souplesse à l'émetteur qui est enfermé dans un carcan jusqu'à l'échéance
finale où il devra rembourser en une seule fois la totalité de l'emprunt.
• Remboursement anticipé : L'émetteur s'octroie, moyennant un préavis, la
possibilité de rembourser tout ou partie de l'emprunt à des échéances
intermédiaires et à des prix prédéfinis. L'émetteur se protège de la sorte d'une
évolution défavorable des taux mais, en contrepartie, doit consentir des
conditions d'émission plus favorables aux investisseurs.
• Plan d'amortissement : L'émetteur s'engage à rembourser par tranches
successives selon un mode qu'il définit au départ. Ainsi, il peut opter pour des
remboursements annuels égaux en capital (amortissement constants) ou en
capital et intérêts (annuités constantes). L'amortissement peut se faire par tirage
au sort, rachat en bourse, une combinaison de ces deux procédés, ou
proportionnellement pour tous les porteurs.
1.5. Les différents types d’obligations :
1.5.1. Distinction selon la nature de l’émetteur :
a) Les obligations gouvernementales et les obligations d’entreprises :
•
•
Les obligations gouvernementales : les gouvernements sont les plus grands
émetteurs d’obligations et les titres qu’ils émettent sont appelés « emprunts
d’Etat ». Ces obligations servent souvent de référence, du point de vue
rendement à offrir, pour les autres types d’émission obligataire. Les emprunts
d’Etat assurent ce que l’on appelle un taux de rendement sans risque. Enfin,
contrairement aux autres obligations qui ont tendance à être détenues de
manière passive, les titres gouvernementaux s’échangent sur un marché
relativement plus actif. Cela tient à plusieurs facteurs dont la fréquence, la
régularité, le volume et l’uniformité des émissions, …).
Les obligations d’entreprises : Ces émissions sont moins importantes en volume
que les premières. Ces titres sont généralement émis sur le marché intérieur, car
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en quantité moins importantes que les précédentes, mais leurs émetteurs,
lorsqu’ils sont suffisamment grands, peuvent, à l’instar des gouvernements,
choisir d’élargir leur base d’investisseurs (prêteurs) en émettant en plus sur un
ou plusieurs marchés étrangers. Le succès de l’émission dépend du niveau
d’adéquation entre, d’une part, l’écart de rendement par rapport aux emprunts
d’Etat de référence et, d’autre part, la qualité de la signature que les investisseurs
analysent avant de se décider. Enfin, le marché des obligations émises par les
entreprises est hiérarchisé sur le même modèle que le marché des actions qui est
toutefois plus intuitif puisqu’il est organisé en plusieurs secteurs (grands groupes,
petites et moyennes entreprises, start-ups, etc.).
b) Les obligations domestiques et les obligations étrangères :
•
•
Les obligations domestiques : Il s’agit d’obligations libellées dans la devise du pays
où l’émetteur est domicilié et contrôlé. D’un point de vue pratique, cela signifie
que tout le processus, allant de l’émission jusqu’au remboursement, est contrôlé
par les autorités nationales de contrôle et de réglementation. Ainsi, les titres
d’emprunt émis en dinars par une entreprise de droit tunisien sont des
obligations domestiques et le contrôle de l’émission est assuré par le Conseil du
Marché Financier.
Les obligations étrangères : Beaucoup de marchés nationaux sont également
ouverts aux emprunteurs étrangers qui, bien que non-résidents, peuvent émettre
des obligations dans la devise locale et les vendre aux investisseurs locaux à
condition, toutefois, de respecter les mêmes règles que les émetteurs
domestiques. Ainsi, les obligations en dollar émises par des emprunteurs
étrangers sur le marché américain sont des titres étrangers. Parfois, les
obligations étrangères ont des noms originaux pour les différencier des autres.
Par exemple, une obligation émise en livre sterling par un émetteur domicilié hors
du Royaume Uni s’appelle un « Bulldog » ; une obligation émise en yen par un
émetteur domicilié hors du Japon s’appelle un « Samouraï » et une obligation
émise en dollar par un émetteur domicilié hors des Etats-Unis s’appelle un
« Yankee ». Enfin, lorsque les obligations sont émises dans une devise étrangère,
leur émetteur ainsi que leurs détenteurs courent un risque additionnel qui est le
risque de change et qui est plus ou moins important selon le degré de volatilité
de cette devise par rapport à leurs monnaies locales.
1.5.2. Distinction selon les modalités de rémunération ou de remboursement :
Outre les caractéristiques énumérées plus haut, les obligations peuvent présenter un
éventail de particularités qui influencent la détermination de leur prix. D'une manière
générale, l'émetteur cherche à satisfaire ses besoins en financements au moindre coût en
fonction des opportunités du marché.
Il y a lieu alors de distinguer entre différents types d’obligations :
10
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





L’obligation standard : c’est l’obligation dite « vanille ». Elle est remboursée à une
date fixée et rapporte des intérêts à intervalles réguliers sous forme de coupons.
L’obligation à zéro coupon : elle n’offre aucun coupon durant toute sa durée de vie.
Toutefois, elle est émise à un prix inférieur à celui de son remboursement. Le
rendement intégral pour le porteur se réalise sous forme d’un remboursement à
l’échéance au pair, supérieur au prix d’émission.
L’obligation structurée est une obligation à laquelle on adjoint un produit dérivé afin
d’en accroître l’attractivité pour l’émetteur ou l’investisseur. C’est une combinaison
de deux instruments. Le produit dérivé permet de couvrir l’émetteur contre la baisse
des taux ou l’investisseur contre leur hausse. Dans le premier cas, la rentabilité pour
l’investisseur est améliorée. Dans le second, le coût de l’émetteur est réduit.
L’obligation indexée : C’est une obligation dont le remboursement et les intérêts
sont indexés sur l’inflation, la valeur d'un indice boursier ou de l'or6, etc. Son taux
d’intérêt est en général plus bas que celui de l’obligation à taux fixe de même
maturité. L’indexation permet aux détenteurs d’obligations de protéger le pouvoir
d’achat de leur investissement puisque le coupon et le principal sont réévalués pour
que leurs valeurs correspondent aux niveaux voulus à l’émission.
L’obligation avec bons de souscription d'actions7 (OBSA) ou warrantée : c’est une
obligation à taux fixe à laquelle est attaché un ou plusieurs bons qui permettent de
souscrire des actions nouvelles de la société émettrice à un prix et durant une période
définis à l’avance. Parallèlement, un taux d'intérêt fixe est payé par l'émetteur, de
sorte que lorsque le warrant est exercé, cette obligation devient un titre ordinaire.
Ce montage est intéressant pour l'émetteur, qui peut offrir un taux facial moins
élevé, dès lors que l'intérêt et le remboursement final sont garantis et que le warrant
constitue un "plus possible". L'attrait pour l'investisseur est qu'il profite de la hausse
du titre sur lequel porte le warrant, sans être touché par la baisse, hormis un déficit
en intérêt. Aussi longtemps que le warrant n'est pas exercé, il fait avec l'obligation
l'objet de cotations séparées et on parle alors d'obligation "cum-warrant". Dès qu'il
est détaché ou exercé, on parle d'obligation "ex-warrant"8.
L’obligation convertible : c’est une obligation à taux fixe qui peut être, au choix de
l’investisseur, convertie en actions de l’émetteur. Le prix auquel l’obligation est
convertible est fixé au moment de l’émission à un niveau plus élevé que celui du
6
L’indexation sur l’or nous rappelle le célèbre emprunt Giscard qui fut émis en 1973 à 7% en FRF, mais indexé
sur l'or (coupons et remboursement). Compte tenu de l'attrait du français moyen pour l'or, le Trésor français
proposa un taux d’intérêt moins élevé grâce à l'indexation sur l'or. Considérant que la France avait une
importante réserve d'or, le futur Président Giscard de l’époque considérait ne pas prendre de risque en cas de
hausse de l'or, puisque la valeur des réserves en or monterait d'autant. Malheureusement en 1988, le Trésor
français fut obligé de rembourser l'emprunt au prix fort parce que le prix de l’or avait beaucoup augmenté, Les
réserves d'or se sont ensuite dévalorisées avec la chute du prix de l'or. L'idée de l’indexation sur l’or était
séduisante mais le timing fut désastreux.
7
Ce bon de souscription est appelé également « warrant ».
8
Les émetteurs japonais sont les plus actifs sur ce type d'émission.
11
Gestion obligataire
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

cours de l’action. La convertibilité n’est en général assurée qu’à compter d’une
certaine date et pendant une période limitée. Lorsque le porteur d'obligations
convertibles transforme ses titres en actions, il procède à un échange qui le
dépossède définitivement de ses obligations. Toutefois, la perte des intérêts est plus
ou moins compensée par la jouissance de dividende. L'attrait des obligations
convertibles s’explique par les mêmes arguments que celui des obligations avec bons
de souscription. Une société qui évolue favorablement, constate que ses créanciers
transforment leurs obligations convertibles en actions, ce qui a pour avantage de
transformer une partie de sa dette en fonds propres et de la doter d’une capacité
d’endettement additionnelle. Un investisseur qui hésite à participer à une
augmentation de capital, en achetant une obligation convertible se donne le temps
de voir plus clair. Enfin, en cas de faillite, le porteur d'obligations convertibles peut
espérer récupérer sa mise avant les actionnaires.
L’obligation « Reverse convertible » : Alors que les obligations convertibles
classiques permettent aux investisseurs de bénéficier d’un droit d’échange, les
obligations « Reverse Convertible », accordent aux émetteurs le droit de rembourser
les obligations par des actions plutôt qu’en espèces si le cours de ces actions est
inférieur à un niveau prédéfini. Comme ce droit pourrait amener l’émetteur à donner
des titres qui lui coûteront moins cher que le remboursement en espèces des
obligations, l’investisseur se voit offrir un taux d’intérêt avantageux. Techniquement,
l’émetteur achète un PUT à l’investisseur et en paye le prix via une prime en intérêt
annuel. Ces obligations portent sur des actions qui ont généralement eu de bons
résultats durant les derniers mois et qui bénéficient d’un capital-confiance important
auprès des investisseurs. Ces derniers n’imaginent donc pas une baisse du cours des
actions visées et peuvent avoir tendance à sous-estimer le risque qu’ils prennent. De
la même manière, l’attrait de ces obligations fait que les émetteurs empruntent à un
coût réel faible malgré le niveau élevé du taux facial affiché. L’opération étant
couverte, les émetteurs ne prennent pas de risque.
L’obligation Assimilable du Trésor (OAT) ou linéaire : Souvent pour une part
importante de leur financement, les trésors publics choisissent ce type d'émission.
L'émetteur fixe le même taux de coupon, une même échéance et un même prix de
remboursement pour une série d’émissions successives d’obligations faites par
adjudication. En d’autres termes, ceci permet d'émettre des tranches
complémentaires d'emprunts déjà émis, en conservant toutes les caractéristiques
(nominal, coupon, échéance, …) 9 , le prix d'adjudication s'ajustant en fonction de
l'évolution des taux du marché 10 . Cette faculté de procéder à des émissions
9
On parle souvent d'"emprunts au robinet" pour désigner ces obligations. Ce sont les Obligations Assimilables
du Trésor (OAT) en France, les Bundesanleihen ou « Bund » en Allemagne, les « Gilts » au Royaume-Uni, les
Bons du Trésor (« Treasury Bonds ») aux Etats-Unis, ...
10
Le prix d'adjudication est un prix "intérêt à bonifier" : L'intérêt couru est ajouté au prix d’adjudication pour
obtenir le montant à payer lors d'une émission d'une tranche complémentaire.
12
Gestion obligataire
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
complémentaires d'emprunt, en conservant toutes les caractéristiques d'intérêt et
de remboursement de l'émission originelle, constitue la particularité de ces
obligations ; la conséquence en est une diffusion plus large des obligations émises et
une augmentation substantielle de leur liquidité sur le marché secondaire. Enfin,
dans le but d’accroître encore plus cette liquidité, les États émetteurs négocient avec
les professionnels (essentiellement les Banques) pour qu’ils constituent un corps de
"market makers" qui assure la cotation de ces obligations sur le marché secondaire,
tout en leur donnant, en contrepartie, certains avantages compensatoires lors des
adjudications.
L’obligation senior et l’obligation junior ou subordonnée : Les sociétés qui font
appel aux marchés obligataires pour se financer recourent de plus en plus à la
technique de la « subordination de dette ». Cette technique permet d’établir un
ordre de priorité entre les différents types d’obligations émises par un même
émetteur, pour le cas où celui-ci se retrouverait dans l’impossibilité d’honorer la
totalité de ses engagements financiers. Ainsi, en cas de problème de solvabilité,
l’émetteur sera tenu de rembourser en premier lieu les obligations prioritaires. Les
actifs subsistants après le remboursement de ces dernières seront affectés au
remboursement de celles disposant d’un niveau de priorité inférieur.
Avant d’investir dans une obligation, il importe donc de connaître le niveau de
priorité dont elle bénéficie. Bien que toutes les émissions soient différentes, la
hiérarchie des obligations s’inscrit schématiquement dans le cadre suivant :
o L’obligation senior sécurisée : elle bénéficie du plus haut niveau de priorité.
En plus, elle est garantie par un ou plusieurs actifs de l’émetteur. Ainsi, en cas
d’insolvabilité de ce dernier, les actifs mis en gage sont affectés au
remboursement des obligations de ce type.
o L’obligation senior non-sécurisée : elle ne donne droit à aucun privilège
particulier sur les actifs de l’émetteur. Le paiement des coupons ainsi que le
remboursement de l’obligation à l’échéance sont simplement garantis
par « la bonne foi et le crédit » de l’émetteur.
o L’obligation subordonnée : elle est dotée d’un faible niveau de priorité. En cas
d’insolvabilité, les détenteurs de telle obligation ne seront remboursés
qu’après le paiement intégral des détenteurs d’obligations nonsubordonnées. Compte tenu du risque accru que cette obligation présente,
elle offre généralement un rendement supérieur à celui de l’obligation sénior.
o L’obligation junior subordonnée : elle dispose d’un niveau de priorité encore
plus faible que celui de l’obligation subordonnée. En cas d’insolvabilité de
l’émetteur, les détenteurs de telle obligation ne sont payés qu’après le
remboursement intégral des obligations non-subordonnées et simplement
13
Gestion obligataire
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subordonnées. Compte tenu du risque accru qu’elle présente cette obligation
offre un rendement supérieur à ceux des autres types d’obligation.
14
Gestion obligataire
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2. Le fonctionnement du marché obligataire
___________________________________________________________________________
2.1.
Le marché primaire :
Les obligations sont émises et écoulées selon l’une des procédures suivantes : l’adjudication,
la syndication ou le placement privé.
2.1.1. L’adjudication :
C’est le mode d’émission utilisé par les Etats. Les caractéristiques (montant, maturité,
coupon…) de l’émission sont fixées par l’agence d’émission (par exemple, la direction de la
dette au Ministère des finances). Le prix est fixé suite à des enchères faites par les « primary
dealers » (Spécialistes en Valeurs du Trésor : agents intermédiaires habilités par l’agence
d’émission) qui demandent un certain volume d’obligations à un prix donné. En retour, ces
« primary dealers » sont servis par ordre de prix décroissant jusqu’à l’atteinte du montant
souhaité par l’agence d’émission11.
11
En Tunisie, on distingue habituellement trois types d’obligations émis par l’Etat :
1) Les bons de Trésor assimilables (BTA)
Les BTA constituent l’un des principaux instruments de modernisation de la gestion de la dette publique introduit
par le décret n°97-2462 du 22/12/97 (modifié par le décret n°2006-1208 du 24-04-2006). L’émission des BTA
répond à un double objectif : elle vise à créer un encours plus important par ligne (échéance) pour assurer une
meilleure liquidité des titres sur le marché d’une part, et à étaler les émissions dans le temps d’autre part.
Caractéristiques : Les BTA sont des titres à moyen et long terme émis pour une durée supérieure ou égale à 2
ans par voie d’adjudication. La valeur nominale du BTA est de 1000 dinars et sert d’assiette pour calculer le
montant des intérêts sur la base d’un taux fixe et du nombre réel de jours rapportés à une année de 365 jours.
Ils sont payés annuellement à terme échu.
Le taux du coupon est déterminé avant la première adjudication par le Trésor. Les soumissions pour les BTA
s’effectuent en prix pied de coupon exprimé en pourcentage du nominal. Le prix payé est ensuite bonifié du
montant du coupon couru qui se calcule sur la base du nombre de jours réels. Ce nombre de jours est calculé
entre la date du précédent détachement de coupon et la date de règlement de la transaction.
Le remboursement s’effectue in fine au pair à la date d’échéance.
Adjudication : Une semaine avant la date de l’adjudication, qui a lieu le premier mardi de chaque mois, le Trésor
annonce via « Reuters » le montant indicatif à lever et les lignes de BTA à ouvrir. Les offres sont présentées en
prix pied de coupon exprimé en pourcentage du nominal des titres par palier de 0.05% (soit 0.500D). Le trésor
arrête le montant des soumissions à retenir sur chacune des lignes des BTA et répartit les montants retenus par
soumissionnaire en fonction de leurs offres. Pour les soumissions effectuées aux prix limites, les montants retenus
seront répartis entre les soumissionnaires proportionnellement à leurs offres.
A la fin de l’adjudication, le trésor diffuse via « Reuters » les principaux résultats (montant global émis pour
chaque ligne de BTA ouverte, prix moyen pondéré, prix limite accepté…)
Transactions : Les BTA sont considérés par la loi comme des valeurs mobilières négociables à la bourse des
valeurs mobilières de Tunis (BVMT).
Règlement /livraison : Le dépositaire central des BTA est la STICODEVAM.
2) Les bons de Trésor à zéro coupon (BTZc) :
Les BTZc ont été créés en 2006 (Décret n°2006-1208 du 24-04-2006). Leur émission s’inscrit dans le cadre de la
poursuite de la modernisation du marché des titres de l’Etat et l’élargissement de la base des investisseurs dans
ces titres.
15
Gestion obligataire
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2.1.2. La syndication :
C’est le mode d’émission adopté par les émetteurs non souverains. En général, l'émetteur
n'a pas l'organisation adéquate pour atteindre un grand nombre d’investisseurs. De plus, il
a des besoins financiers précis et doit avoir la garantie d'obtenir la totalité des fonds qu’il
cherche. Il contacte alors une banque d’affaire, "lead manager" qui le conseille sur les termes
de l’émission à effectuer (montant, devise, échéance, marché d’émission, etc.) et se charge
de toutes les formalités de cette émission (prospectus, visa de l’autorité de contrôle du
marché visé, …). Si le montant à mobiliser est important, plusieurs "lead managers" se
mobilisent. Le (ou les) "lead manager" constitue avec d’autres banques d’affaires un
"syndicat de prise ferme" qui garantit la réussite de l'émission et si le syndicat de prise ferme
veut disposer d'un plus grand réseau de distribution, il organise un "syndicat de vente"
(sellers) en associant d’autres banques. Au départ, l'émetteur fixe une commission au lead
manager qui en cède une partie aux intermédiaires successifs. Sur la base du prospectus et
de l’ensemble des informations recueillies sur l’émission, les investisseurs annoncent les
montants (ordres) qu’ils souhaitent investir et leurs conditions et ainsi le « book »
(l’ensemble des réservations ou des ordres) est constitué. Les caractéristiques finales de
l’émission (montant, maturité…) et son prix (rendement ou spread) sont fixés après
négociations entre l’émetteur et le syndicat bancaire. Lorsque le niveau du « book » est
suffisant, ce dernier est fermé et le syndicat alloue les montants à chacun des investisseurs
en fonction de ses réservations (compte tenu des conditions d’émission convenues) et de la
somme globale à mobiliser. Si le syndicat de vente n'arrive pas à écouler toutes les
obligations à émettre pour mobiliser le montant convenu avec l’émetteur, alors qu’il a pris
ferme l’engagement de "placer tout le papier", il conserve en portefeuille les titres non
placés pour les vendre plus tard sur le marché secondaire.
2.1.3. Le placement direct ou privé :
Un placement privé est une émission obligataire de taille réduite, pour laquelle l'émetteur
mandate généralement une seule banque qui aura pour mission de placer cette émission
auprès de ses clients institutionnels. L’émission de ce type est généralement de taille réduite
Caractéristiques : Les BTZc sont émis mensuellement pour un nominal de 1000 D et une durée supérieure ou
égale à 2 ans. Ils sont remboursés en une seule fois à l'échéance finale et ne délivrent pas de coupons.
Adjudication : Une semaine avant la date de l’adjudication, qui a lieu le premier mardi de chaque mois, le Trésor
annonce via Reuters le montant indicatif à lever et les lignes de BTZc à ouvrir. Les offres sont exprimées en
pourcentage du nominal des titres par palier de 0.05% (soit 0.500D). Le trésor arrête le montant des soumissions
à retenir sur chacune des lignes des BTZc et répartit les montants retenus par soumissionnaire en fonction de
leurs offres. Pour les soumissions effectuées aux prix limites, les montants retenus seront répartis entre les
soumissionnaires proportionnellement à leurs offres. A la fin de l’adjudication, le trésor diffuse via Reuters les
principaux résultats (montant global émis pour chaque ligne, prix moyen pondéré, prix limite accepté…).
Transactions : Les BTZc sont considérés comme des valeurs mobilières négociables à la BVMT.
Règlement /Livraison : Le dépositaire central des BTZc est la STICODEVAM.
Remarque : les bons de trésor à court terme qui constituent la troisième catégorie d’instruments de financement
émis par le Trésor tunisien ne sont pas négociables en bourse.
16
Gestion obligataire
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et le rendement des obligations comporte, en règle générale, une prime de liquidité
relativement importante pour le souscripteur.
2.2.
Le marché secondaire : rendement, prix et cotation d’une obligation
Les obligations sont cotées en pourcentage de leur valeur nominale. Ainsi, lorsqu’elles sont
au pair, elles valent 100% de leur nominal. Ce prix dépend de certaines variables comme le
taux de coupon du titre, son échéance, la qualité de son émetteur mais aussi de la
conjoncture financière. Ainsi, le prix d’une obligation est fonction du rendement exigé par le
marché pour le même niveau de risque et la même échéance. Ce prix peut varier pour
ajuster le taux de rendement de l’obligation (à priori égal au taux de coupon) au niveau exigé
par le marché pour le même niveau de risque et pour la même échéance. Ainsi, si le
rendement exigé actuellement par le marché pour une obligation notée (A) et d’échéance
10 ans, est de 7%, et que le taux de coupon offert par l’obligation est de 6.5% seulement, le
prix sera inférieur à 100% pour indemniser l’investisseur du manque à gagner dû à un taux
d’intérêt inférieur au taux du marché. Si le coupon de l’obligation est plus élevé que le
rendement exigé par le marché, le prix sera supérieur à 100%. Il s’ensuit donc que, toute
chose étant égale par ailleurs, plus le rendement exigé est élevé, plus le prix de l’obligation
est bas et vice versa en cas de baisse du rendement.
2.2.1. Le taux de rendement d’une obligation :
Pour une même obligation, on distingue différents types de rendements :

Le taux de rendement courant d’une obligation (current yield) : il se définit comme
étant le revenu annuel divisé par le prix de l’obligation.
Exemple n° 1 :
Soit une obligation de valeur nominale 1000 DT, de coupon annuel 100 DT, d’échéance 5 ans
et de prix d’acquisition 960 DT. Quel est le taux de rendement courant de cette obligation ?
Ce taux de rendement courant est égal à C/P0 :
100 / 960 = 10.42%

Le taux actuariel ou taux de rendement à l’échéance d’une obligation (yield to
maturity) : il se définit comme étant le taux d’actualisation qui annule la valeur
actuelle de tous les flux liés à une obligation.
Même exemple : Quel est le taux de rendement à l’échéance de cette obligation :
960 = 100 (1+r)-1 + 100 (1+r)-2 + 100 (1+r)-3 + 100 (1+r)-4 + 100 (1+r)-5
r = 11.08%
Remarques :
-
Ce taux de rendement suppose que :
17
Gestion obligataire
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-
o Le réinvestissement des coupons se fait à ce même taux12 ;
o L’investisseur conserve ladite obligation jusqu’à son échéance ;
Le taux de rendement à l’échéance n’est que le taux de rendement annuel moyen
que promet l’obligation si elle est détenue jusqu’à son échéance13.
De façon générale, sachant que r est le taux de rendement à l’échéance exigé par
le marché et i est le taux de coupon (nominal) offert, alors :
o Pour r = i, l’obligation est au pair, c’est-à-dire que son prix est égal à sa valeur
nominale.
o Pour r > i, l’obligation est à escompte, c’est-à-dire que son prix est inférieur à
sa valeur nominale.
o Pour r < i, l’obligation est à prime, c’est-à-dire que son prix est supérieur à sa
valeur nominale.
2.2.2. Le prix d’une obligation :
Evaluer une obligation 14 revient à estimer ce qu’elle devrait valoir dans les conditions du
marché, en déterminant la valeur actuelle de l’ensemble des flux qu’elle promet. Les taux
d’actualisation appliqués à ces flux correspondent aux taux de rendement sur le marché des
obligations zéro-coupon de même durée, niveau de liquidité et risque de crédit.
La valeur théorique d’une obligation, de même que son prix, changent en permanence sous
le double effet de l’évolution des taux d’intérêt sur le marché et du rapprochement de son
échéance.
Exemple n° 2 :
Soit une obligation de valeur nominale : 1000 DT, de taux de coupon i : 5% (semestriel),
d’échéance n : 10 ans (ou 20 semestres). Si le taux d’intérêt sur le marché r est égal à 6%
(courbe de taux plate), le prix de l’obligation à la date 0 est égal à P0 :
P0 = 25(1.06)-0.5 + 25(1.06)-1 + 25(1.06)-1.5 + … + 25(1.06)-20 = 925.93 DT
12
Cependant, si les flux perçus sur différentes périodes sont réinvestis au même taux de rendement, cela
suppose que la courbe des taux est plate.
13
Pour déterminer le rendement à l’échéance par approximation, il suffit de déterminer le rendement
additionnel au coupon et le répartir sur la durée. Dans notre exemple, ce rendement additionnel est égal à (1000
– 960)/ 1000 = 4%. Le rendement à l’échéance est égal par approximation à 10% + (4%/5) = 10,8%, légèrement
différent de 11,08%
14
L’ambition générale de la finance est triple : il s’agit de parvenir à donner un prix (évaluer), sélectionner et
couvrir le risque d’un produit financier. A la question ”quelle valeur a l’obligation ?”, il est possible de fournir
deux types de réponses : d’une part, il est possible de s’interroger sur le prix de marché de cette obligation. Les
obligations sont cotées en continu et il est possible à tout moment d’une journée de trading d’obtenir le prix de
marché qui correspond à une sorte de consensus autour de leurs valeurs. D’autre part, il peut être question du
mode de calcul de ce prix de marché et le trader peut avoir un avis différent du marché quant au prix de
l’obligation et décide par conséquent de prendre une position (acheter/vendre) ce titre en espérant que son
opinion se réalisera dans le futur.
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Remarques :





Les sources de rendements d’une obligation sont :
o Le revenu régulier (coupon),
o Le gain (ou perte en capital) ou l’écart entre le prix d’acquisition de
l’obligation et celui de son remboursement ou de sa revente. Ce facteur est
important pour un investisseur qui a un horizon de placement relativement
court.
o Le revenu du réinvestissement des flux : ce facteur est, à l’opposé du
précédent, important pour un investisseur qui a un horizon de placement
relativement long.
Le prix (P0) des obligations à taux fixe varie inversement au taux d’intérêt. Si le taux
du marché passe de 6% à 6,10%, les anciennes valeurs à taux fixe émises à 6% de
rendement subissent la concurrence des nouveaux titres à 6,10%. Pour rétablir
l’équilibre, leur valeur baisse de façon à ce que, sur la base de cette valeur plus basse,
leurs rendements restant à courir rapportent eux aussi, 6,10%. Si au contraire, le taux
du marché passe de 6% à 5,90%, la valeur marchande de ces obligations augmente.
Toutes choses étant égales par ailleurs, plus l’échéance est lointaine, plus le cours de
l’obligation est sensible aux variations des taux.
Toutes choses étant égales par ailleurs, plus les coupons sont élevés et / ou hâtifs,
moins le cours de l’obligation est sensible aux mêmes variations de taux.
Le prix présenté suppose que la courbe de taux est plate. Dans le cas contraire,
l’évaluation se fait en recourant à la courbe des taux zéro-coupon : Si pour une
obligation donnée, on suppose que chaque flux correspond au remboursement d’un
prêt dont on calcule la valeur actuelle en utilisant le juste prix du temps (taux
comptant). Si P0 est le prix théorique de l’obligation à la date 0 ; ri le taux de
rendement zéro-coupon à i années ; c : le coupon annuel, alors :
P0 = c (1+r1)-1 + c (1+r2)-2+ … + c (1+rn)-n + Valeur de remboursement (1+rn)-n
Cette évaluation suppose donc que le prix de l’obligation d’échéance n périodes est
la somme des prix de plusieurs obligations zéro coupon d’échéances respectives 1, 2,
… et n périodes et de valeurs nominales c pour les (n-1) premières obligations et (c+
valeur de remboursement) pour la dernière15. Rejeter cette hypothèse, c’est déroger
à un principe théorique de l’analyse des marchés qui est celui de l’arbitrage.

Etant donné que le taux de rendement d’une obligation avec CALL est plus élevé que
celui d’une obligation ordinaire de même maturité, son prix est alors inférieur.
L’investisseur doit suivre à la fois le taux de marché correspondant à l’échéance finale
15
Une difficulté pratique subsiste : il se peut que le taux de rendement correspondant à un flux ne soit pas
disponible car la courbe des taux zéro coupon ne couvre pas toutes les maturités. Une approximation de ce taux
de rendement peut être obtenue par interpolation linéaire en considérant les deux taux disponibles qui
encadrent immédiatement la maturité visée.
19
Gestion obligataire
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
normale de l’emprunt et celui correspondant à la date d’exercice du CALL. Dans le
cas où les taux montent, l’obligation avec CALL se comporte comme une obligation
ordinaire de maturité correspondant à l’échéance finale. Si les taux commencent à
baisser, la probabilité d’un remboursement anticipé commence à être valorisée, ce
qui conduit l’obligation avec CALL à se comporter comme un titre d’échéance
correspondant à celle d’exercice du CALL, la sensibilité aux variations de taux devient
alors moins importante16.
L’analyse du comportement d’une obligation rétractable (c’est-à-dire avec PUT) sur
le marché secondaire s’effectue de la même manière que pour une obligation avec
CALL. Si le taux de rendement est proche du taux de coupon, l’obligation se comporte
comme un titre d’échéance égale à celle du PUT. A l’inverse, si les taux de rendement
sont bas et si, de plus, l’échéance du PUT est proche, l’obligation rétractable a
tendance à se comporter comme une obligation ordinaire de maturité égale à la date
finale du contrat.
2.2.3. La cotation d’une obligation :
Les renseignements relatifs à la cotation diffèrent d’un marché à l’autre. Cependant, sur tous
les marchés les obligations sont cotées en pourcentage de leur valeur nominale. Ainsi, dans
le cas d'une obligation de nominal 500 DT et dont la cote est 99 %, sa valeur de marché est
de 500 DT x 99 % = 495 DT. Quant à son prix d’achat ou de vente, il est égal à sa valeur de
cotation, qui est dite « pied de coupon » ou « clean price », augmentée de la valeur de son
coupon couru (également exprimé en pourcentage de la valeur nominale).
Exemple n° 3 : une cotation publiée par le London Financial Time
Tableau n° 2 : Un extrait du London Financial Time
Red date
Canada
Dec. 19
coupon
10.000
Bid price Bid Yield
107.0650
6.24
Day
chg yld
Week
Chg yld
Month
Chg yld
Year Chg
yld
-0.01
-0.04
-0.16
-1.10
Sur cet extrait du London Financial Time figure une cotation d’une obligation canadienne.
Plusieurs informations y apparaissent :
 La date rouge (red date) signifie la date d’échéance.
 Le coupon est égal à la valeur nominale multipliée par le taux facial de l’obligation.
16
Une telle analyse peut conduire à de graves erreurs du fait qu’elle néglige la valeur de l’option. Celle-ci doit
être conduite avec prudence car elle suppose la mise en place d’hypothèses sur l’évolution des taux d’intérêts à
chaque date d’ouverture du droit au CALL. Intuitivement, les facteurs qui influencent la valeur du CALL sont
multiples : le premier est la valeur de l’obligation. Si celle-ci est élevée par rapport à la valeur de
remboursement, le risque de perte en capital qu’encourt l’investisseur est trop élevé, la valeur du CALL serait
aussi élevée. Autrement dit, si le coupon s’écarte du taux servi sur le marché, l’option de remboursement
s’apprécie. L’autre facteur, important aussi, est la durée restant à courir avant l’échéance du CALL. Un autre
effet, inverse à celui-ci, est que la valeur de l’option se trouve limitée par le fait que si sa durée est importante
et le coupon élevé, l’investisseur profitera alors du coupon élevé avant l’échéance du CALL, ce qui y aura pour
effet de tirer la valeur de l’option vers le bas.
20
Gestion obligataire
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


Le prix acheteur (offert ou bid price) signifie qu’il s’agit du prix auquel le marché est
prêt à acheter l’obligation par opposition au prix vendeur (ask price) qui est le prix
auquel le marché est prêt à vendre ladite obligation. Le prix de l’obligation Canada
(décembre 2019) de 107.0650 indique que le marché est prêt à payer ladite
obligation à 7.065% de plus que sa valeur nominale (c’est à dire avec une prime de
7.065%).
Le rendement à l’échéance offert par le marché sur cette obligation (bid yield).
Les changements subis par ce rendement lors de la dernière journée (day change
yield), semaine (week change yield), mensualité (month change yield) et année (year
change yield).
Exemple n° 4 :
Une cotation publiée par le quotidien « La Tribune » :
Les huit colonnes relatives à la ligne « Charbonnage de France » désignent :








La colonne « émetteur » : Charbonnage de France.
la colonne « Valeur » : indique les caractéristiques d’émission de l’obligation : son
taux de coupon, sa date d’émission et son échéance : 5% 03/98 04/2013.
La colonne « Code » : il s’agit du code ISIN (International Securities Indentification
Numbers qui est le système de notation unifié commun à toutes les valeurs
négociables en bourse). Il comprend dix chiffres précédés de deux lettres, en fonction
de la place de cotation. Exemple : FR0000572349.
La colonne « Nom » : révèle le nombre de titres dont il faut disposer pour pouvoir
être remboursé au nominal.
La colonne « Dernier » : désigne le cours exprimé en pourcentage du nominal. C’est
un cours hors coupon. Tout vendeur de ce titre en cours d’année, entre deux
versements de coupon, a droit à une part du coupon annuel, qui correspond à la
durée pendant laquelle l’obligation lui a appartenu : 99,4.
La colonne « C/C » : c’est la quote-part du coupon déjà couru depuis le dernier
versement : 3,552. Pour obtenir le cours de l’obligation, l’investisseur doit donc se
livrer à une petite opération et additionner les deux pourcentages puis les multiplier
par le nominal.
La colonne « Tx Act » : correspond au taux actuariel de l’obligation ou son taux de
rendement si elle conservée jusqu’à l’échéance : 5,4717.
La colonne « Amort » : indique la date de remboursement de l’obligation cotée : 2504-13.
Remarque :
La valeur cotée sur tous les marchés est le prix hors coupon, appelé encore le prix pied de
coupon ou « clean price ». Pour obtenir le prix global ou « dirty price » de la transaction
(achat ou vente), il faut ajouter le coupon couru.
21
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-
Définition du coupon couru « accrued interest » : Les intérêts des obligations
sont versés généralement une fois par an ou par semestre. Lorsque l’on vend
une obligation entre les deux dates de versement de coupon, une partie du
prochain coupon (le coupon couru) doit être remboursé au vendeur par
l’acheteur, qui encaissera ce coupon dans sa totalité s’il garde l’obligation
jusqu’à la date de détachement du prochain coupon ou au-delà. Ce coupon
couru augmente linéairement entre deux dates de paiement de coupon.
-
Calcul du coupon couru :
Coupon Couru = Nombre de jours depuis le dernier coupon × Taux facial x Valeur faciale
365
22
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
3.
Les risques obligataires : nature et mesures
___________________________________________________________________________
La détention d’obligations constitue un investissement tout aussi risqué que les autres
placements boursiers. Leurs risques peuvent être spécifiques aux titres sélectionnés ou
systématiques (c’est-à-dire, relatifs à l’ensemble du marché obligataire).
3.1.
Les différentes natures de risques :
3.1.1. Risques spécifiques des placements obligataires :
a) Le risque de défaut :
Il est également appelé risque de spread, de crédit ou de l’émetteur. Le spread est égal à
l’écart entre le taux d’intérêt payé par cet émetteur et celui applicable à l’emprunteur de
référence (celui-ci bénéficiant de la meilleure note attribuée par les agences de notation
pour refléter une quasi-certitude qu’il honorera ses engagements à chaque échéance).
En réalité, le spread (ou marge) sur-rémunère l'investisseur par rapport au taux sans risque
en fonction de la solidité financière de l'émetteur et de sa capacité anticipée par le marché
à honorer ses obligations contractuelles dans le temps. Ainsi, il évolue généralement en
étroite corrélation avec le rating attribué à l'émetteur. Mais sa variation peut s'expliquer
également par une variation générale des spreads sur le marché (dégradation générale du
climat économique sans aucun lien avec la situation spécifique de solvabilité de l’émetteur).
Le prix d’une obligation est sensible à la variation de son spread. Plus ce dernier est élevé,
plus le rendement exigé du placement dans cette obligation est élevé. Ainsi, une dégradation
de la notation de l’émetteur provoque un élargissement du spread, une hausse du taux
actuariel et donc une baisse du cours de l’obligation. Par contre, une amélioration du rating
de l’émetteur engendre un rétrécissement du spread et du taux actuariel correspondant
ainsi qu’une hausse du prix de l’obligation.
Remarques :
Il y a lieu de noter que :



A mesure que le spread d’une obligation s’élargit, la sensibilité de son prix aux
variations des taux d’intérêt augmente.
Les titres les plus mal notés et donc dotés des spreads les plus larges, sont les plus
sensibles aux variations des taux d’intérêt sur le marché.
Dans le cadre d’une gestion benchmarkée (cherchant à garder une sensibilité globale
constante par rapport au benchmark), chaque dégradation ou amélioration du rating
de l’un des titres constituant le portefeuille est suivie d’opérations d’achats ou de
ventes de titres afin d’ajuster la sensibilité globale du portefeuille (en l’augmentant
ou la diminuant) à celle du benchmark.
23
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Exemple n° 5 :
Le titre du groupe Uniprix noté A et d’échéance dans trois ans paie un spread de 60 points
de base par rapport aux obligations du Trésor français qui sont de même maturité mais
notées AAA. Le prix de l’obligation est alors égal à 22.16 euros sur la base d’un taux actuariel
de 3.19% + 0.60% = 3.79%.
Supposons que le même jour, S&P baisse d’un cran la notation d’Uniprix à A-, provoquant un
élargissement du spread de cette obligation de 20 points de base et une augmentation de
son taux actuariel à 3.99%. Le prix de l’obligation baisse alors à 22.04 euros.
b) Les autres risques spécifiques :
Ce sont essentiellement les risques de rachat et de liquidité.
-
Le risque de rachat (cas d’obligation avec CALL) : Certaines obligations comportent
des clauses de rachat qui permettent à l’émetteur de retirer (rembourser) ses titres
avant l’échéance. L’émetteur exercera ce droit lorsque les taux baissent
suffisamment pour que le refinancement s’effectue dans des conditions plus
favorables. Pour l’investisseur qui a acheté des obligations avec une clause de rachat,
les flux monétaires futurs ne sont pas connus avec certitude. Il y a également le risque
de réinvestissement à un taux plus bas lorsque la dette est rachetée. La combinaison
de l’incertitude entourant les flux monétaires et le taux de réinvestissement
constitue le risque de rachat qui est un risque spécifique aux obligations comportant
des clauses de rachat.
-
Le risque de liquidité : il constitue également un risque spécifique lié aux placements
obligataires. C’est le risque de ne pas pouvoir trouver preneur aux obligations
lorsqu’on désire les revendre ou les revendre sans consentir une baisse substantielle
de prix. Il s’agit d’un risque majeur pour les obligations dont l’émetteur est peu connu
ou émises en quantité limitée.
Comme pour les actions, la combinaison de plusieurs obligations permet d’éliminer ces
risques spécifiques. Ces risques sont donc diversifiables.
3.1.2. Risque systématique (ou de marché obligataire) :
Il s’agit du risque lié à une variation des taux d’intérêt sur le marché et de son impact sur le
prix des obligations. Toutes choses étant égales par ailleurs, une variation des taux d’intérêt
sur le marché entraine un changement du prix des obligations cotées. Toutefois, le degré de
sensibilité du prix d’une obligation à une variation des taux d’intérêt dépend des trois
facteurs suivants : le taux de coupon, l’échéance et le taux d’intérêt sur le marché pour le
même niveau de risque et la même maturité que l’obligation.
Exemple n° 6 :
Considérons les 6 obligations suivantes :
24
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
-
Obligation à 9%, échéance 5 ans, in fine ;
Obligation à 9%, échéance 25 ans, in fine ;
Obligation à 6%, échéance 5 ans, in fine ;
Obligation à 6%, échéance 25 ans, in fine ;
Obligation à 0%, échéance 5 ans, in fine ;
Obligation à 0%, échéance 25 ans, in fine.
Le tableau n°3, ci-dessous, montre les variations du prix de ces obligations en fonction du
niveau du taux.
Tableau n° 3 : Evolution du prix en fonction du taux d’intérêt
Taux
d’intérêt sur
le marché
Coupon 9%
Echéance
5 ans
Coupon 9%
Echéance
25 ans
Coupon 6%
Echéance
5 ans
Coupon 6%
Echéance
25 ans
Coupon 0%
Echéance
5 ans
Coupon 0%
Echéance
25 ans
6%
112.64
138.35
100.00
100.00
74.73
23.30
7%
108.20
123.31
95.90
88.35
71.30
18.42
8%
103.99
110.67
92.01
78.65
68.06
14.60
8.5%
101.97
105.12
90.15
74.41
66.50
13.01
8.9%
100.39
100.99
88.69
71.28
65.29
11.87
8.99%
100.04
100.10
88.37
70.61
65.02
11.62
9%
100.00
100.00
88.33
70.35
64.89
11.60
9.01%
99.96
99.90
88.30
70.46
64.96
11.57
9.1%
99.61
99.03
87.97
69.80
64.70
11.33
9.5%
98.08
95.28
86.56
66.97
63.52
10.34
10%
96.21
90.92
84.84
63.69
62.09
9.23
11%
92.61
83.16
81.52
57.89
59.35
7.36
12%
89.19
76.47
78.37
52.94
56.74
5.88
11.5%
90.88
79.69
79.93
55.32
58.03
6.58
12%
89.19
76.47
78.37
52.94
56.74
5.88
D’abord, il y a lieu de noter que :



Pour des considérations de risque, des obligations ayant le même taux de coupon et
la même échéance peuvent ne pas offrir le même taux de rendement à l’échéance,
d’où l’intérêt du calcul du prix de chacune des obligations pour différents taux
d’intérêt sur le marché.
Lorsque le taux du coupon est égal au taux d’intérêt sur le marché (le taux de
rendement exigé à l’échéance de cette obligation), l’obligation est cotée au pair.
Autrement, si le taux du coupon est inférieur (supérieur) au taux de rendement exigé
par le marché pour ce niveau de risque et cette échéance, l’obligation est cotée à
escompte (à prime).
Pour un même taux de rendement exigé à l’échéance supérieur (inférieur) au
coupon, la prime (escompte) est d’autant plus élevée que l’échéance est lointaine.
25
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________

Pour la même échéance, la prime (escompte) par rapport à la valeur nominale est
d’autant plus élevée que le coupon est élevé (faible) par rapport au taux d’intérêt sur
le marché (ou taux de rendement exigé).
Ensuite, l’examen des variations des prix de ces obligations en fonction de l’évolution du taux
d’intérêt nous amène à tirer les enseignements suivants :



Pour une échéance et un taux de rendement à l’échéance donnés, plus le coupon est
petit, plus grande est la volatilité du prix de l’obligation et vice-versa.
Pour un taux de coupon et un taux de rendement à l’échéance donnés, plus
l’échéance est éloignée, plus grande est la volatilité du prix de l’obligation et viceversa.
Pour un changement donné des taux d’intérêt, la sensibilité du prix de l’obligation
est plus élevée lorsque le niveau des taux d’intérêt sur le marché est bas et viceversa.
La variation de prix des six obligations induite par différentes variations du taux d’intérêt, en
supposant une valeur initiale établie avec un taux de rendement de 9%, est présentée dans
le tableau n° 4 :
Tableau n° 4 : Variation instantanée du prix suite à une variation des taux
Variation
en bps du
TRE
Coupon
9%
Echéance
5 ans
Coupon
9%
Echéance
25 ans
Coupon
6%
Echéance
5 ans
Coupon
6%
Echéance
25 ans
Coupon
0%
Echéance
5 ans
Coupon
0%
Echéance
25 ans
-300
+12.64%
+38.35%
+13.21%
+41.78%
+14.97%
+100.92%
-200
+8.20%
+23.31%
+8.57%
+25.26%
+9.70%
+58.88%
-100
+3.99%
+10.67%
+4.17%
+11.51%
+4.72%
+25.91%
-50
+1.87%
+5.12%
+2.06%
+5.50%
+2.33%
+12.18%
-10
+0.39%
+0.99%
+0.41%
+1.06%
+0.46%
+2.32%
-1
+0.04%
+0.10%
+0.04%
+0.11%
+0.05%
+0.23%
1
-0.04%
-0.10%
-0.04%
-0.11%
-0.05%
-0.23%
10
-0.39%
-0.97%
-0.41%
-1.05%
-0.46%
-2.27%
50
-1.92%
-4.72%
-2.00%
-5.05%
-2.26%
-10.81%
100
-3.79%
-9.08%
-3.96%
-9.70%
-4.46%
-20.41%
200
-7.39%
-16.84%
-7.71%
-17.92
-8.69%
-36.53%
300
-10.81%
-23.35%
-11.28%
-24.94%
-12.69%
-49.28%
L’examen de ces variations nous amène à tirer les conclusions suivantes :

Pour un changement donné des taux d’intérêt, la variation du prix des obligations en
pourcentage n’est pas la même pour toutes les obligations.
La volatilité est différente d’une obligation à l’autre. D’où le besoin de mesures
appropriées de la sensibilité.
26
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________

Pour des petits changements des taux d’intérêts, qu’il s’agisse d’une baisse ou d’une
hausse, la variation du prix en pourcentage est sensiblement la même.
 La volatilité est symétrique lorsque les variations des taux d’intérêt sont faibles.

Pour des changements importants du taux d’intérêt, la variation des prix n’est pas la
même pour une hausse ou une baisse des taux. Autrement dit, la volatilité des cours
n’est pas symétrique lorsque la variation des taux est grande.
 La courbure de la relation entre le prix et le taux de rendement à l’échéance
explique cette asymétrie.
 Le concept de convexité capte cette courbure de la relation prix / taux de
rendement à l’échéance.

Parce que la relation entre le prix et le taux d’intérêt est convexe17, la variation du
prix d’une obligation suite à des fluctuations des taux d’intérêt est plus importante
lorsque le niveau général des taux est bas que lorsqu’il est élevé.
3.2. Les différentes mesures du risque systématique :
Le risque systématique, aussi appelé risque de marché, est caractéristique d’un marché dans
son ensemble. C’est l’impact de la variation des taux d’intérêt sur le prix des obligations.
Plusieurs meures de ce risque sont utilisées.
3.2.1. La valeur d’un point de base :
La valeur d’un point de base est égale à la variation du prix d’une obligation correspondant
à une variation d’un point de base (1 point de base (bp) = 0.01%) du taux de rendement à
l’échéance. Ainsi, l’effet d’une variation d’un point de base sur le prix des obligations de
l’exemple précédent est reproduit dans le tableau n° 5.
Tableau n° 5 : Variations de prix liées à une variation de taux d’un point de base
Titre
Prix initial
(à 9%)
Nouveau prix à
9.01%
Valeur d’un point de base
(Basis Point Value)
Valeur d’un point
en pourcentage18
9% / 5 ans
100.0000
99.9611
0.0389
0,0389
9% / 25 ans
100.0000
99.9019
0,0981
0,0981
6% / 5 ans
88.3310
88.2952
0,0359
0,0406
6% / 25 ans
70.5323
70.4580
0,0743
0,1053
0% / 5 ans
64.9931
64.9633
0,0298
0,0459
0% / 25 ans
11.5968
11.5702a
0,0266
0,2294
D’après les calculs du tableau ci-dessus, il apparait que plus l’échéance est lointaine et le
coupon est faible par rapport au taux d’intérêt sur le marché, plus l’effet d’une variation
aussi petite soit-elle du taux du marché sur le prix de l’obligation est grand.
17
Cette notion de convexité est présentée plus loin dans cette même section.
18
La valeur d’un point de base en pourcentage est égale à sa valeur en absolue divisée par le prix initial
27
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
3.2.2. La duration :
Elle est dite « duration de Macaulay19 » et définie comme étant la durée de vie effective de
l’obligation ou la durée moyenne pondérée pour récupérer entièrement le capital investi, la
pondération de chaque année étant mesurée par l’importance du flux (capital et coupon)
par rapport au prix actuel de l’obligation. Elle correspond, également, à la période au bout
de laquelle le rendement de l’obligation n’est plus affecté par les variations de taux d’intérêt.
T
D = Σ [t F(t)] / (1+r)t ] / P0
t=1
avec,
D : la duration,
P0 : le prix de l’obligation
t : l’intervalle de temps exprimé en années, séparant la date d’investissement (d’actualisation)
de la date du flux,
F(t) : le flux (coupon et capital) de la période t,
r : le taux actuariel de l’obligation.
Exemple n° 7 :
Pour une obligation d’échéance 10 ans, de coupon 10% et de taux actuariel 8%, la démarche
à suivre pour calculer la duration est décrite dans le tableau n° 6.
Tableau n°6 : Flux, flux actualisés et flux actualisés pondérés
Date de
paiement
Flux
Flux actualisé
au taux de 8%
Flux actualisé pondéré par
l’échéance
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
110
9.26
8.57
7.94
7.35
6.81
6.30
5.83
5.40
5.00
50.95
9.26
17.15
23.81
29.40
34.03
37.81
40.84
43.22
45.02
509.51
113.41
790.05
Total
La duration est égale à : 790.06 = 6.97 ans.
113.41
Quelques remarques concernant cette mesure du risque systématique s’imposent :
 La duration est fonction de trois paramètres :
19
Macaulay, F. (1938), The Movements of Interest Rates. Bond Yields and Stock Prices in the United States since
1856, New York: National Bureau of Economic Research.
28
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________





o Le taux actuariel : la duration est une fonction décroissante du taux actuariel.
Toutes choses étant égales par ailleurs, la duration est plus longue (courte)
lorsque le taux de rendement à l’échéance est plus faible (élevé).
o Le coupon : la duration est une fonction décroissante du niveau du coupon.
En effet, les titres à coupons élevés sont moins sensibles à l’évolution des taux
d’intérêt que les obligations à faible coupon.
o L’échéance : la duration est une fonction croissante de l’échéance et le prix
d’une obligation est d’autant plus sensible aux changements de taux que
l’échéance est lointaine20.
La duration est égale à la moyenne pondérée des périodes de versement de chaque
flux monétaire. Chaque période (t=1, 2, 3,…n) est pondérée par l’importance relative
(t) du flux monétaire correspondant actualisé par rapport au prix de l’obligation.
Si les paiements sont semestriels, la duration est exprimée en semestres. Pour
obtenir la duration en années, il suffit de diviser la duration en semestres par 2 (c’està-dire, le nombre de semestres dans l’année).
La duration d’une obligation zéro-coupon est égale à sa maturité.
La duration d’une obligation avec coupon est toujours inférieure à sa maturité.
La duration utilise le même taux pour actualiser tous les flux monétaires. Elle suppose
donc une structure plate des taux d’intérêt21.
3.2.3 .La sensibilité :
La sensibilité d’une obligation (appelée en anglais modified duration) est un indicateur du
risque de taux lié à une obligation à taux fixe. C’est l’élasticité du prix de l’obligation par
rapport à son taux actuariel (le taux observé sur le marché obligataire pour une obligation
de même risque et de même échéance). Elle permet d’estimer la variation en % du prix de
l’obligation occasionnée par une variation du taux de rendement à l’échéance. Une
obligation ayant une sensibilité de 2 verra sa valeur baisser d’environ 2% si le taux d’intérêt
augmente de 1% et augmenter d’autant dans le cas contraire.
La sensibilité peut être approximée par le rapport entre la dérivée première du prix initial de
l’obligation par rapport au taux d’intérêt et ce prix initial.
S(k) = P’(k) / P(k)
Avec,
S(k) : la sensibilité de l’obligation ;
k : le taux actuariel de l’obligation ;
20
Comme nous le verrons dans le cadre des stratégies actives de gestion obligataire, le gestionnaire doit être
attentif à une augmentation (diminution) des taux sur le marché s’il est positionné sur des titres longs (court).
21
La formule proposée pour le calcul de la duration suppose que la courbe des taux est plate. Sinon, chacun des
flux de l’obligation doit être actualisé au taux zéro coupon qui lui correspond. Ainsi, ces flux seront actualisés
sur la base de taux d’actualisation différents. D’où l’idée de synthétiser l’ensemble de ces taux en un taux unique
qui est le taux de rendement à l’échéance qui n’est correcte que dans le cas d’une courbe des taux dite plate.
29
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
P(k) : le prix de l’obligation en fonction de son taux actuariel ;
P’(k) : la dérivée de ce prix par rapport au taux actuariel : ∂P(k) / ∂k
En appliquant la relation ci-dessus aux six obligations étudiées précédemment, on obtient
les résultats indiqués dans le tableau n° 7.
Tableau n° 7 : Relation entre sensibilité et duration
Taux de coupon / Maturité
9%
5 ans
9%
25 ans
6%
5 ans
6%
25 ans
0%
5 ans
0%
25 ans
Duration
4.24
10.71
4.43
11.49
5.00
25.00
Sensibilité
-3.89
-9.82
-4.06
-10.54
-4.59
-22.94
Duration / Sensibilité
-1,09
-1,09
-1,09
-1,09
-1,09
-1,09
Dérivation de la sensibilité :
Considérons un titre générant une séquence de flux fixes F1, …, Fn.
La valeur du titre est déterminée comme suit :
V(r) = F1 (1 + r)-1 + F2 (1 + r)-2 + F3 (1 + r)-3 + …+ Fn-1 (1 + r)-n+1 + Fn (1 + r)-n
Dans ce contexte d’évaluation, r s’interprète comme le « taux d’intérêt » en vigueur sur le
marché à l’instant courant qui est égal, à l’équilibre, au taux actuariel du titre.
Une variation infinitésimale dr du taux d’intérêt sur le marché se traduit par une variation
dV de la valeur du titre obtenue par dérivation de l’équation ci-dessus :
dV / dr = -F1 (1 + r)-2 - 2 F2 (1 + r)-3 - 3 F3 (1 + r)-4 - … - (n-1) Fn-1 (1 + r)-n - n Fn (1 + r) (n+1)
= -(1 + r)-1 [F1 (1 + r)-1 + 2 F2 (1 + r)-2 + …+ (n-1) Fn-1 (1 + r)-n+1 + n Fn (1 + r)-n]
= -(1 + r)-1 * V * Duration
dV / dr représente alors la « variation » du titre.
S = - dV / Vdr = - (1+r) -1 Duration
La variation ΔV / V induite par une variation Δr non infinitésimale du taux est alors appréciée
à l’aide de la relation approximative :
ΔV / V = -S Δr
Le calcul de la sensibilité, qui s’exprime en pourcentage, met en évidence que :



Plus l’échéance d’une obligation à taux fixe est longue, plus sa sensibilité au
changement des taux d’intérêt est forte.
Plus le taux de coupon d’une obligation à taux fixe est élevé, plus le risque de taux
P’(r) qu’elle présente est faible.
La sensibilité (exprimée en monnaie) = Sensibilité x Prix initial. C’est la variation
approximative du prix de l’obligation suite à une variation donnée du taux de
rendement à l’échéance.
30
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________




Si les taux d’intérêt sur le marché augmentent, le prix de l’obligation baisse en
conséquence (impact de la sensibilité). Toutefois, cette baisse est atténuée par une
baisse de la sensibilité de l’obligation à mesure que le taux d’intérêt augmente.
Si les taux d’intérêt sur le marché baissent, le prix de l’obligation augmente en
conséquence. Cette augmentation est accentuée par une hausse de la sensibilité de
l’obligation suite à une baisse des taux.
=> Il existe donc une variation de la sensibilité à chaque changement de taux. La
convexité mesure le taux de variation de la sensibilité lorsque les taux fluctuent.
La qualité de S en tant que mesure de sensibilité dépend de l’ampleur de la variation
des taux d’intérêt :
o Pour des petites variations des taux d’intérêt, S donne une bonne estimation
de la variation du prix des obligations.
o La qualité de cette estimation se dégrade au fur et mesure que la variation du
taux d’intérêt augmente. En effet, pour des grandes fluctuations du taux de
rendement à l’échéance, la sensibilité sous-estimera le nouveau prix, du fait
de la forme convexe de la relation entre le prix et le rendement à l’échéance.
S n’est pas une mesure appropriée de la volatilité des obligations comportant des
clauses optionnelles (clauses de rachat, de convertibilité, etc.).
3.2.4. La convexité :
La convexité constitue une autre mesure du risque de taux d’une obligation. Alors que la
sensibilité donne une bonne mesure de la variation du prix occasionnée par des très petits
changements du rendement à l’échéance, elle ne fournit qu’une estimation moins précise
de cette variation de prix pour des changements plus importants. Cette perte de précision
est expliquée par la forme convexe de la relation entre le prix de l’obligation et le taux de
rendement à l’échéance (ou le taux d’intérêt sur le marché).
La convexité est une mesure de la courbure de la relation entre le prix de l’obligation et le
taux de rendement à l’échéance. C’est une mesure de la non-linéarité de la courbe
prix/rendement. Mathématiquement, elle correspond à la dérivée seconde du prix par
rapport au taux (d2V/dr2) divisée par le prix. Ainsi, l’utilisation conjointe de la sensibilité et
de la convexité permet d’obtenir une meilleure approximation de la variation du prix
provoquée par un changement du taux d’intérêt sur le marché.
C = V‘’(r) / V(r)
avec,
C : la convexité ;
V’’(r) : la dérivée seconde par rapport à k ;
V(r) : la valeur actualisée de l’obligation ;
r : le taux actuariel.
Il y a lieu de noter que :
 L’unité de mesure de la convexité est le carré du nombre de périodes.
31
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________

La convexité en termes d’années est obtenue en divisant la convexité périodique par
m2, où m est le nombre de périodes par année (c’est-à-dire, la fréquence de
versement des coupons) :
Convexité (années2) = convexités (périodes2) / m2
Ainsi, si le coupon est trimestriel, la convexité calculée est le carré d’un nombre de
trimestres. Divisée par 16, elle devient le carré d’un nombre d’années.

Pour une obligation zéro coupon, la convexité est égale à n (n+1) / (1+r)2
Avec,
n : l’échéance de cette obligation,
r : le taux d’intérêt sur le marché.
En effet :
V(r) = Fn (1 + r)-n
V’’(r) = (-n) (-n-1) Fn (1 + r)-n-2
D’où : V’’(r) / V(r) = n (n+1) / (1 + r)-n

Toutes choses étant égales par ailleurs, plus l’échéance est éloignée, plus la convexité
est grande et vice-versa.
 Toutes choses étant égales par ailleurs, plus le coupon est élevé, plus la convexité est
faible et vice-versa.
 Si le taux de rendement à l’échéance augmente (diminue), la convexité d’une
obligation à taux fixe diminue (augmente). Cette propriété, communément appelée
« convexité positive », implique que la sensibilité d’une obligation va dans la bonne
direction lorsque les taux changent. En effet, si les taux d’intérêt augmentent, le prix
de l’obligation diminue (impact de la duration). La diminution du prix est ralentie par
une réduction de la sensibilité lorsque les taux augmentent (effet parachute). Au
contraire, si les taux diminuent, la sensibilité augmente de sorte que la variation
relative du prix s’accélère. En d’autres termes, une plus forte convexité réduit la perte
du prix de l’obligation en cas de hausse des taux d’intérêt et induit une plus forte
augmentation de prix en cas de baisse de ces taux. C’est la raison pour laquelle un
gestionnaire préfère toujours un portefeuille présentant une convexité plus élevée.
 La sensibilité peut être estimée à partir de la duration et de la convexité : La
sensibilité définie précédemment ne donne des résultats acceptables que pour de
faibles variations de taux, puisqu’on apprécie :
[V(r + Δr) - V(r)}/V = ΔV/V
Par :
ΔV/V = - S Δr/V = 1/V * dV /dr * Δr
Afin d’obtenir une précision accrue, il est possible de calculer ∆V à l’aide d’un
développement d’ordre deux, approximé par :
V(r + Δr) - V(r) = dV/dr * Δr + ½ * dV2/dr2 * Δr2
On a alors : dV/V = -S * Δr + ½ C * Δr2 en considérant C = dV2/dr
32
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Où, S est la sensibilité et C est la convexité.
Donc :
Nouveau prix = ancien prix (P) + [P x (-S) x Δr] + ½P x C x [Δr]²
Le nouveau prix est donc égal à l’ancien augmenté de deux variations (la première
est liée à la sensibilité et la seconde à la convexité).
3.3. Duration, sensibilité et rendement d’un portefeuille obligataire :
a) La duration d’un portefeuille obligataire : elle est égale à la somme pondérée des
durations des obligations qui le composent. C’est également la moyenne des
durations pondérées par les prix et les quantités des obligations qui le
constituent. Pour un portefeuille P composé de N obligations, la duration est
égale à :
Dp = Ʃ wi Di
Avec :
wi : le poids du titre i dans le portefeuille,
Dp : la sensibilité du portefeuille,
Di : la duration du titre i
b) La sensibilité d’un portefeuille : est égale à la moyenne pondérée des sensibilités
des titres qui le composent.
𝑆𝑝 = ∑ 𝑤𝑖 𝑆𝑖
𝑖
Avec
wi : le poids du titre i dans le portefeuille,
Sp : la sensibilité du portefeuille,
Si : la sensibilité du titre i.
Exemple n° 8 :
Considérons un portefeuille constitué de 4 obligations A, B, C et D, ayant des sensibilités
respectives de l’ordre de 4, 7, 6 et 2. Déterminez la sensibilité du portefeuille constitué à
raison de 10% de A, de 40% de B, de 30% de C et de 20% de D.
Tableau n°8 : Sensibilité d’un portefeuille
33
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
La sensibilité de ce portefeuille est donc égale à -5,4. Par conséquent, si le taux d’intérêt sur
le marché augmente (diminue) de 100 bps, la valeur du portefeuille baisse (augmente)
approximativement de 5,4%.
Il est à noter que les gestionnaires analysent la composition de leur portefeuille obligataire
en termes de contribution de chaque titre à la sensibilité de ce portefeuille. Le choix final se
fait en fonction du désir d’augmenter la sensibilité globale (anticipation de baisse de taux)
ou de la baisser (anticipation de hausse de taux).
c) Le rendement à l’échéance d’un portefeuille obligataire :
Pour déterminer le rendement à l’échéance d’un portefeuille obligataire, il faut projeter tous
ses flux monétaires et procéder à leur actualisation. Le rendement à l’échéance du
portefeuille est le taux d’actualisation tel que la valeur actuelle des flux monétaires est égale
à la valeur marchande du portefeuille.
Exemple n° 9 :
Considérons un portefeuille P composé des deux obligations A pour 40% et B pour 60%.
Tableau n° 9 : Caractéristiques des deux obligations
Obligation A
Obligation B
Coupon semestriel
8,5%
12%
Rendement à l’échéance
8,5%
12%
Echéance
5 ans
8 ans
Prix
1000
1000
Duration
4,176
5,356
Sensibilité
4,005
5,053
Tableau n° 10 : Flux monétaires des obligations et du portefeuille à la fin de chaque semestre
Du premier semestre au
Obligation A
Obligation B
Portefeuille
42,5
60
53
1042,5
60
453
60
36
1060
636
9ème
au 10ème semestre
du
11ème
au
15ème
semestre
Au 16ème semestre
La duration du portefeuille P est égale à 0.4 * 4.176 + 0.6 * 5.356 = 4.884
En outre, sur la base des flux monétaires du portefeuille et sachant que sa valeur marchande
est de 1000, son taux de rendement à l’échéance est de 10.87%22.
22
Il est égal à 10,79% en l’approximant par l’utilisation des sensibilités des titres qui constituent le portefeuille:
(0.4 * 8.5% * 4.005 + 0.6 * 12% * 5.053) / (0.4 * 4.005 + 0.6* 5.053) = 10.79%.
34
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
4. La structure par terme des taux d’intérêt
4.1. Généralités :
La théorie de la structure par terme des taux d’intérêt cherche à expliquer pourquoi des
obligations ayant des maturités différentes ont des rendements à échéance différents. En
effet, lorsqu’on analyse le prix sur le marché d’un titre à revenus fixes on observe que le
marché utilise, de façon implicite, un taux de rendement qui n’est pas constant, mais
différent selon l’échéance des flux promis par ce titre.
4.1.1. Les taux de rendement au comptant (spot) :
On définit le taux spot comme étant le rendement annuel moyen pouvant être obtenu sur
un investissement réalisé immédiatement et pour une durée déterminée.
Pour une obligation zéro coupon, le taux spot se calcule comme suit :
P0 = CF / (1 + r0,t)t
(1 + r0,t)t = Prix / CF
et
r0,t = (Prix / CF)1/t - 1
avec,
r0,t : le taux spot pour une échéance t ;
P0 : le prix de l’obligation à la date 0 ;
CFt : le cash-flow de l’obligation à l’échéance t.
Exemple n° 10 :
Imaginons les obligations à escompte suivantes :
Tableau n° 11 : Tableau des caractéristiques des obligations
Obligation
Prix
CF1
A
900
1000
B
820
CF2
1000
Quel est le taux spot qui caractérise chacune de ces deux obligations ?
- Obligation A :
900 = 1000 / (1 + r0,1)1
r0,1 = 11.11%, est le taux au comptant qui prévaut présentement sur le marché pour une
échéance d’une année.
- Obligation B :
820 = 1000 / (1 + r0,2)2
r0,2 = 10.43%, est le taux au comptant qui prévaut sur le marché à la date 0 pour une échéance
de 2 ans.
35
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Remarques :




Le taux au comptant est, en quelques sortes, un taux de rendement à l’échéance.
L’évaluation d’une obligation se fait en actualisant ses cash-flows à l’aide des taux
spot appropriés, c’est-à-dire, correspondant aux mêmes échéances.
Deux obligations d’échéances différentes doivent avoir des rendements différents,
car même si le risque de crédit est le même, les autres risques (risque de taux
d’intérêt, de force majeure, etc.) sont plus élevés pour des obligations à plus long
terme. L’écart est généralement exprimé en nombre de points de base.
L’écart de taux de rendement d’obligations de même échéance mais émis par des
émetteurs différents s’explique par la différence de notations qui leur sont
attribuées. Toutes choses étant égales par ailleurs, plus la notation d’une obligation
s’améliore plus l’écart de son rendement par rapport au taux de référence (le
rendement des bons du Trésor américain dans l’exemple ci-dessus) se rétrécit.
Taux
Différentiels de rendement Obligations Gvt tunisien (rating S&P : BBB+)
-
Obligations Gvt tchèque (rating S&P : A+)
9%
r
Bons de Tréor américain (rating S&P : AAA)
5%
5
10
15
Graphique n° 1 : Exemple de courbes de taux pour différentes obligations d’Etat

Le calcul des taux au comptant se base sur des obligations zéro-coupon car, en
pratique pour des raisons essentiellement fiscales, les autres obligations souffrent
d’un effet coupon. En effet, si la taxation des coupons est différente de celle du gain
en capital, comme c’est le cas dans plusieurs pays, deux obligations de même
échéance mais de taux de coupon différents n’auront pas forcément le même taux
de rendement. L’obligation dont le coupon est le plus élevé, sera la plus cotée auprès
des investisseurs, son prix augmentera et son rendement diminuera.
4.1.2. Les taux forward (ou implicite) :
Toute courbe de taux d’intérêt spot contient en elle-même des prévisions de taux pour
l’avenir. De façon générale, à partir du moment qu’on dispose du taux de rendement d’un
instrument pour p années et de celui d’un instrument fongible pour n années, avec n > p, on
36
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
dispose également du taux de rendement implicite pour la durée k = n – p années. Ce taux
est appelé taux k années forward dans p années et noté řp,n,
(1 + r0,n)n = (1 + r0,p) p (1 + řp,n) n-p
En d’autres termes, le taux comptant (r0,n) est la moyenne géométrique du taux comptant
actuel pour la période p (r0,p) et du taux futur anticipé par le marché pour la période n-p,
(řp,n).
Si l’on se fie à cette règle, le taux (řp,n) doit être égal au taux à terme (rp,n) que l’on peut
extraire de la structure actuelle des taux d’intérêt par rapport aux échéances.
De fait, le taux à terme peut être calculé comme le ratio des taux comptant élevés à la
puissance appropriée.
(rp,n) = [(1 + r0,n)n / (1 + r0,p) p ] 1/ k - 1 avec k = n-p.
Appliqué à l’exemple n° 10 précédent, le taux de rendement anticipé dans une année pour
une échéance se situant une année après est r1,2.
r1,2 = [(1.1043)2 / (1.1111)1] – 1 = 9.75%
Remarques :


A mesure qu’on avance dans le temps, on obtient une série différente de taux
forward, Ainsi, on peut tracer de nombreuses courbes de taux forward selon les
différentes valeurs de p : un mois, trois mois, un an, …, 10 ans, etc.23
Plus on avance dans le temps plus des variations faibles de la courbe des taux ont des
conséquences importantes sur les taux forward. Ainsi, si le taux zéro-coupon d’un
instrument à 10 ans est 5% et celui du même type d’obligation à 11 ans est 5.5%,
alors le taux implicite dans 10 ans pour une année est :
(r10,11) = [(1 + r0,11)11 / (1 + r0,10) 10 ] - 1 = 10.6%
Ainsi, une variation faible des taux spot (50 points de base) a un effet de plus de 500
points de base dans 10 ans. En d’autres termes, un simple écart de 0,5% entre le taux
spot à 10 ans et celui à 11 ans, signifie que le marché anticipe une forte augmentation
des taux à court terme puisque le taux au comptant à 1 an sera de 10,6%.
 La comparaison des courbes de taux à deux dates différentes permet de renseigner
sur la façon comment les taux vont évoluer. Ainsi, la situation et l’évolution des
courbes de taux sont considérées comme un signal de ce que sont les anticipations
du marché concernant l’inflation. Une courbe fortement croissante annonce une
inflation élevée.
23
On peut calculer le taux forward instantané qui est un taux forward déterminé, démarrant en p et
finissant un instant (infiniment petit) plus tard. Pour des raisons pratiques, ce taux est très souvent
utilisé en modélisation. Il s’agit de déterminer le taux court forward à p et finissant un instant plus
tard. f(t,x) = lim F(t,p,y-p) quand (y-p) tend vers 0.
37
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
4.1.3. La courbe des taux :
La courbe des taux d’intérêt désigne la représentation graphique, en fonction de la durée
d’échéance, des taux d’intérêt constatés, à un moment donné sur un marché financier, d’une
même classe d’instruments fongibles ou fortement comparables entre eux (même nature et
même niveau de solvabilité).
De façon générale, les courbes de taux sont concaves et croissantes, au moins jusqu’à moyen
terme (0 à 10 ans). Plus précisément, le taux à 3 mois est souvent plus bas (et dans des cas
exceptionnels, plus haut) que celui d’une obligation de même type à 10 ans. Cette structure
vient d’une préférence naturelle des investisseurs pour la liquidité et donc pour les titres à
plus court terme. En contrepartie d’une immobilisation plus longue de leur placement et
d’une volatilité accrue de sa valeur, ils exigeraient une rémunération plus élevée.
Une courbe de taux inversée, c’est à dire descendante sur sa partie 0 à 10 ans, est très rare.
Elle est le reflet d'une politique monétaire particulièrement restrictive.
Enfin, connaître cette courbe est très important en pratique car cela permet aux acteurs du
marché :
 de s’en servir en tant que repère pour la tarification des obligations des autres
catégories d’émetteurs. Ainsi, les rendements des obligations émises par les
entreprises présentent des écarts par rapport à ceux des obligations d’Etat.
 d’évaluer et de couvrir à la date de reconstitution les produits de taux délivrant des
flux futurs connus (obligation à taux fixe, par exemple)24 ;
 de détecter les produits sous et surévalués par le marché pour tenter d’en tirer profit,
c’est ce qu’on appelle l’analyse «rich and cheap» ou le « bond picking » ;
 d’avoir une idée sur la conjoncture économique et financière ; la courbe de taux est
normalement ascendante. Lorsqu’elle est inversée, elle traduit une situation de forte
inflation, de défaut ou de restructuration.
 de dériver à partir de la courte des taux spot celles qui sont implicites : les courbes
des taux forward.
 De se servir de la courbe des taux au comptant en tant que point de départ pour la
mise en place de modèles stochastiques de déformation de cette courbe dans le
temps.
4.1.3. La construction de la courbe de taux :
A une date donnée et dans un pays ou une zone économique unifiée, il existe une multitude
de courbes de taux. On recense les courbes de taux selon l’émetteur (le Trésor en
24
Jusque-là, nous avons travaillé avec l’hypothèse simple que le taux utilisé pour actualiser tous les flux
périodiques liés à une même obligation est le même, peu importe l’échéance. Cela suppose que le rendement à
l'échéance est identique pour toutes les obligations. En réalité, les obligations qui ont différentes échéances ont
des rendements à l'échéance différents et la courbe des taux est très rarement plate.
38
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
particulier), le secteur (par exemple l’interbancaire) et le niveau de rating (pour les
entreprise, le « corporate »). On distingue également :


les courbes au comptant ou de marché qui sont construites directement à partir des
cotations de marché d’instruments comme les obligations et les swaps. La courbe
des taux de rendement à maturité est construite à partir des taux de rendement des
obligations.
les courbes implicites qui sont dérivées indirectement à partir des cotations sur le
marché d’obligations. Parmi les courbes implicites, on distingue la courbe des taux
zéro-coupon, les courbe(s) de taux forward et la courbe des taux de rendement au
pair.
Par ailleurs, on dispose de trois grands types de modèles de taux :



Le modèle d’analyse en composantes principales de la courbe des taux. Il porte
généralement sur la courbe des taux zéro-coupon ou des taux forward et a pour but
de mettre en évidence les principaux facteurs qui expliquent les déformations de la
courbe des taux. Ce modèle vise :
o Une meilleure connaissance de l’évolution empirique de la courbe des taux,
fondamentale pour la mise en place d’un modèle stochastique réaliste ;
o La couverture contre le risque de taux de produits à flux déterministes par
immunisation contre les principaux facteurs de déformation de la courbe des
taux.
Les modèles stochastiques de déformation de la courbe des taux. Ils portent
généralement sur la courbe des taux zéro-coupon et sont utilisés pour :
o L’évaluation et la couverture de produits de taux délivrant des flux aléatoires
dans le futur (par exemple, les options de taux d’intérêt). Le vendeur d’option
doit être capable d’avancer un prix au produit qu’il vend, mais surtout de
répliquer (ou couvrir) l’option qu’il vend car il encourt un risque de perte
illimitée. Ces modèles sont surtout utilisés en salle de marché dans un
contexte de trading, et dans les structures de contrôle des risques.
o La mise en place de l’analyse par scénario. Quand un gérant de portefeuille
met en place une stratégie, il a besoin de connaitre ce qu’il va gagner dans le
scénario de déformation de la courbe des taux qu’il anticipe. Mais, comme il
n’est pas sûr que son scénario aille se réaliser, il a aussi besoin de mesurer le
risque qu’il prend si ce scénario ne se produit pas. Pour cela, il a besoin de
mettre en place un outil qui lui permet d’envisager tous les scénarios
possibles de déformation de la courbe des taux. Cet outil appelé analyse par
scénario lui permet de calculer le taux de rendement le plus défavorable suite
à la mise en place de la stratégie d’investissement et le taux de rendement
moyen ainsi que son écart-type en prenant en compte l’ensemble des
scénarios possibles de déformation de la courbe.
Le modèle de reconstitution de la courbe des taux au comptant qui constitue le point
de départ pour la mise en place de modèles stochastiques de déformation de la
39
Gestion obligataire
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courbe des taux. Il porte généralement sur la courbe des taux zéro-coupon qui a deux
principales applications en pratique :
o Elle permet d’évaluer (et pour certains de couvrir) à la date de reconstitution,
les produits de taux à flux déterministes (obligations à taux fixe, par exemple).
Elle permet donc de détecter les produits sous et surévalués par le marché
pour tenter d’en tirer profit25.
o Elle permet de dériver les autres courbes implicites : courbe des taux forward
et courbe des taux de rendement au pair.
4.1.4. Dérivation de la courbe des ZC :
La reconstitution de la courbe des taux repose sur les obligations d’Etat à zéro coupon
(appelées «strips») qui existent en grande variété de maturités. Toutefois, ces obligations
peuvent ne pas exister pour une grande variété d’échéances et l’obtention de taux zérocoupon pour un continuum d’échéance est impossible. En outre, les obligations zéro-coupon
ont souvent une moindre liquidité que les obligations à coupons. D’où, il est important de
faire une sélection rigoureuse des titres qui servent à la reconstitution de la courbe de taux.
Ainsi, il faut éliminer les titres qui sont illiquides ou surliquides, parce qu’ils présentent des
prix qui ne sont pas dans le marché, de même que les titres présentant des clauses
optionnelles, car la présence d’options rend les prix de ces titres non homogènes avec ceux
des obligations qui n’en contiennent pas. Enfin, il faut s’abstenir de tracer la courbe des taux
sur des segments de maturité où l’on ne dispose pas de titres. Par exemple, il est inutile de
tracer la courbe sur le segment [20-30 ans] s’il n’existe pas de titres cotés de maturités
supérieures à 20 ans.
On ne se préoccupe dans ce qui suit que de la courbe des taux des obligations du Trésor. Elle
est construite à partir des titres émis par l’Etat (OAT, BTAN et BTF en France, T-bills, T-notes
et T-bonds pour les USA, BTA et BTZc pour la Tunisie). Il s’agit de la courbe dite sans risque
dans les pays du G7 dans la mesure où les Etats de ces pays sont censés ne jamais faire
défaut. La plupart des Etats de ces pays sont notés AAA par les agences de notation.
En l’absence d’obligations à zéro-coupon, les taux zéro-coupon peuvent être déduits des
rendements des obligations à coupons. Toutefois, cette solution requiert les deux conditions
suivantes :


Les obligations à coupons doivent avoir les mêmes dates de tombée de coupons.
Elles doivent avoir des maturités multiples de la fréquence de tombée des coupons.
Cependant, cette solution est théorique car dans la pratique il est très difficile de trouver un
échantillon d’obligations répondant à ces deux conditions.
Soient :
25
C’est ce qu’on a désigné par l’analyse «rich and cheap» ou « bond picking »
40
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Pt = (P1,t , P2,t , ..., Pn,t) le vecteur des prix des n obligations.
F = (Fi,j) la matrice n x n correspondant aux flux des n titres pour les n tombées de flux.
Les dates de tombées des flux sont identiques pour tous les titres.
Bt = (B(t, t1), B(t, t2), ..... , B(t, tn)) le vecteur des facteurs d’actualisation
En absence d’arbitrage, notre problème prend la forme suivante :
Pt = F * B′t ⇔ Bt = (F−1 Pt)′
On extrait le vecteur des taux zéro-coupon à l’aide de la relation suivante :
R(t, ti − t) = {1 / B(t, ti)}(1/ti−t) − 1
Si l’on souhaite utiliser des taux continus, on utilise alors : R(t, ti − t) = {−1 / (ti – t)} ln(B(t, ti))
Exemple n° 11 :
Soit la liste des obligations suivantes, construisons la courbe des taux :
Tableau n° 12 : Tableau des caractéristiques des obligations
Maturité (en années)
Coupon annuel
Prix de l'obligation
0.5
0.000%
99.05
0.75
0.000%
98.45
1
0.000%
97.85
2
3.500%
101.40
3
4.000%
102.20
La méthode du « bootstrap » est une procédure en plusieurs étapes qui permet de
reconstituer une courbe zéro-coupon au comptant « pas à pas », ou, segment par segment
de maturité.
- Pour le segment de la courbe inférieur à 1 an : on procède à l’extraction des taux
zéro-coupon grâce aux prix des titres zéro-coupon cotés sur le marché et à l’obtention d’une
courbe continue par interpolation.
- Pour le segment de la courbe allant de 1 à 2 ans : Parmi les obligations de maturité
comprise entre 1 an et 2 ans, on choisit l’obligation à l’échéance la plus rapprochée. Celle-ci
verse deux flux. Le facteur d’actualisation du premier flux est connu grâce à la première
étape. Le facteur d’actualisation du second flux est la solution de l´équation non linéaire :
P = C * B(0, t1) + (100 + C) * B(0, t2) avec t1 ≤ 1 et 1 < t2 ≤ 2
On obtient alors un premier point de la courbe sur ce segment. On réitère le même procédé
avec l’obligation de maturité immédiatement supérieure mais toujours inférieure à 2 ans.
- Pour le segment de la courbe allant de 2 ans à 3 ans : On réitère l’opération précédente
à partir des titres ayant une maturité comprise entre 2 ans et 3 ans. ...etc...
41
Gestion obligataire
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Pour revenir à notre exemple n° 11, les trois premières lignes de titres sont déjà des zérocoupons, puisqu’ils ne génèrent aucun flux d’intérêt intermédiaire. Nous pouvons donc, à
partir du prix de marché, calculer directement les taux zéro-coupon correspondants :
Titre zéro-coupon à 6 mois26 :
r0,6m = (100/99.05 – 1) * 12/6 = 1.9182%
Titre zéro-coupon à 9 mois :
r0,9m = (100/98.45 – 1) * 12/9 = 2.0992%
Titre zéro-coupon à 1 an :
r0,1y = (100/97.85 – 1) * 12/12 = 2.1972%
Ensuite, nous pouvons successivement procéder à la déduction des taux de maturité 2 ans
et 3 ans. Connaissant déjà le taux pour l’échéance 1 an, qui est de 2.1972%, nous pouvons
déduire le taux pour l’échéance 2 ans comme suit :
Etant donné que l’obligation à coupon peut être considérée comme un ensemble
d’obligations zéro-coupons. Son prix (théorique) est donc équivalent à la somme des valeurs
actuelles de ces zéro-coupons.
Pour le coupon de la première année, d’un taux de 3.50%, nous obtenons, en l’actualisant
au taux de zéro-coupon de l’échéance correspondante, la valeur actuelle suivante :
Va(cpn2y) = 3.500 / (1 + 2.1972%) = 3.42475
Nous savons donc maintenant, en déduisant cette valeur actuelle du prix de l’obligation, que
la valeur actuelle du deuxième « zéro-coupon » est :
Va(cpn3y) = 101.40 − 3.42475 = 97.97525
Tableau n° 13 : Détermination du taux zéro coupon à 2 ans
Echéance du flux
(en années)
Montant
Taux zéro coupon du
flux
Valeur actuelle du flux
1
3.50
2.1972%
3.42475
2
103.50
?
97.97525*
* = (101.40 - 3.42475)
101.40
Pour obtenir le taux zéro-coupon à deux ans, il suffit de calculer, par itération, le taux auquel
il faut placer 97.97525 dinars pour obtenir 103.50 au bout de deux ans :
97.97525 * (1+ r0,2y)2 = 103.50
On obtient r0,2y = 2.7808%.
26
Pour les trois premiers taux (à 6, 9 et 12 mois) nous avons adopté la formule de l’intérêt simple.
42
Gestion obligataire
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La démarche est ensuite identique pour déterminer le taux zéro-coupon 3 ans. Nous
possédons maintenant les taux zéro-coupon à échéance 1 an (2.1972%) et 2 ans (2.7808%).
Tableau n° 14 : Détermination du taux zéro coupon à 3 ans
Echéance du flux
(en années)
Montant
Taux zéro coupon du flux
Valeur actuelle du flux
1
4.00
2.1972%
3.91400
2
4.00
2.7808%
3.89178
3
104.00
?
94.39422 *
* = (102.20 - (3.914 + 3.89178)
102.20
Le taux zéro-coupon 3 ans est par conséquent celui qui vérifie l’équation suivante :
94.39422 * (1+i r0,3y)3 = 104.00
On obtient r0,3y = 3.2831%.
La courbe de taux zéro-coupon se présente donc comme suit :
Tableau n° 15 : Ensemble des taux zéro coupon
Maturité (en années)
Taux ZC
6 mois
1.9182%
9 mois
2.0992%
1 an
2.1972%
2 ans
2.7808%
3 ans
3.2831%
Exemple n° 12 :
Soient les données suivantes :
Titre
1
2
3
Tableau n° 16 : Caractéristiques des obligations
Prix
Coupon
Maturité
103,7
5%
1 an et 2 mois
102
6%
1 an et 9 mois
99,5
5,5%
2 ans
Tableau n° 17 : Taux zéro coupon
Maturité
Taux zéro-coupon
Overnight
4,4%
1 mois
4,5%
2 mois
4,6%
3 mois
4,7%
6 mois
4,9%
9 mois
5%
1 an
5,1%
Tirez les zéro-coupons pour des maturités supérieures à un an.
43
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Le taux à un an et deux mois est solution de :
103,5 = 5 / (1 + 4.6%)1/6 + 105 / (1 + x)1+1/6 ⇒ x = 5.41%
Le taux à un an et 9 mois s’obtient comme suit :
102,2 = 6 / (1 + 5%)9/12 + 105 / (1 + x)1+9/12 ⇒ x = 5.69%
Remarques :


Les calculs conduisant à tracer la courbe des taux peuvent être contraints par la
gamme des échéances disponibles. En effet, certaines échéances peuvent manquer
et pour obtenir les taux zéro-coupon correspondants, il est possible de procéder par
interpolation ou au lissage de la courbe. Cependant, la convexité/concavité de la
courbe des taux rend ce type de calcul hasardeux27.
L’étude historique des mouvements de la courbe des taux met en relief ce qui suit :
o Les taux d’intérêt ne sont pas négatifs. Le taux facial est généralement positif
même si le taux d’intérêt réel est parfois négatif dans un contexte d’inflation
galopante sous l’effet de chocs extérieurs ou lorsque l’économie ne peut
supporter des taux d’intérêt nominaux trop élevés sous peine de déprimer la
consommation et par conséquent la croissance.
o Les taux d’intérêt sont affectés par des effets de retour à la moyenne. Des
valeurs élevées des taux ont tendance à être suivies plus fréquemment par
des baisses que par des hausses. L’effet inverse est également constaté pour
des niveaux de taux inhabituellement bas. Les taux n’ont pas de trend sur une
longue période. Ils évoluent au sein d’un tunnel.
o Les taux n’évoluent pas de façon parfaitement corrélée. L’étude statistique
des variations de taux zéro-coupon de maturité, par exemple 3 mois, 2 ans et
10 ans, montre qu’un seul facteur ne suffit pas à rendre compte de leurs
évolutions. En particulier, l’évolution des taux à court terme apparaît peu
corrélée avec celle des taux à long terme.
o Les taux à court terme sont plus volatils que les taux à long terme.
Historiquement, le degré de volatilité des taux semble corrélé avec le niveau
des taux. Elle est généralement une fonction décroissante de la maturité des
taux, ou croissante sur le court terme jusqu’à un an puis décroissante au-delà.
o La courbe des taux peut connaître différents changements. 95% de ces
mouvements sont de simples déplacements vers le haut ou vers le bas, des
pentifications, des aplatissements et des raidissements de la courbe.
4.2. Les théories explicatives de la structure par terme des taux d’intérêt
La problématique de la structure par terme des taux d’intérêt a donné lieu à plusieurs débats
de recherche théoriques depuis les années 30. Plusieurs théories s’affrontaient pour tenter
27
C’est ce qu’on appelle l’inégalité de Jensen.
44
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d’expliquer la formation et les déformations de la structure des taux ainsi que les relations
entre les taux d’intérêt à court terme et à long terme.
A cet effet, on distingue :




la théorie pure des anticipations selon laquelle la courbe des taux correspond à ce
que le marché anticipe pour les taux futurs et que ces derniers sont des estimations
non biaisées des taux futurs espérés.
La théorie de la liquidité qui suppose une préférence des investisseurs pour les
obligations à plus court terme. Elle tient compte des anticipations du marché pour
les taux et le risque.
La théorie de l’habitat préféré selon laquelle les investisseurs préfèrent acheter des
titres dont l’échéance est égale à celle des passifs qu’ils cherchent à apparier mais ils
acceptent d’acheter des titres d’échéances différentes si la prime de risque est
satisfaisante.
La théorie de segmentation des marchés selon laquelle les investisseurs n’achètent
que des titres dont l’échéance est égale à celle des passifs qu’ils cherchent à apparier
et c’est le jeu de l’offre et de la demande qui gouverne la courbe des taux.
4.2.1. La théorie pure des anticipations :
Historiquement, Fisher (1930)28 fut le premier à introduire la notion d’anticipation dans la
littérature économique. Il suppose que les taux de rendement à l’échéance reflètent les
anticipations des investisseurs quant aux taux au comptant.
Les hypothèses de base de cette théorie étant :
- Les marchés financiers sont parfaits (absence de coûts de transaction par exemple).
- Les titres sont parfaitement substituables (indifférence entre les titres courts et les
titres longs.
- Les anticipations des agents économiques sont homogènes
Cette théorie part d’un constat simple, à savoir que le taux d’intérêt sur une obligation à long
terme est égal à la moyenne géométrique des taux à court terme anticipés le long de la durée
de vie de l’obligation. Pour qu’il y ait détention d’obligations de différentes maturités,
l’investisseur doit être indiffèrent entre, par exemple, placer son argent n fois pendant un
an et le faire une seule fois pendant n années. Alors, la valeur finale des deux formules de
placement doit être la même et donc :
(1+0Rn)n = (1+0R1) * (1+1R2) * … * (1+n-1Rn)
Ainsi, si les agents anticipent une hausse des taux courts pour les prochaines périodes, les
taux long seront supérieurs aux taux à court terme, et inversement si les agents anticipent
une baisse des taux à court terme. En outre, la courbe des taux a plus de chance d’être
croissante lorsque les taux à court terme sont bas car les observateurs anticipent une hausse
28
FISHER, Irving, The Theory of Interest (1930), New York : A.M. Kelley, 1955.
45
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de ceux-ci, et elle est inversée quand les taux courts sont élevés du fait que les agents
anticipent une baisse de ces derniers.
4.2.2. La théorie de la prime de risque :
Cette théorie privilégie l’hypothèse d’aversion des agents économiques aux risques afférents
à la détention des titres : risque de capital et risque de revenu (Hicks (1939) 29 . Les
investisseurs savent que les prévisions ne peuvent être qu’incertaines. Plus la période
d’investissement est longue, plus il y a des risques. D’où, il existe donc chez ces investisseurs
une préférence pour les placements de courte durée qui sont théoriquement moins
sensibles aux variations de taux d’intérêt. En d’autres termes, les prêteurs témoignent d’une
certaine préférence pour la liquidité et les actifs financiers de durées différentes ne
constituent pas de substituts parfaits.
Selon les tenants de cette théorie, cette substitution peut être rachetée moyennant le
paiement d’une prime de risque. Etant averses au risque, les investisseurs n’accepteront
d’accroître la durée de leurs placements qu’en échange d’une prime de liquidité compensant
l’augmentation du risque.
Fondamentalement, les adeptes de cette théorie sont en accord avec l’enseignement de la
théorie des anticipations, à savoir que :
(1+0Rn)n = (1+0R1) * (1+1R2) * … * (1+n-1Rn)
Toutefois, étant donné l’incertitude, l’équation ci-dessus est reformulée comme suit :
(1+0Rn) n = (1+0R1) * (1+1F2) * … * (1+n-1Fn)
Avec t-1Ft = le taux d’intérêt à terme (forward) pour la période t.
t-1Ft = t-1Rt + t-1Lt
Avec t-1Lt, la prime de risque exigée par les investisseurs en t.
L’équation d’équilibre pour les taux d’intérêt s’écrit alors :
(1+0Rn) n = (1+0R1) * (1+1R2+1L2) * … * (1+n-1Rn+n-1Ln)
Selon les auteurs de cette théorie, ces primes doivent être nécessairement croissantes parce
qu’elles correspondent pour les investisseurs à la détention d’obligations de durée de vie de
plus en plus longue et comportant donc un risque plus important :
0 < 1L2 < 2L3 < … < n-1Ln
A cause de la prime de risque ou de liquidité, la courbe des taux se situe alors toujours audessus de celle correspondant à la théorie pure des anticipations.
29
Hicks, John R. [1939], "Valeur et Capital : Enquête sur divers principes fondamentaux de la théorie
économique", Collection Finance et Economie Appliquée, Dunod, Paris, 1981.
46
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4.2.3. La théorie de la segmentation des marchés
Contrairement à la théorie de la prime de risque, celle de la segmentation des marchés
suppose que la substitution entre les titres n’est pas concevable. L’avenir est incertain aux
yeux des investisseurs qu’une prime ne peut les convaincre d’investir pour une autre durée
que celle qu’ils préfèrent. Ainsi, les titres d’échéances différentes ne sont pas substituables
et les marchés sont donc parfaitement cloisonnés. Il n’existe pas de corrélation entre les taux
d’intérêt et les échéances. L'offre et la demande de capitaux s'équilibrent pour les différents
marchés de capitaux sans relation les uns aux autres. Il existe en particulier le marché
financier du long terme et le marché monétaire pour le court terme.
Les opérateurs se spécialisent dans différents segments ; par exemple, contrairement à
certains investisseurs qui optent pour des titres à court terme, les compagnies d’assurance
vie et les fonds de pension de retraite investissent dans les titres à long terme.
La structure par terme des taux perd alors toute sa signification du fait de l’indépendance
des taux. La courbe des taux est composée de plusieurs segments correspondants aux
différents compartiments du marché. Chaque segment correspond à un segment du marché
et dépend des offres et des besoins de capitaux qui y sont exprimés.
4.2.4. La théorie de l’habitat préféré :
La théorie de l'habitat préféré a été développée par F. Modigliani et R. Sutch (1966 et 1967)30
pour expliquer la prime existante sur les taux d’intérêt long terme. Cette théorie est une
variante de celle de la segmentation des marchés : on suppose que chaque investisseur sur
le marché des obligations préfère un intervalle d’échéance donné appelé habitat préféré.
Changer d’intervalle équivaut pour cet investisseur à une prise de risque différent et il
exigera alors d’être compensé pour le faire.
Selon cette théorie, les investisseurs ont des préférences pour certains horizons de
placement. Les entreprises qui souhaitent émettre des titres à un horizon non désiré par ces
mêmes investisseurs devront donc ajouter une prime au rendement normal (correspondant
à leur horizon d’investissement) pour les attirer.
En d’autres termes, lorsque l’offre et la demande de titres sur un segment donné ne
coïncident pas, certains prêteurs sont prêts à se déplacer sur d’autres parties de la courbe à
condition de recevoir une prime qui compense leur aversion au risque. Il en découle :

Que les émetteurs de titres qui se positionnent sur des maturités peu attractives
doivent supporter une prime de risque.
30
MODIGLIANI F. and R. SUTCH (1966), "Innovations in interest rate policy", The American Economic Review,
Papers and Proceedings, vol. 56, May, pp. 178-97.
MODIGLIANI F. and R. SUTCH (1967), "Debt management and the term structure of interest rates: an empirical
analysis", Journal of Political Economy, vol. 75, August, pp. 569-89.
47
Gestion obligataire
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

Que chaque partie de la courbe des taux évoluera en fonction exclusivement de la
situation de l’offre et de la demande sur l’intervalle d’échéance correspondant, de
façon indépendante des autres.
Une plus grande difficulté à prévoir l’évolution des courbes de taux dans la mesure
où ces primes de risque dépendent essentiellement du comportement des
opérateurs, de leur nombre, de leur prédisposition à modifier leur comportement.
Conclusion :
L’ensemble des études indiquent que les taux à terme sont fonction des taux courts futurs
anticipés puisque les taux à terme intègrent les prédictions relatives aux taux courts futurs.
Les quatre théories présentées précédemment apportent chacune son concours et se
complètent pour expliquer la forme de la courbe des taux. Ensemble, elles donnent une idée
plus complète de l’ensemble des éléments affectant la structure des taux d’intérêt.
Cependant, les résultats empiriques tendent à favoriser l’explication de cette dernière par
les anticipations des taux de rendements et par la préférence pour la liquidité.
Tableau n° 18 : Synthèse des conclusions des 4 théories
Théorie des
anticipations
Théorie des
marchés
segmentés
Théorie de la
prime de
risque et de
l’habitat
préféré
Variation conjointe des taux
d’intérêt dans le temps
Courbe des taux
habituellement croissante
Oui
(Une hausse des taux courts
entraîne celle des taux longs à
anticipations inchangées)
Non
(Croissante si anticipation de
hausse des taux, inversée si
anticipation de baisse, plate
si anticipation de stabilité)
Non
(Les taux d'intérêts sont
déterminés indépendamment
les uns des autres, par les
conditions d'offre et de
demande sur chaque segment
du marché)
oui
(Taux d'intérêt à LT =
moyenne des taux courts
futurs anticipés + prime de
liquidité.
Des changements conjoints
des taux de maturités
différentes : à long terme, une
hausse des taux courts
entraîne celle des taux longs
(comme la théorie des
anticipations)
Structure croissante
plus probable quand les
taux courts sont bas
Oui
(Taux court bas :
anticipation de hausse.
Taux longs > taux
courts : anticipation de
retour vers la moyenne)
Oui
Non
Non
Courbe habituellement
croissante : à cause de la
prime de liquidité (et de
l'habitat préféré). Formes de
la courbe des taux :
croissante si anticipation de
hausse des taux, inversée si
anticipation de baisse, plate
si anticipation de stabilité
(comme la théorie des
anticipations)
oui
48
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Remarque :
Une courbe de taux n’est qu’instantanée. Elle se déforme. Une hausse de la courbe traduit
le renforcement des pressions inflationnistes et donc une hausse probable des taux
d’intérêt. La conjoncture économique et les politiques monétaire et budgétaire qui en
découlent affectent de manière profonde les taux. La structure par terme des taux dépend
des anticipations formulées quant à l’évolution des taux nominaux conditionnés par le taux
d’intérêt réel et les anticipations relatives à l’inflation. Elle dépend de la préférence pour la
liquidité, de l’offre et de la demande de capitaux sur les différents segments. La courbe
croissante est la plus fréquemment observée.
L’analyse de la forme de la courbe des taux selon l’échéance à travers les différentes phases
du cycle des activités économiques permet de mieux comprendre les facteurs qui expliquent
et affectent la structure des taux, à savoir que :


La courbe des taux a sa pente positive la plus élevée lors des creux cycliques ;
Elle est bombée et descendante, c’est-à-dire, de pente négative lors des sommets
cycliques.
L’inflation (anticipée) est probablement le facteur le plus important dans la détermination
des taux d’intérêt. Vient ensuite l’aversion au risque.
Investir dans une obligation à long terme, sachant que l’on connaît la somme procurée à
l’échéance, peut ne pas être le choix optimal. Il est indispensable de calculer le taux d’intérêt
réel, c’est-à-dire, le taux après inflation :
Taux réel = [(1+ le taux nominal) / (1+ le taux de l’inflation)]-1
Afin d’éviter la hausse non anticipée de l’inflation, les investisseurs opteront le placement à
court terme renouvelable afin de s’assurer une certaine liquidité.
Exemple n° 13 :
Si des investisseurs exigent un taux de rendement réel de 10% et que le taux d’inflation est
de 8%, quel taux nominal approximatif ? Quel est le taux nominal exact ?
Taux approximatif : 10% + 8% = 18%
Taux exact : (1.1)*(1.08) -1 = 18.8%
49
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5. Les stratégies de gestion de portefeuille obligataire
Un processus de gestion de portefeuille se divise en cinq étapes, d’abord, la détermination
des objectifs en termes de risque, rendement, duration,… puis l’élaboration d’une politique
d’investissement (placement en actions et/ou obligations et/ou produits dérivés), ensuite la
sélection d’une stratégie de gestion (gestion collective ou pour compte, active, passive ou
mixte, etc.), qui est suivie de la sélection des titres. Le processus se termine par la mesure et
l’évaluation de la performance du portefeuille.
Graphique n°2 : Processus de gestion de portefeuille
Pour ce qui est des stratégies, on distingue les stratégies actives, passives et hybrides.
5.1. Les stratégies actives de gestion de portefeuille obligataire :
Le rendement d’un portefeuille obligatoire résulte des coupons intermédiaires versés par les
titres qui le constituent, du revenu de réinvestissement de ces coupons et des gains (ou
pertes) en capital (augmentation ou baisse des prix de ces titres par rapport à leur prix
d’acquisition).
Quatre facteurs affectent ces différentes sources de rendement et sont à la base des
stratégies actives. Il s’agit des changements qui interviennent au niveau des taux d’intérêt,
de la forme de la courbe des taux d’intérêt, des caractéristiques propres aux obligations et
des écarts de taux de rendement entre les différents segments du marché obligataire.
Pour ce qui est des deux premiers facteurs, pour réussir sa stratégie, il est essentiel de savoir
se positionner en avance sur la courbe des taux. Pour ce faire, il faut anticiper le sens de
l’orientation des taux d’intérêt (hausse, baisse ou stabilité) sur l’ensemble des maturités et
les mouvements de la courbe de taux (translation, raidissement ou aplatissement, …).
La clé de réussite est donc de savoir anticiper. En effet, les anticipations économiques et
inflationnistes peuvent avoir des répercussions sur l’ensemble de la courbe des taux. A cet
égard, les réponses à des questions du genre figurant au tableau n° 19 peuvent aider à voir
plus clair comment la courbe va évoluer :
50
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Tableau n° 19 : Questions en rapport avec l’orientation future de la politique monétaire
Si oui, anticipation concernant
la politique monétaire
Accommodation Resserrement Stabilité
Sommes-nous en phase de :
 Forte croissance et de surchauffe économique
X
 en début de période de récession ?
X
Les usines tournent-elles à plein régime et s’agit-il d’une
production pour :
 l’écoulement ou
X
 le stockage
X
Sommes-nous dans un contexte d’utilisation réduite des
capacités de production et de hausse du chômage ?
X
Le pays se dirige-t-il vers une situation de :
 plein emploi ou
X
 de baisse du chômage ?
X
La baisse du chômage traduit-elle :
 une diminution réelle du sous-emploi ou
X
 une réduction de la participation au marché de
l’emploi ?
X
Le ralentissement de la croissance est-il le résultat de la
diminution de :
 la population en âge de travailler ou
X
 des taux d’activité ou
X
 de la réduction des gains de productivité liée au
ralentissement du rythme de progrès
X
technique ?
De façon générale, les prix sont-ils orientés à la hausse ?
X
L’inflation a-t-elle dépassé le niveau cible fixé par la
Banque Centrale ?
X
La hausse des prix correspond-t-elle à un phénomène :
 structurel ou
X
 conjoncturel provoqué par un mauvais
fonctionnement des circuits de distribution ou la
hausse conjoncturelle d’un produit essentiel dans
le panier de la ménagère ?
X
Les anticipations de long terme sont-elles toujours ancrées
sur la cible annoncée par la banque centrale.
X
Les entreprises ont-elles du mal à maintenir leurs niveaux
de prix ?
X
Sont-elles même contraintes de les baisser ?
X
La demande a-t-elle tendance à s’éroder, par exemple
sous l’effet d’une modération du salaire réel par rapport à
la productivité, ou encore d’un accroissement massif des
inégalités ?
X
L’aversion pour le risque des agents économiques est-elle
de sorte qu’elle crée un surcroît d’épargne de précaution
qui rechigne à s’investir ?
X
Le niveau d’emprunt net de l’Etat est-il orienté :
 à la hausse ou
X
 à la baisse ?
X
Autrement dit, le gouvernement émet-il plus ou moins
d’obligations qu’attendu par le marché ?
51
Gestion obligataire
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Les anticipations relatives aux politiques des banques centrales sont étroitement liées à ces
considérations. Ces politiques ont un impact direct sur le marché monétaire (dans la mesure
où leurs instruments ciblent spécifiquement ce segment du marché).
Toutefois, les politiques des banques centrales peuvent avoir également un effet indirect sur
les maturités à moyen et long terme. Les rendements des obligations à moyen terme sont
largement influencés par les anticipations relatives à la politique monétaire.
La baisse (hausse) des taux d’intérêt peut traduire des anticipations de maitrise de l’inflation
(une émergence des pressions inflationnistes) de la part des banquiers centraux. Un recul
des anticipations inflationnistes a un impact sur les maturités à long terme et se traduit par
une hausse des cours des obligations à long terme et une baisse de leurs rendements (et
vice-versa).
On distingue différentes stratégies actives de gestion obligataire. Elles sont basées chacune
sur des éléments différents qui peuvent être :
 Les anticipations de hausse ou de baisse des taux ;
 Les mouvements des courbes de taux (ou maturités) ;
 L’évolution des écarts de taux et des devises ;
 Les changements des caractéristiques propres à l’obligation
5.1.1. Les stratégies basées sur les anticipations de taux :
A. Les stratégies basées sur la duration :
Ces stratégies qui sont basées sur l’hypothèse que la courbe des taux est plate, sont centrées
sur la duration. Il s’agit de procéder à des modifications de la sensibilité du portefeuille aux
variations de taux en fonction des anticipations.
Ces stratégies supposent ou anticipent un déplacement parallèle de la courbe des taux (une
simple translation vers le haut ou vers le bas). Cela signifie que si le taux de rendement d’une
obligation à cinq ans augmente/baisse de 1%, les taux de rendement des obligations à six ou
sept ans (et ainsi de suite) font de même.
Etant donné qu’un portefeuille est parfaitement immunisé si son horizon d’investissement
(H) est égal à sa duration (D), il s’impose en cas d’anticipation de :


Baisse des taux d’intérêt, d’augmenter la duration du portefeuille de sorte qu’elle
devient supérieure à l’horizon d’investissement (D>H) ; l’impact positif sur la valeur
du portefeuille sera plus élevé que celui négatif sur le revenu du réinvestissement
des coupons. L’effet global est d’autant plus positif en H que la duration est longue.
Hausse des taux d’intérêt, de réduire la duration du portefeuille de sorte qu’elle
devient inférieure à l’horizon d’investissement (D<H) ; l’impact négatif sur la valeur
du portefeuille en H sera plus faible que celui positif sur le revenu de
réinvestissement des coupons. L’effet global est d’autant plus positif en H que la
duration est courte.
52
Gestion obligataire
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Ainsi, si un portefeuille présente une duration de 4,5 ans (donc une sensibilité proche de
4,5), à chaque baisse anticipée des taux d’intérêt de 1 pourcent (soit 100 points de base), un
profit additionnel de 100 points de base est généré en allongeant la duration de 4,5 à 5,5
années. Cela s’explique par le fait qu’en cas de baisse des taux d’intérêt d’un pourcent, la
valeur du portefeuille augmente de 4,5% compte tenu de son niveau de sensibilité.
Il faut noter que la duration moyenne du portefeuille peut être modifiée en remplaçant les
obligations qui le constituent par d’autres de duration plus élevée ou plus faible. Une telle
stratégie est dite swap d’anticipation de taux.
Toutefois, la qualité du résultat de cette stratégie dépend de celle de l’anticipation. En effet,
si les taux d’intérêt évoluent dans le sens contraire de ce qui a été anticipé par le gestionnaire
du portefeuille, c’est l’effet contraire qui se produit.
Tableau n° 20 : Effet de la qualité d’anticipation
sur la valeur du portefeuille et la performance du gestionnaire
Anticipation en matière
Action sur la
Mouvement réel
Impact sur la valeur du portefeuille
de taux d’intérêt
duration
des taux d’intérêt
et la performance du gestionnaire
Hausse
Négatif (erreur de stratégie)
Augmentation
Baisse
Positif
Hausse
Hausse
Positif
Réduction
Baisse
Négatif (erreur d’anticipation)
Hausse
Négatif (erreur d’anticipation)
Augmentation
Baisse
Positif
Baisse
Hausse
Positif
Réduction
Baisse
Négatif (erreur de stratégie)
Exemple n° 14 :
Considérons les 5 obligations suivantes et leurs caractéristiques :
Tableau n° 21 : Caractéristiques des obligations
Obligation
Maturité
Taux de coupon
Taux de rendement
Prix de l’obligation
Duration
1
2 ans
5%
…
100
….
2
10 ans
…
5%
100
….
3
30 ans
5%
5%
…
16,14
4
30 ans
7,5%
5%
138,43
14,98
5
30 ans
10%
5%
…
14,33
Déterminez le taux de coupon, le taux rendement et les prix des obligations manquants dans
le tableau.
•
Sans calculer les durations manquantes, classez ces obligations en fonction de leurs
durations.
•
A priori, si l’anticipation des taux est à la hausse de 1% sur toutes les échéances, dans
quelle obligation faut-il investir en priorité si l’objectif est de maximiser le rendement
du portefeuille ?
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•
Même question si l’anticipation des taux est à la baisse ?
Solution :
D’abord, il s’agit de compléter le tableau ci-dessus :
Tableau n° 22 : Caractéristiques complètes des obligations
Obligation
Maturité
Taux de coupon
Taux de rendement
Prix de
l’obligation
Duration
1
2 ans
5%
5%
(obligation cotée au pair)
100
< à 2 ans
2
10 ans
5%
(Obligation
cotée au pair)
5%
100
< à 10 ans
mais > à 2
ans
3
30 ans
5%
5%
100
16,14
4
30 ans
7,5%
5%
138,43
14,98
5
30 ans
10%
5%
176,86
14,33
La duration est au plus égale à l’échéance (cas des obligations à zéro coupon). Donc, sur la
base de leurs durations, les obligations peuvent être classées ainsi : O1, O2, O5, O4, O3.
Si les taux d’intérêt sont anticipés à la hausse, la meilleure stratégie serait d’investir dans
l’obligation de courte duration (O1) et de vendre à découvert l’obligation O3 dont la duration
est la plus longue. S’ils sont anticipés à la baisse, la meilleure stratégie serait d’investir dans
l’obligation (O3).
Il y a lieu de noter que l’obligation (O3) maximise le rendement relatif alors que l’obligation
(O5) maximise le rendement absolu.
Tableau n° 23 : Comparaison entres les obligations O3 et O5
Obligation
Prix initial
Duration
Sensibilité
Nouveau
prix
Rendement
absolu
Rendement
relatif
3
100
16,14
15,37
115,37
15,37
15,37%
5
176,86
14,33
13,64
200,98
33,12
13,64%
Remarques :



La clé de cette stratégie est l’habilité du gestionnaire à prédire la direction des
mouvements de taux.
Avec l’hypothèse d’efficience des marchés, les mouvements de taux d’intérêt suivent
des processus aléatoires (stochastiques) et il n’est pas possible de prédire
exactement ces mouvements et d’y baser des stratégies de gestion.
Un gestionnaire peut élaborer sa stratégie en faisant un pari sur les mouvements de
taux d’intérêt en exagérant ou en minimisant la duration dans le seul but de rattraper
rapidement la performance de l’indice obligataire en fonction duquel il est évalué.
54
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______________________________________________________________________________________

Les investisseurs peuvent se prémunir contre de telles positions du gestionnaire, en
imposant des contraintes sur la duration du portefeuille (en fixant un minimum et un
maximum pour cette duration).
B. La stratégie du Roll over :
C’est une technique basée sur l’anticipation d’augmentation de taux et utilisée dans un
environnement de courbe de taux d’intérêt plate. Elle consiste pour un investisseur, qui a un
horizon d’investissement de n années et qui anticipe une hausse des taux dans m années
(m<n), à détenir des titres de courte maturité (m années) jusqu’à leur échéance puis à
acheter aussitôt des titres de maturité (n-m) années.
Exemple n° 15 :
Supposons qu’à la date t la courbe des taux de rendement à maturité est plate à 5%. Un
gérant de portefeuille souhaite investir de l’argent pour une durée de 5 ans, mais il anticipe
une hausse des taux de 1% dans 1 an.
En supposant que son anticipation se concrétise, comparez la stratégie qui consiste à investir
dès le début dans une obligation d’échéance 5 ans par rapport à celle du roll over
(investissement dans une obligation d’échéance une année, puis dans une autre d’échéance
égale au reste de l’horizon d’investissement.
Solution 1 :
Il investit dans une obligation de nominal 100, de taux de coupon 5% et de prix 100. Le taux
de rendement de son investissement au bout d’un an est égal à :
(96,535 + 5 - 100) / 100 = 1.53%.
Le prix de cette obligation au bout de la première année 96,535 est inférieur à 100 à cause
de la hausse des taux. Toutefois, l’investisseur continuera de détenir cette même obligation
de taux de coupon 5% qui n’a plus que 4 ans de maturité.
Tableau n° 24 : Tableau des flux de l’obligation d’échéance 5 ans
Années
0
1
2
3
4
5
Flux
-100
5
5
5
5
105
Le taux de rendement au bout de la 5ème année, étant donné un taux de réinvestissement
de 6%, est égal à 5,09%
Solution 2
Le gérant adopte la stratégie de «roll-over». Il achète donc une obligation de montant
nominal 100, de maturité 1 an et achète dans un an une obligation de maturité 4 ans et de
taux de coupon équivalent au taux de rendement du marché dans un an. Le taux de
rendement de son investissement au bout d’un an est égal à :
(105 - 100) / 100 = 5%
55
Gestion obligataire
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Le gérant tire un rendement de 5% la 1ère année puis achète une obligation de taux de
coupon 6% et de maturité 4 ans. En supposant que le taux de rendement reste stable à 6%
au cours des 4 années suivantes et que les flux intermédiaires sont réinvestis au taux annuel
de 6%, on obtient les flux suivants :
Tableau n° 25 : Tableau des flux du roll over
Dates
0
1
2
3
4
5
Flux
-100
5 = (+5+100-100)
6
6
6
106
Le taux de rendement final étant donné le roll over est égal à 5,8%
Cette solution 2 procure un rendement supérieur à celui de la première.
Remarque :
Les obligations considérées n’ont pas la même échéance et l’adoption de la stratégie du roll
over nécessite la combinaison de plusieurs obligations. Dans l’hypothèse d’anticipation de
hausse des taux d’intérêt, le choix doit porter toujours sur les obligations d’échéance plus
courte (donc de duration plus courte si toutes étant égales par ailleurs). Cette stratégie n’est
donc pas en contradiction avec celle basée sur les durations.
5.1.2. La stratégie du « Riding the Yield Curve » :
C’est une technique qu’un gérant de portefeuille adopte dans un environnement caractérisé
par une courbe de taux ascendante et supposée ne pas changer d’une année à l’autre.
Pour un horizon de placement de x années, l’idée est d’acheter des titres de maturité égale
à y années (avec y > x) et de les revendre x années plus tard. Lorsque les hypothèses sur la
courbe des taux se réalisent, ce placement procure un taux de rendement plus élevé que
celui donné par un placement qui aurait consisté à acheter un titre de maturité égale à x
années et de le porter jusqu’à maturité.
Exemple n° 16 :
Considérons les 3 obligations zéro coupon suivantes et calculons leurs prix à la date T = 0, et
un an plus tard (en T = 1) en supposant que la courbe des taux reste inchangée.
Tableau n° 26 : Prix et rendement des obligations à T= 0 et T = 1
T=0
Prix T=0
Prix T=1
Rendement
1 an
3%
97.08
100
3% = 100/97,08
2 ans
4%
92.46
97.08
5% = 97,08/92,46
3 ans
5%
86.38
92.46
7.04% = 92,46/86,38
Quand on n’anticipe aucun mouvement de la courbe et que celle-ci est ascendante, on
achète l’obligation d’échéance la plus longue et on la revend à l’horizon initial de notre
placement. Donc, l’achat de l’obligation 3 et sa revente en fin de première année constitue
56
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
l’investissement le plus rentable (7,04%) contre 5% si on achète l’obligation 2 et 3% si on
investit dans l’obligation 1.
Exemple n° 17 :
A la date t=0, considérons 5 obligations de même nominal 100 et taux de coupon annuel 6%,
ainsi que la courbe des taux zéro-coupon suivante :
Maturité
Taux zéro coupon
Tableau n° 27 : Taux zéro coupon
1
2
3
3,90%
4,5%
4,9
4
5,25%
5
5,60%
Calculons la valeur de ces obligations aux dates t = 0 et t = 1 (un an plus tard) en supposant
que la courbe des taux zéro-coupon reste inchangée.
Tableau n° 28 : Prix des obligations à T= 0 et T = 1
Un gérant de portefeuille qui a un certain capital à sa disposition pour un an, a deux options:
Soit investir ce montant dans une obligation de maturité 1 an et obtenir un
rendement de (106 – 102,021) / 102,021 = 3,9%
Soit mettre en place la stratégie “riding the yield curve” en supposant que la courbe
des taux zéro-coupon ne va pas bouger au cours du temps.
Dans ce cas, il a 4 solutions possibles :
Stratégie 1 : acheter l’obligation de maturité 2 ans et la revendre dans 1 an et obtenir
un rendement de (6 + 102,021 – 102,842) / 102,842 = 5,036%
Stratégie 2 : acheter l’obligation de maturité 3 ans et la revendre dans 1 an et obtenir
un rendement de (6 + 102,842 – 103,098) / 103,098 = 5,571%
Stratégie 3 : acheter l’obligation de maturité 4 ans et la revendre dans 1 an et obtenir
un rendement de (6 + 103,098 – 102,848) / 102,848 = 6,077%
Stratégie 4 : acheter l’obligation de maturité 5 ans et la revendre dans 1 an et obtenir
un rendement de (6 + 102,848 – 102,077) / 102,077 = 6,633%
Il est clair que la meilleure stratégie est la dernière.
5.1.3. Les stratégies basées sur les déplacements de la courbe de taux :
57
Gestion obligataire
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Elles n’impliquent pas de changer la duration de l’intégralité d’un portefeuille sur l’ensemble
des maturités, mais visent plutôt une sur ou sous-pondération d’une sélection de maturités.
5.1.3.1. Les différents types de déplacement de la courbe de taux :
Il existe deux types de déplacements de la courbe des taux : les mouvements parallèles et
les non parallèles. Les déplacements parallèles surviennent lorsque le changement de taux
est le même pour toutes les échéances (court et moyen et long terme). Les déplacements
non parallèles se produisent lorsque la variation du taux d’intérêt est différente d’une
échéance à l’autre. On distingue surtout deux types de déplacements non parallèles : les
twists et les déplacements en papillon (butterfly) Dans le second cas, on parle
d’aplatissement, de raidissement ou de papillon.
On parle de déplacements en twists lorsqu’on anticipe l’un des mouvements suivants de la
courbe :


Un aplatissement, lorsque l’écart entre les taux longs et les taux courts diminue ;
Un raidissement, lorsque l’écart entre ces deux catégories de taux augmente.
Des déplacements en papillon sont anticipés si l’augmentation (la baisse) des taux d’intérêt
à court terme et à long terme est supérieure (inférieure) à la variation des taux
intermédiaires. Ainsi, on distingue des déplacements en papillon positifs (augmentation des
taux court et long mais aucune ou de faibles variations dans les taux intermédiaires) et des
déplacements en papillon négatifs (baisse des taux courts et longs mais aucune ou très faible
variation des taux à moyen terme).
5.1.3.2. Les stratégies basées sur le déplacement de la courbe des taux :
Ces stratégies visent à profiter des anticipations relatives aux mouvements à court terme des
taux d’intérêt, la source de rendement étant liée au changement de prix de chacune des
obligations constituant le portefeuille. Ainsi, sur un horizon d’un an, suite à un mouvement
de la courbe des taux, un portefeuille constitué à raison de 50 % d’obligations d’échéance 30
ans et de 50 % d’obligations d’échéance 1 an, aura un rendement différent de celui d’un
portefeuille composé uniquement d’obligations d’échéance 5 ans.
58
Gestion obligataire
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Il existe trois types de stratégies basées sur le déplacement de la courbe des taux :
• La stratégie bullet (balle de fusil)
Elle consiste à composer un portefeuille avec des obligations dont les échéances sont
fortement concentrées sur une partie de la courbe des taux d'intérêt. Par exemple, un
portefeuille composé à 60% d'obligations d'échéance 10 ans, 20% d'obligations d'échéance
9 ans et 20% d'obligations d'échéance 11 ans, constitue un bullet.
• La stratégie barbell (Haltères)
La stratégie barbell consiste à constituer un portefeuille composé d'obligations dont les
échéances sont fortement concentrées en deux points extrêmes de la courbe des taux. Par
exemple, un portefeuille composé à 50% d'obligations d'échéance 5-6 ans et 50%
d'obligations d'échéance 25-30 ans constitue un barbell.
• La stratégie ladder (Échelle)
La stratégie ladder consiste à constituer un portefeuille composé d'obligations dont les
échéances sont réparties à intervalles réguliers sur toute la courbe des taux. Par exemple,
un portefeuille composé d’obligations d’échéances 5 ans pour un tiers, 10 ans pour un
deuxième tiers et 20 ans pour le reste.
Remarques :



La performance de ces stratégies diffère en fonction des déplacements de la courbe
des taux. Elle dépend du type de déplacement et de l’ampleur de la variation.
Il n’existe aucune stratégie qui soit optimale quel que soit le mouvement de la courbe
des taux.
On peut combiner des bullets et des barbels pour former des papillons (butterflys).
A) Les stratégies bullet, barbell et ladder :
Nous allons dans ce qui suit nous limiter uniquement à la comparaison des stratégies bullet
et barbell et la démarche est la même si on veut étendre la comparaison à la stratégie Ladder.
Exemple n° 18 :
Pour analyser la performance des deux premiers types de stratégies (bullet et barbell),
considérons les deux portefeuilles suivants :
• Un portefeuille Bullet composé à 100 % d’obligations d’échéance 10 ans, un taux de
coupon de 9,25 %, un taux de rendement à l’échéance (TRE) de 9,25 %, une duration de
6,935 et une convexité de 55,4506.
• Un portefeuille Barbell composé à raison de :
- 50,5 % d’obligations d’échéance 5 ans, de coupon 8,50 %, de TRE 8,50 %, de duration
4,276 et de convexité 19,8164 ;
59
Gestion obligataire
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-
49,5 % d’obligations d’échéance 20 ans, de coupons 9,50 %, de TRE 9,50 %, de
duration 9,650 et de convexité 124,1702.
Le taux de rendement à l'échéance du bullet est donc de 9,25 %. Sa duration est de 6,935 et
sa convexité est de 55,4506.
Le taux de rendement à l'échéance du portefeuille barbell est de :
(50,5%*8,50%*4,276 + 49,5%*9,50%*9,650) / (50,5%*4,276 + 49,5%*9,650) = 9,19%
La duration de ce portefeuille est de : 50,5%*4,276 + 49,5%*9,650 = 6,935.
La convexité du barbell est de : 50,5 %*19,8164 + 49,5 %*124,1702 = 71,4716.
Il y a lieu de noter que les durations des deux portefeuilles sont identiques mais leurs
convexités ainsi que leurs taux de rendement à l’échéance sont différents (le portefeuille
Barbell a le rendement le moins élevé mais la convexité la plus grande). On dit que la
différence entre les deux taux de rendement représente le prix de la convexité.
Pour un horizon de placement de 6 ans, lequel des deux portefeuilles faut-il choisir ?
Les deux portefeuilles ont la même duration mais le bullet a un TRE plus élevé et une
convexité moins grande. Pour pouvoir faire le choix, il faut déterminer le rendement total
de chacun des portefeuilles suite à différents déplacements de la courbe des taux.
Cas des variations parallèles de la courbe des taux :
-
-
Même avec des durations identiques (6,434), les deux portefeuilles ne donnent pas
le même rendement suite à un déplacement de la courbe des taux. L’écart est dû à
une convexité différente.
Le bénéfice d’une convexité plus élevée dépend de l’amplitude des variations de taux
Illustration : Déterminer l’effet sur le prix des deux portefeuille d’une variation des taux
d’intérêt de +0.1%, +0.25%, +0.5%, +1% et +3%
Tableau n° 29 : Comparaison de l’effet de différentes variations de taux d’intérêt
sur la valeur des deux portefeuilles
Les résultats obtenus montrent que :
- Les petites variations ont le même effet sur la valeur du portefeuille qu’elles soient
positives ou négatives.
- Les fortes variations affectent plus positivement (moins négativement) les
portefeuilles à convexité élevée lorsqu’elles sont négatives (positives).
Cas des variations non parallèles de la courbe des taux :
60
Gestion obligataire
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•
Supposons un aplatissement de la courbe des taux où le TRE des obligations à
échéance intermédiaire change de x%, le TRE des obligations de courte échéance change de
x% + 25bp et le TRE des obligations de longue échéance change de x% - 25bp.
Tableau n° 30 : Comparaison de l’effet de différentes variations de taux d’intérêt
sur la valeur des deux portefeuilles
Dans ce cas, la performance du portefeuille barbell sera toujours supérieure à celle du bullet
(quel que soit x). L’écart de performance est plus net en cas de baisse de taux. Ce résultat
est lié à la convexité du portefeuille barbell qui est plus élevée.
•
Supposons un raidissement de la courbe des taux où le TRE des obligations à
échéance intermédiaire fluctue de x%, le TRE des obligations de courte échéance change de
x% - 25bp et le TRE des obligations de longue échéance varie de x% + 25bp.
Tableau n° 31 : Comparaison de l’effet de différentes variations de taux d’intérêt
sur la valeur des deux portefeuilles
Situation
initiale
X= -5%
X=-3%
X=-1%
X=0%
X=1%
X=3%
X=8%
Titre court
10,5
123,873
113,974
105,091
100.992
97,102
89,900
74,772
Titre
intermédiaire
ou Portefeuille 1
(Bullet)
100
140,054
121,821
106,535
100
93,921
83,221
63,068
Titre long
100
160,471
129,708
106,970
97.835
89.881
76.822
55.291
Portefeuille 2
(Barbell)
100
141,989
121,762
106,021
99.429
93,528
83,427
65,129
Différence de
performance
entre Barbell et
Bullet
-
+1,935
-0,059
-0,514
-0.571
-0,393
+0,206
+2,061
61
Gestion obligataire
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Dans ce cas, la performance d’un portefeuille dépend de l’ampleur de la variation des taux
et du changement de la forme de la courbe. Le portefeuille barbell surclasse le bullet lorsque
l’ampleur de la variation est grande et vice versa lorsque la pentification ou le raidissement
est de faible ampleur.
. Supposons un déplacement de la courbe en papillon :
Cas de papillon positif : les taux court et long augmentent de x% alors que les taux
intermédiaires baissent d’autant. Ce type de variation est profitable au portefeuille
bullet qui est formé de titres intermédiaires et désavantageux pour le portefeuille
barbell qui est constitué de titres courts et longs.
Cas de papillon négatif : les taux court et long diminuent de x%, alors que les taux
intermédiaires augmentent d’autant. Ce type de variation est profitable au
portefeuille barbell qui est formé de titres courts et longs mais défavorable au
portefeuille bullet qui est constitué de titres intermédiaires.
-
-
B) Les stratégie butterfly :
Il est possible de bâtir des stratégies d’arbitrage combinant l’acquisition d’un barbell et la
cession d’un bullet. Cette stratégie appelée butterfly constitue une combinaison de barbell
(les ailes) et de bullet (le centre) et a pour but de tirer profit des mouvements de
pentification ou d’aplatissement de taux.
Il existe de nombreux types de butterfly, tous à sensibilité nulle, de façon à être globalement
neutres à tout mouvement de la courbe des taux (parallèle, aplatissement ou pentification).
Un seul type de ces butterfly est à décaissement nul alors que les autres nécessitent
d’investir de l’argent.
Nous considérons d’abord un cadre simpliste où la courbe des taux n’est affectée que par
des mouvements parallèles. Dans ce contexte où les taux d’intérêt ne sont affectés que par
des mouvements parallèles, la stratégie est construite de façon à avoir une convexité
positive. Dans ce cas, on est sûr que la stratégie permettra de gagner de l’argent quelle que
soit l’évolution des taux d’intérêt.
Exemple n° 19 :
Nous considérons les trois obligations suivantes et construisons le butterfly de telle façon
qu’il soit neutre en sensibilité et à décaissement nul sachant que l’on souhaite vendre 1000
obligations de maturité 5 ans.
Tableau n° 32 : Caractéristiques des obligations disponibles
Maturité
Coupon
Taux de rendement
Prix
Sensibilité
Quantité
2
5%
5%
100
-1,853
Q1
5
10
5%
5%
5%
5%
100
100
-4,328
-7,722
Q2 = 1000
Q3
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Gestion obligataire
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Formellement, on cherche les quantités Q1 et Q3 telles que :
(Q1 * 1,853 * 100) + (Q3 * 7,722 * 100) = (1000 * 4,328 * 100)
(Q1 * 100) + (Q3 * 100) = (1000 * 100)
D’où : Q1 = 578,65 et Q3 = 421,35
Nous traçons le profil de gain et perte du butterfly dépendant de la nouvelle valeur du taux.
Nous constatons que le “butterfly” ainsi constitué a une convexité positive puisque la
stratégie réalise un gain quelle que soit la nouvelle valeur du taux de rendement. Par
exemple, si le taux de rendement s’établit à 4%, le gain est égal à 57DT.
Gain de
Stratégie
Rendement
à l’échéance
2%
4%
6%
8%
10%
12%
Graphique n° 3 : Gain de la stratégie en fonction du niveau des taux d’intérêt
Nous nous sommes situés jusque-là dans un cadre réducteur où la courbe des taux n’est
affectée que par des mouvements parallèles. Nous nous plaçons maintenant dans un cadre
plus large où la courbe des taux peut être affectée potentiellement par les trois principaux
mouvements de déformation, niveau, pente et courbure.
Nous envisageons dans un premier temps les 4 différents types de butterfly.
-
Le butterfly à décaissement nul
Le butterfly à $duration équi-répartie sur les ailes31
Le butterfly à $duration ajustée par la volatilité des taux
Le butterfly à $duration ajustée par la maturité des obligations
31
On appelle $Duration le produit de la duration modifiée (ou sensibilité) par le prix.
La Duration Modifiée permet de déterminer le gain relatif (ou perte relative), d’où :
Gain relatif (perte relative) = - Duration Modifiée * Mouvement du taux
La $Duration permet de calculer le gain absolu ou la perte absolue du porteur de l’obligation suite à un
mouvement de taux, d’où :
Gain absolu (perte absolue) = - Duration Modifiée * Prix (avant mouvement) * Mouvement du taux
= $Duration * Mouvement du taux
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Gestion obligataire
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Rappelons qu’un butterfly est toujours de sensibilité égale à zéro et que la quantité investie
dans le bullet est fixée au départ.
Nous considérons les obligations aux caractéristiques suivantes :
Tableau n° 33 : Caractéristiques des obligations disponibles
Segment
Court
Moyen
Long
-
Prix
P1
P2
P3
Sensibilité
S1
S2
S3
Quantité
Q1
Q2 = a
Q3
Stratégie à décaissement nul :
On cherche à déterminer les quantités Q1 et Q3 telles que :
(Q1 * S1 * P1) + (a * S2 * P2) + (Q3 * S3 * P3) = 0
(Q1 * P1) + (a * P2) + (Q3 * P3) = 0
La particularité de cette stratégie est qu’elle ne réclame pas de mise initiale.
Les trois autres stratégies ne sont pas à décaissement nul.
-
Stratégie à $duration équi-répartie sur les ailes :
On cherche à déterminer les quantités Q1 et Q3 telles que :
(Q1 * S1 * P1) + (a * S2 * P2) + (Q3 * S3 * P3) = 0
(Q1 * S1 * P1) + (Q3 * S3 * P3) = (a * S2 * P2) / 2
Si la différence entre les variations de taux de rendement du centre et de l’aile courte
(obligation de courte maturité) est égale à la différence entre les variations de taux de
rendement de l’aile longue et du centre, le butterfly ainsi construit est insensible à des
mouvements de pentification ou d’aplatissement de la courbe.
Supposons, par exemple, que les taux de rendement initiaux des 3 obligations de maturité
courte, moyenne et longue sont respectivement 4.5%, 5.5% et 6%. S’ils varient et deviennent
4.2%, 5.5% et 6.3% (mouvement de pentification) ou 4.8%, 5.5% et 5.7% (mouvement
d’aplatissement), la différence entre les variations de taux du centre et de l’aile courte est
égale à 0.3%, de même que la différence entre les variations de taux de l’aile longue et du
centre. Dans ce cas, le butterfly construit est insensible aux déformations de la courbe.
-
Stratégie à $duration ajustée par la volatilité des taux :
On cherche à déterminer les quantités Q1 et Q3 telles que :
(Q1 * S1 * P1) + (a * S2 * P2) + (Q3 * S3 * P3) = 0
(Q1 * S1 * P1) * 1/b = (Q3 * S3 * P3)
64
Gestion obligataire
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Les taux courts sont plus volatiles que les taux longs. On peut donc s’attendre à ce que la
différence entre les variations de taux de rendement du centre et de l’aile courte soit
supérieure à la différence entre les variations de taux de rendement de l’aile longue et du
centre. Le coefficient b est calculé par un modèle de régression entre les variations de la
différence de taux de rendement du centre et de l’aile courte et les variations de la différence
de taux de rendement de l’aile longue et du centre.
Les valeurs obtenues pour le coefficient b dépendent de la fréquence des données utilisées
(quotidienne, hebdomadaire ou mensuelle) et naturellement de la période historique
étudiée.
Notons que le butterfly à $duration équi-répartie sur les ailes correspond à un «butterfly» à
$duration ajustée par la volatilité des taux qui aurait un coefficient b égal à 1.
Supposons que l’on obtienne une valeur de 0.5 pour le coefficient de régression, cela signifie
que si la différence entre les variations de taux de rendement du centre et de l’aile courte
est deux fois plus importante que la différence entre les variations de taux de rendement de
l’aile longue et du centre, le «butterfly» ainsi construit est insensible à des mouvements de
pentification ou d’aplatissement de la courbe.
Supposons par exemple que les taux de rendement initiaux des 3 obligations de maturité
courte, moyenne et longue sont respectivement 4.5%, 5.5% et 6%.
S’ils varient et deviennent 4.2%, 5.5%, 6.15% (mouvement de pentification) ou 4.8%, 5.5% et
5.85% (mouvement d’aplatissement), la différence entre les variations de taux du centre et
de l’aile courte est égale à 0.3%, soit deux fois plus élevée que la différence entre les
variations de taux de l’aile longue et du centre.
Dans cette hypothèse, le butterfly ainsi construit est insensible aux déformations de la
courbe.
-
Stratégie à $duration ajustée par la maturité des obligations :
On cherche à déterminer les quantités Q1 et Q3 telles que :
(Q1 * S1 * P1) + (a * S2 * P2) + (Q3 * S3 * P3) = 0
(Q1 * S1 * P1) = -a * (M2 – M1) * S2 * P2
(M3 – M1)
(Q3 * S3 * P3) = -a * (M3 – M2) * S2 * P2
(M3 – M1)
Où, M1, M2 et M3 sont les maturités respectives des obligations courte, moyenne et longue.
Ce produit est construit dans le même esprit que le butterfly à $duration ajustée par la
volatilité des taux. En fait, il correspond à un butterfly à $duration ajustée par la volatilité
des taux qui aurait pour coefficient de régression :
65
Gestion obligataire
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b * (M2 – M1)
(M3 – M2)
Exemple n° 22 :
Nous considérons trois obligations aux caractéristiques suivantes :
Tableau n° 34 : Caractéristiques des obligations disponibles
Echéance
Taux de rendement
Prix
Quantité
Sensibilité
2 ans
4,5%
100,936
Q1
-1,869
5 ans
5,5%
97,865
-10 000
-4,304
10 ans
6%
92,64
Q3
-7,568
Nous construisons les 4 types de butterfly de la façon suivante:
- Nous vendons 10 000 obligations de maturité de 5 ans.
- Nous achetons Q1 obligations de maturité 2 ans et Q3 obligations de maturité 10 ans.
- Nous considérons un coefficient b égal à 0,5 pour le butterfly à $duration ajustée par
la volatilité des taux :
Les résultats obtenus en termes de quantités Q1 et Q3 dans le barbell sont les suivantes :
1234-
Butterfly à décaissement nul : Q1 = 5553.5 et Q3 = 4513.1
Butterfly à $duration équi-répartie sur les ailes : Q1 = 11165.7 et Q3 = 3003.5
Butterfly à $duration ajustée par la volatilité des taux : Q1 = 7443.8 et Q3 = 4004.7
Butterfly à $duration ajustée par la maturité des obligations : Q1 = 8374.3 et Q3 =
3754.4
Analyse de la stratégie mise en place :
Quand un gérant de portefeuille met en place une stratégie, il a besoin de savoir ce qu’il va
gagner dans le scénario de déformation de la courbe des taux qu’il anticipe. Mais comme il
n’est pas sûr que son scénario se réalise, il a aussi besoin de mesurer le risque qu’il prend si
ce scénario ne se réalise pas dans les faits. Pour cela, il met en place un outil qui lui permet
d’envisager tous les scénarios possibles de déformation de la courbe des taux.
Cet outil appelé analyse par scénario lui permet de calculer :


le taux de rendement le plus défavorable suite à la mise en place de la stratégie
d’investissement ;
le taux de rendement moyen et son écart-type en prenant en compte l’ensemble des
scénarios possibles de déformation de la courbe.
L’analyse par scénario est généralement implémentée en deux étapes :
66
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________


D’abord, le gérant de portefeuille imagine les différents scénarios possibles de
déformation de la courbe jusqu’à un horizon donné (son horizon d’investissement)
et calcule les taux de rendement de sa stratégie sous chacun des scénarios.
Ensuite, il donne des probabilités de réalisation à chacun des scénarios et calcule
l’espérance et l’écart-type du taux de rendement de sa stratégie.
Exemple n° 20 :
Considérons à la date t = 0,
-
La courbe des taux zéro-coupon suivante :
Tableau n° 35 : Taux zéro coupon
Maturité
1 an
2 ans
3 ans
4 ans
5 ans
Taux zéro coupon
4%
4,25%
4,75%
5%
5,2%
-
et le portefeuille obligataire suivant :
Tableau n° 36 : Caractéristiques des obligations du prtefeuille
Obligation
Maturité
Taux de coupon
Prix
Quantité
1
1 an
4%
100
1000
2
3 ans
6%
103,51
1000
3
5 ans
5%
99,36
1000
Un gérant de portefeuille qui a un horizon d’investissement d’un an imagine six scénarios
différents de déformation de la courbe des taux à cet horizon :
Tableau n° 37 : Les différents scénarii de déformation de la courbe des taux
Taux zéro-coupon
1 an
2 ans
3 ans
4 ans
5 ans
Hausse en niveau
5%
5,5%
5,75%
6%
6,2%
Baisse en niveau
3%
3,5%
3,75%
4%
4,2%
Inchangé
4%
4,25%
4,75%
5%
5,2%
Aplatissement
4,3%
4,6%
4,75%
4,85%
5%
Pentification
3,8%
4,3%
4,75%
5,2%
5,5%
Courbure
4,2%
4,5%
4,75%
5%
5,1%
Il calcule le taux de rendement de son portefeuille à l’horizon d’un an pour chacun des
scénarios :
Tableau n° 38 : Rendement des obligations et du portefeuille selon les différents scénarii
Scénario
Obligation 1
Obligation 2
Obligation 3
Portefeuille
Hausse en niveau
4%
3,32%
2,30%
3,21%
Baisse en niveau
4%
7,02%
9,45%
6,82%
Inchangé
4%
5,59%
5,82%
5,14%
67
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Aplatissement
4%
4,95%
6,27%
5,07%
Pentification
4%
5,51%
5,16%
4,89%
Courbure
4%
5,13%
5,79%
4,97%
En supposant que tous les scénarios sont équiprobables, l’espérance du taux de rendement
du portefeuille et son écart-type s’établissent à :
E(R) = 5,02%
Ecart type = 1,045%
5.1.4. Les stratégies basées sur les notations de crédit et les devises :
5.1.4.1. Les stratégies basées sur les notations de crédit (ou les écarts de taux) :
Le marché des obligations peut être subdivisé selon différents critères : le type de l’émetteur
(souverain, corporate, …), la qualité (AAA, AA, A, BBB), l’échéance (au plus 1 an, 5 ans, 10
ans, 20 ans, 30 ans, perpétuité).
Les stratégies basées sur l’écart de crédit ou de taux consistent à tirer profit d’une
anticipation de changement de l'écart de rendement entre deux ou plusieurs compartiments
du marché. On désigne donc par swap inter-marché l’échange d’une obligation par une
autre lorsque l’investisseur croit que l'écart de rendement entre les deux obligations de
différents segments du marché est anormal et qu’il anticipe une correction sur la période
d’investissement.
Considérons l'écart de crédit qui constitue la différence entre le TRE de deux obligations qui
ne diffèrent l'une de l'autre que par la cote de crédit de leur émetteur. Cet écart varie en
fonction des anticipations de changement de la situation économique. Il augmente en
période de récession ou de crise financière et diminue en période de croissance économique.
Le swap inter marché permet de tirer profit de ces variations dans l’écart de crédit en
procédant à une prévision du cycle économique.
Il faut aussi noter :
- que l'écart de crédit dépend du niveau général des taux d’intérêt32. Plus le niveau
général des taux d’intérêt est élevé plus l’écart de taux est grand et vice-versa.
- qu'un swap inter-marché pur nécessite le maintien de la même duration des
obligations échangées. En d’autres termes, le gestionnaire ne doit pas prendre une
bonne décision en termes d'écart de taux inter-marché au prix d’une mauvaise
décision en termes d'exposition aux variations des taux d’intérêt.
5.1.4.2. Les stratégies basées sur les devises :
32
Il augmente avec le niveau général des taux. C’est ainsi qu’au début des années 80 par exemple, les écarts de
crédit étaient beaucoup plus élevés que de nos jours.
68
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Des différentiels de taux de rendement (ou de spreads) peuvent exister entre les obligations
domestiques et celles libellées dans d’autres devises. Plusieurs raisons peuvent expliquer ces
écarts, par exemple des décalages en matière de cycles économiques, des écarts entre les
anticipations inflationnistes, des prévisions d’évolution des taux d’intérêt différentes, etc...
Les anticipations sont au cœur de cette approche. Par exemple, un investisseur qui pense
qu’une devise va s’apprécier et que les marchés lui donnent raison, bénéficiera à la fois de
la hausse du rendement (baisse des taux d’intérêt) et de l’effet du taux de change.
5.1.5. Les stratégies basées sur les caractéristiques propres à chaque obligation
Elles consistent à identifier des obligations sous-évaluées ou surévaluées par rapport à
d’autres obligations de mêmes caractéristiques (même coupon, même échéance, même
qualité de risque, mêmes clauses de remboursement ou de rachat, etc. mais un taux de
rendement différent).
Un swap dans lequel le gestionnaire de portefeuille échange une obligation par une autre
ayant les mêmes caractéristiques est appelé swap de substitution. Ce swap est souvent
motivé par des écarts injustifiés ou des anomalies de marché.
Exemple n° 21 :
On considère les trois obligations suivantes avec les cash flows correspondants :
Tableau n° 39 : Caractéristiques des obligations
Obligation
Prix
CF1
CF2
CF3
A
900
1000
-
-
B
820
-
1000
C
725
1000
A partir de ces cash flows, on peut déduire les taux d’intérêts spot suivants :
r0,1 = 11.11%
r0,2 = 11.43%
r0,3 = 11.32%
De cette structure des taux spot, on peut extraire les taux à terme :
r1,2 = 9.75% = ř1,2
r2,3 = 13.12% = ř2,3
C’est ce que le marché anticipe conformément à la théorie des anticipations pures.
Examinons l’obligation D dont les cash-flows annuels se présentent comme suit : CF1 = 100,
CF2 = 100 et CF3 = 1100.
Prix d’équilibre de cette obligation= 100 (1.1111)-1 + 100 (1.1143)-2 + 1100 (1.1132)-3 = 969.41
69
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Si le prix de marché de cette obligation est = 950, l’obligation est alors sous-évaluée33.
Soit R1 : le rendement sur une période de cette obligation qui est sous-évaluée :
= c + (P1 – P0)
P0
Prix anticipé dans un an :
P1 = 100 (1.0975)-1 + 1100 (1.0975) –1 (1.1312) –1 = 977,15
R1 = (100 + 977.15) – 950 = 13.38%
950
Récapitulation :
- rendement sous forme de coupon = 100 / 950 =
- rendement lié au changement de la valeur d’équilibre =
(977.15 – 969.41) / 950 =
- rendement lié à la sous-évaluation = (969.41 – 950) / 950 =
Total =
10.53%
0.81%
2.04%
13.38%
Si l’obligation avait été correctement prisée à l’origine :
R1 = 100 + (977.15 – 969.41) = 11.11%
969.41
La gestion active des obligations implique donc la sélection des titres sous-évalués. D’autres
stratégies peuvent être basées sur l’anticipation de l’évolution des taux d’intérêt « stratégies
de timing », pour lesquelles s’il est anticipé que :


les taux d’intérêts augmentent, les prix des obligations doivent baisser, la stratégie
consiste alors à acheter des obligations de courte échéance et à gros coupons.
les taux d’intérêts baissent, les prix des obligations doivent augmenter, la stratégie
consiste alors à acheter des obligations à échéance plus lointaine et à faibles coupons.
5.2. Les stratégies de gestion passive de portefeuille obligataire :
Les deux grandes classes de stratégies de gestion passive de portefeuille obligataire sont la
gestion indicielle et l'immunisation de portefeuille.
5.2.1. La gestion indicielle d’un portefeuille obligataire :
Elle consiste à former un portefeuille afin de reproduire la performance d’un indice
obligataire 34 . On distingue différentes techniques de réplication, la plus simple implique
33
Lors de la détermination du prix d’équilibre de l’obligation D, l’actualisation de chacun des cash-flows a été
effectuée moyennant un taux d’actualisation (taux spot) différent. Ces différents taux pourraient être remplacés
par un taux unique appelé taux actuariel.
100 (1.1111)-1 + 100 (1.1143)-2 + 1100 (1.1132)-3 = 969.41 = 100 (1+k) -1 + 100 (1+k) -2 + 1100(1+k) -3.
→
k = 11.28%
34
Un indice d'obligations est une valeur composite pour un panier d'obligations ayant des caractéristiques
similaires, telles que la maturité (court, moyen ou long terme), le type d'émetteur (gouvernement ou entreprise)
70
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
de reproduire de manière précise l’indice cible35 et de détenir tous les titres de cet indice
dans leurs exactes proportions. Une fois la réplication achevée, il est nécessaire de procéder
à des transactions dans le portefeuille chaque fois que la composition de l’indice change36.
Beaucoup de titres de l’indice sont insuffisamment liquides et la composition de l’indice
change régulièrement au fur et à mesure que des titres arrivent à maturité. C’est pourquoi,
cette approche pose un double problème, celui du risque de réplication et de risque de suivi.
Les erreurs de réplication peuvent découler:








Du grand nombre d'obligations qui composent les principaux indices obligataires ;
D’une pondération différente des titres par rapport à l’indice ciblé ;
De l’indisponbilité de certains titres et des problèmes de liquidité liés au niveau de
développement du marché secondaire des obligations ;
Des différences entre les prix utilisés pour calculer la valeur de l'indice et ceux
auxquels l'investisseur peut acquérir ces titres sur le marché.
Des multiples modifications de l'indice du fait de nouvelles émissions, de la
disparition d’obligations qui arrivent à échéance (en dépit du fait que
généralement, celles qui arrivent à échéance dans moins d'un an sont éliminées dès
le début de la plupart des indices), etc… ;
Des différences entre les taux de réinvestissement des coupons utilisés dans le
calcul du rendement de l'indice et ceux auxquels l'investisseur a réellement accès ;
De la réallocation retardée comparativement à l’indice ou de l’”Indexing” enrichi
lorsque le gestionnaire veut tenter de «déjouer» le marché ;
Des frais de gestion.
ou la qualité de crédit. Ces indices servent à mesurer la performance globale du marché obligataire et de ses
sous-sections. La valeur d'un indice représente la valeur composite des obligations qui constituent l'indice,
pondérées conformément à la capitalisation du marché. Les taux de variation de cette valeur, à la hausse ou à
la baisse dans le temps, peuvent renseigner sur les tendances et les conditions du marché. Le rendement total
d'un indice obligataire peut servir de référence aux investisseurs et aux gestionnaires de fonds obligataires pour
mesurer les performances d'un portefeuille similaire d'obligations.
35
Il existe plusieurs indices obligataires qui peuvent être répliqués. Certains sont connus, d’autres le sont
beaucoup moins. Des maisons de courtage rivalisent d'ardeur pour produire et mettre sur le marché des indices
obligataires. Aux États-Unis, les trois indices obligataires les plus connus et qui couvrent l'ensemble du marché
obligataire sont : - L'indice agrégé de Lehman Brothers (il compte plus de 6500 obligations) - L'indice obligataire
BIG (Broad Investment-Grade) de Salomon Brothers (il compte plus de 5000 obligations) - Merrill Lynch
Domestic Market Index. On distingue également plusieurs indices spécialisés dans des compartiments ou soussecteurs précis du marché obligataire. Par exemple, il y a l'indice des obligations gouvernementales de Lehman
Brothers, l'indice des obligations Yankee de Lehman Brothers, l'indice des obligations Brady de Salomon
Brothers et l'indice des obligations convertibles 100 de Goldman Sachs. En Europe, il y a l’indice EuroMTS des
emprunts d’Etat de la zone euro.
36
Ce type d’approche convient mieux aux actions étant donné que les changements que connait un portefeuille
obligataire sont plus nombreux. En effet, contrairement aux actions les obligations ont généralement des
durées de vie limitées et parfois très courtes.
71
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Le risque de suivi ou « tracking error » est une mesure relative de la déviation du portefeuille
de réplication par rapport à l’indice de référence. Cette mesure indique le risque de voir la
performance du portefeuille dévier de celle de l’indice de référence37.
Une alternative naturelle à l’approche simple décrite ci-dessus, est l’échantillonnage stratifié
(ou la réplication des attributs de l’indice). Pour répliquer un indice selon cette méthode, il
s’agit de pouvoir représenter toutes ses caractéristiques importantes avec moins de titres38.
Au lieu d’acheter tous les titres de l’indice, on se limite à quelques titres représentants ses
caractéristiques essentielles.
Enfin, les modèles de risque nous permettent de répliquer des indices en créant des
portefeuilles de “tracking error” minimale (réplication des rendements de l’indice). Cette
technique de réplication implique deux étapes séparées qui sont l’estimation de la matrice
de covariance des rendements des titres et l’utilisation de cette matrice pour l’optimisation
de la “tracking error”.
La procédure d’optimisation consiste à :
– Créer un portefeuille de N titres individuels,
– Choisir les poids de ces titres wi dans le portefeuille de façon à répliquer aussi étroitement
que possible le rendement de l’indice cible.
n
n
2
Min Var (Rp – RB) = ∑ wi wJ σij + 2∑ wi σiB + σB
w ,.., w
i
n
i, j=1
i=1
S/C
n
Rp = ∑ wi Ri
I=1
Avantages et inconvénients de la gestion indicielle :
La gestion indicielle est complexe. Elle comporte des avantages et des inconvénients :
37
La « tracking error » ou erreur de suivi représente l'écart type de la série des différences entre les rendements
du portefeuille et ceux de l'indice de référence. En effet, le but d’un fonds indiciel est de réaliser exactement la
même performance que son indice de référence, que celle-ci soit positive ou négative. Une erreur de suivi faible
signifie que la performance du fonds reste à chaque moment très proche de celle de l’indice. L'erreur de suivi
est élevée en cas d'optimisation et très faible si la méthode d'indexation retenue est la réplication totale.
38
Exemples de caractéristiques : Duration (inférieure à 5 ans, comprise entre 5 et 10 ans et supérieure à 10
ans) ; Secteurs (dette publique, dette privée) ; Notation (AAA, AA, A, BBB) ; ainsi, le nombre total de cellules
dans cet exemple est égal à 3 x 2 x 4, soit 24.
72
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
5.2.2. L’immunisation de portefeuille
Contrairement à la gestion indicielle qui vise à répliquer un indice obligataire dont la
performance n’est aucunement reliée aux engagements et besoins de l’investisseur,
l’immunisation est la protection du portefeuille contre les variations du taux d’intérêt 39 .
L’immunisation de portefeuille consiste à adopter une stratégie visant à gérer un portefeuille
de façon à satisfaire les engagements de l’investisseur, c’est-à-dire, à sélectionner des titres
générant des cash-flows supérieurs ou égaux à ses engagements. En d’autres termes, ce sont
des stratégies d’immunisation où l’engagement du client sert de référence pour évaluer la
performance du portefeuille obligataire.
On distingue généralement trois types de stratégies d’immunisation :
-
L'immunisation pour satisfaire un seul engagement ;
L’immunisation multi-périodique ;
L’appariement des flux d’encaisse lorsqu'il y a une multitude d’engagements à
honorer.
5.2.2.1. L’immunisation de portefeuille afin de satisfaire un seul engagement :
39
C'est dans les années 80 que l'immunisation, un concept apparu dans les armées 30, est revenu à la page. En
effet, le contexte économique des années 80, caractérisé par un niveau élevé des taux d'intérêt et leur grande
volatilité, a réaffirmé la nécessité pour les gestionnaires de portefeuille de mener un contrôle plus strict de ces
taux afin de ne pas être pris au dépourvu en cas de variation substantielle. C'est un tel état de fait qui explique
le passage à la stratégie de contrôle des durations qui s'est rapidement développée compte tenu du fait qu'elle
évite aux gestionnaires d'être exposé aux risques liés aux variations de taux. Ces derniers se fixent donc un
objectif de duration qu'il s'agira pour eux de respecter, les déchargeant quelque peu du fastidieux travail de
prévision des taux. Ce faisant, les gestionnaires ont plus de temps à consacrer à l'analyse des secteurs dans
lesquels investir et des valeurs à privilégier. Le souci principal du gestionnaire d'un portefeuille est d'éviter que
la valeur de son portefeuille ne soit érodée par un mouvement des taux d'intérêt, l'empêchant ainsi d'honorer
les paiements auxquels il est astreint.
73
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Certains investisseurs tels que des compagnies d’assurance, des gestionnaires de fonds de
pension, etc. peuvent avoir des échéances précises de règlement de sommes importantes.
La stratégie la plus simple, et communément utilisée consiste à acheter une obligation dont
l’échéance correspond à celle de l’engagement de l’investisseur.
Par exemple, si on a un engagement dans 10 ans, on achète une obligation à échéance 10
ans. En supposant que le risque de défaut est nul, on recevra le montant promis à la date
prévue. Cette stratégie permet d’obtenir avec certitude le montant nécessaire au moment
où on prévoit en avoir besoin.
Toutefois, même lorsqu’on connaît la valeur nominale (ou de remboursement), il y a toujours
un risque lié au réinvestissement des coupons. En effet, le rendement que réalisera un
investisseur sur une obligation dépend des coupons, du taux auquel ces coupons sont
réinvestis et du gain en capital réalisé à la fin de l’horizon d’investissement. Par conséquent:
-
-
Lorsque l’horizon d’investissement (échéance de l’obligation) correspond à
l’échéance de l’engagement, il n’y a aucun risque de prix, mais le risque concerne le
réinvestissement des coupons.
Par contre, lorsque l’horizon d’investissement est plus long que l’échéance de
l’engagement, il y a un risque de prix et un risque de réinvestissement des coupons.
L’investisseur fait donc face à deux types de risque : le risque de réinvestissement
des coupons et le risque de prix.
Illustration :
Pour simplifier l’analyse, les 3 hypothèses suivantes sont considérées :
• Les taux d’intérêt ne varient qu’une seule fois et cette fluctuation survient immédiatement
après la date d’achat du titre ;
• La courbe des taux est initialement plate ;
• Le déplacement de la courbe des taux se fait de façon parallèle.
La compagnie d’assurance vie ABC Inc. vend une police qui garantit au détenteur un taux
d’intérêt semestriel de 6,06 % tous les 6 mois (équivalent à un rendement annuel de 12,5 %)
pour une période de 5,5 années (11 périodes de 6 mois). Le prix de cette police, payé
aujourd’hui par son détenteur est de 8 820 262 DT.
À l’échéance, la compagnie d’assurance garantit au souscripteur une valeur de :
8 820 262 * (1,125)5.5 = 17 183 033 DT.
Donc en investissant les 8 820 262 DT dans des obligations, la compagnie doit viser une valeur
finale d’au moins 17 183 033 DT après 5,5 années (ce qui est équivalent à un TRE minimum
de 12,5 % sur une base d’investissement en obligations).
La compagnie d’assurance peut adopter l’une des stratégies suivantes :
74
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Stratégie 1 : Achat d’une obligation de coupon semestriel 12,5 %, d’échéance 5,5 ans, de TRE
12,5 % et de duration 4,17 années, inférieure à l’échéance de l’engagement (5.5 années).


Si juste après l’acquisition, les taux d’intérêt augmentent, la valeur accumulée à
l’échéance augmente. Cette augmentation s’explique par le rendement plus élevé
issu du réinvestissement des coupons. Il n’y aucune perte en capital due à
l’augmentation des taux d’intérêt car l’investissement dans l’obligation va se
poursuivre jusqu’à l’échéance de cette dernière mais le réinvestissement des
coupons se fait à un taux plus élevé (donc plus profitable).
Si juste après l’acquisition les taux d’intérêt baissent, la valeur accumulée à
l’échéance diminue. Cette baisse s’explique par le rendement moins élevé issu du
réinvestissement des coupons. Il n’y a aucun gain en capital due à la baisse des taux
d’intérêt car l’investissement dans l’obligation va se poursuivre jusqu’à l’échéance de
cette dernière et de l’engagement pris par la compagnie envers son client.
Ainsi, lorsque le taux d’intérêt varie, il n’y a que l’effet du réinvestissement des coupons qui
joue (en supposant que l’obligation ne comporte pas de clauses de rachat).
Stratégie 2 : Achat d’une obligation de coupon 12,5 % payable semestriellement, d’échéance
15 ans, de TRE 12,5% et de duration 7.25 années, supérieure à l’horizon de placement.
 Si les taux d’intérêt augmentent subitement après l’investissement, la valeur
accumulée à l’échéance de l’engagement diminue. La diminution de la valeur
accumulée se produit du fait que la dépréciation de la valeur de l’obligation (perte
en capital) est plus importante que le revenu supplémentaire issu du
réinvestissement des coupons à un taux plus élevé.
 Si les taux d’intérêt diminuent subitement après l’investissement, la valeur
accumulée à l’échéance de l’engagement augmente du fait que l’appréciation du
prix de l’obligation ou le gain en capital est plus important que le manque à gagner
lié au réinvestissement des coupons à un taux moins élevé.
Ainsi, lorsque l’échéance de l’engagement est inférieure à la duration du portefeuille, en cas
de variation des taux d’intérêt, l’effet de l’appréciation ou de la dépréciation en capital
dépasse toujours l’effet sur le revenu du réinvestissement des coupons. Inversement, l’effet
du réinvestissement des coupons l’emporte sur l’effet de l’appréciation ou de la dépréciation
en capital lorsque l’échéance de l’engagement est supérieure à la duration du portefeuille.
Stratégie 3 : Achat d’une obligation de coupon 10,25 %, d’échéance 8 ans et de TRE 12,5%.
La duration de cette obligation est de 5,5 années, égale à l’échéance de l’engagement. La
valeur accumulée à l’échéance de l’engagement sera la même, peu importe la variation
initiale du TRE. On est donc assuré d’avoir le rendement initialement visé de 12,5 % quelle
que soit la fluctuation subite de taux d’intérêt. Ce phénomène est dû au fait que :

Suite à une hausse du TRE, on subit une perte en capital mais on peut réinvestir les
coupons à un taux plus élevé. Le temps requis pour compenser la perte en capital
75
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________

avec les excédents de revenu du réinvestissement des coupons correspond à la
duration des obligations.
Suite à une baisse du TRE, on obtient un gain en capital mais les coupons seront
réinvestis à un taux plus faible. Le temps requis pour que le gain en capital soit annulé
par la diminution des revenus issus du réinvestissement des coupons correspond à la
duration.
Ainsi, quelle que soit la variation du taux d’intérêt, le montant accumulé à l’échéance de
l’engagement est le même puisque le gain ou la perte en capital est compensé par la
réduction ou l’excédent de revenu lié au réinvestissement des coupons.
Exemple 22 :
La compagnie C doit construire une nouvelle usine dans 10 ans. Le coût de l'usine est estimé
à 1 million de dinars. Pour financer la construction, cette entreprise va compter sur le produit
du placement de son épargne actuelle dans des obligations. Aucune obligation zéro coupon
n’est disponible pour cette échéance et elle doit choisir entre les trois obligations suivantes
qui sont de valeur nominale égale à 100 :
Obligation
1
2
3
Tableau n° 40 : Caractéristiques des obligations disponibles
Coupon
Echéance
Prix
TRE
6%
30
69,179
9%
11%
10
112,835
9%
9%
20
100
9%
Duration
11,88
6,745
9,61
Peut-on utiliser les obligations 2 et 3 pour construire le portefeuille d’immunisation ? La
réponse est non, car il n’est pas possible d’obtenir avec ces deux obligations une duration
pondérée de 10 ans. Puisque l’obligation 1 a une duration plus longue que 10, elle doit faire
partie du portefeuille.
Il y a lieu d’utiliser les deux premières obligations seulement ou les trois ensemble40.
La valeur actualisée de l’engagement est : 422 411DT
La duration de l’engagement est de 10 ans.
Pour immuniser le portefeuille, il faut égaliser :
1. La valeur actualisée du portefeuille avec celle de l’engagement ;
2. La duration du portefeuille avec celle de l’engagement.
La valeur totale investie dans les obligations, 1 et 2, doit être égale à la valeur actuelle de
l’engagement :
69,179 X + 112,835 Y = 422 411DT
La duration du portefeuille doit être égale celle de l’engagement :
11,88 * (69,179 * X) / 422 411 + 6,745 * (112,835 * Y) / 422 411 = 10
40
En fin de compte, comme on le verra plus loin la meilleure solution consiste à combiner les deux premières
obligations. C’est elle qui minimise le risque de réinvestissement.
76
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues donne :
X = 3869,584 obligations 1
Y = 1371,174 obligations 2
Bien sûr, en pratique, on doit arrondir ces nombres.
Supposons qu’il y a soudainement une variation du TRE de 9% à 8% ou 10%. La valeur du
portefeuille d’obligations et celle de l’engagement seront comme suit :
Tableau n° 41 : Evolution de la valeur du portefeuille et de l’engagement
en fonction des variation du taux d’intérêt
Taux
Valeur du portefeuille
Valeur actuelle de l’engagement
Ecart
8%
464 552
464 193
+359
10%
386 588,2
385 543
+1045,2
Remarque : La convexité impose que le portefeuille vaudra toujours plus que l’engagement.
Récapitulation :
Le caractère immunisé ou non d’un portefeuille obligataire dépend de l’évolution du gain en
capital et du revenu de réinvestissement des coupons en fonction de la variation des taux
d’intérêt sur le marché. Si le gain en capital augmente, celui tiré du réinvestissement des
coupons diminue et vice-versa. Le résultat global dépend de la nature des obligations (avec
ou sans coupon) et de la comparaison entre l’horizon d’investissement, l’échéance du
portefeuille et sa duration.
Tableau n° 42 : Evolution des revenus du portefeuille
en fonction de sa duration et des variation du taux d’intérêt
Augmente
1
Sans coupon avec
horizon = échéance
= duration
Evolution du revenu
lié au
réinvestissement des
coupons
Demeure Inchangé
Baisse
Demeure inchangé
0
0
Standard avec
horizon = duration
Augmente
augmente
Perte
0
2
Baisse
diminue
gain
0
Standard avec
horizon = échéance
> duration
Augmente
Augmente
0
Positif
Baisse
Diminue
0
Négatif
Standard avec
horizon < duration
Augmente
Augmente
Perte
Négatif
Baisse
diminue
gain
positif
Cas
3
4
Obligation
Evolution
des taux
Gain ou
perte en
capital
Résultat
global
0
0
Le
portefeuille
est-il
immunisé ?
Oui
Oui
Conclusion :
77
Non
Non
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Pour immuniser une valeur accumulée visée (donc un rendement cible) contre les variations
de taux d’intérêt, un gestionnaire doit composer un portefeuille obligataire tel que la
duration soit égale à l’échéance de l’engagement et que la valeur de marché des obligations
acquises (valeur actuelle du portefeuille) soit égale à la valeur actuelle de l’engagement.
Le rebalancement d’un portefeuille immunisé :
L’illustration faite des principes de l’immunisation suppose une seule variation des taux
d’intérêt. En pratique, les taux d’intérêt varient sur toute la période d’investissement. Par
conséquent, la duration changera en fonction de la variation des taux.
Puisqu’un portefeuille ne peut être immunisé contre les fluctuations des taux d’intérêt que
si sa duration est toujours égale à la période restante jusqu’à l’échéance de l’engagement,
le gestionnaire doit donc à chaque changement de taux d’intérêt, rebalancer son portefeuille
de façon à modifier la duration de son portefeuille et l'ajuster à l’échéance restante de
l’engagement. Ce re-balancement implique des frais de transaction relativement élevés,
d'où la nécessité d'un compromis entre une immunisation parfaite (rebalancer le portefeuille
autant que possible) et des frais de transaction moins élevés (rebalancement occasionnel).
Remarques :


Pour immuniser un portefeuille contre les variations de taux d’intérêt, il faut que la
duration du portefeuille soit égale à l’horizon de l’engagement. Toutefois, le
portefeuille serait immunisé contre les fluctuations de taux d’intérêt uniquement si
la courbe des taux est plate et les déplacements de la courbe des taux sont parallèles.
Si les déplacements de la courbe des taux d’intérêt ne sont pas parallèles, l’utilisation
d’un portefeuille dont la duration est égale à l’échéance de l’engagement ne
permettra pas d'atteindre exactement la valeur ciblée.
On peut constituer plusieurs portefeuilles dont la duration est égale à l’horizon de
l’engagement. Le portefeuille optimal à considérer pour couvrir la valeur d'un
engagement est celui qui minimise le risque de réinvestissement. Par exemples :
78
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
-
-
Un portefeuille bullet composé d’obligations dont les échéances sont proches de
l’échéance de l’engagement comporte moins de risque de réinvestissement
qu’un portefeuille barbell.
Un portefeuille d’obligations zéro-coupon comporte un risque de
réinvestissement nul
Fong et Vasicek (1984) ont proposé la mesure suivante du risque de réinvestissement de
portefeuille qui n’est rien d’autre qu’une mesure de la dispersion temporelle des flux
monétaires :
Ft (t – H)2
N
Mesure de risque de réinvestissement = ∑ --------------------t=1 (1 + r)t
où :
Ft est le flux monétaire du portefeuille obligataire au temps t ;
N est l’échéance du dernier flux monétaire des obligations du portefeuille ;
H est l’échéance de l’engagement
r le taux de rendement à l’échéance du portefeuille obligataire.
Cette mesure du risque est égale à :
F1(1-H)2 / (1+r) + F2(2-H)2 / (1+r)2 + F3(3-H)2 / (1+r)3 +…+ FH(H-H)2 / (1+r)H +...+ FN(N-H)2 / (1+r)N
La contribution au risque de réinvestissement des flux des premières et dernières années est
plus grande que celle des années intermédiaires. La contribution de l’année H est nulle. D’où,
il en découle que ce risque est faible lorsque l’occurrence des flux monétaires (CFt) est
concentrée autour de l’échéance de l’engagement H.
Le fait d’investir dans des obligations zéro-coupon (donc, duration égale à l’échéance), dont
l’échéance est égale à l’horizon, nous permet d’immuniser la valeur future du portefeuille.
Toutefois, en pratique, le TRE des obligations zéro-coupon est moins élevé que celui des
obligations avec coupons. Par conséquent, l’utilisation d’obligations zéro-coupon pour
s'immuniser coûte plus cher que l’utilisation d’obligations avec coupons.
La valeur finale visée (rendement total) ne sera pas réalisée si un ou plusieurs émetteurs
d’obligations du portefeuille font défaut. On peut restreindre l’univers d’investissement aux
obligations gouvernementales (sans risque de défaut). Toutefois le rendement réalisé suite
à cet investissement est moins élevé que celui découlant d’obligations plus risquées. Ainsi,
pour les besoins de l’immunisation, l’utilisation d’obligations gouvernementales coûte plus
chère que celles d’obligations corporatives.
5.2.2.2. L’immunisation conditionnelle :
Elle consiste en une combinaison de stratégies actives et passives : on immunise si la valeur
du portefeuille baisse à un niveau prédéfini. En d’autres termes, le gestionnaire de
portefeuille poursuivra une stratégie de gestion active jusqu’à ce que les conditions de
marché conduisent la valeur du portefeuille (à l’instant t) à un niveau qui se situe en dessous
79
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
d’une valeur nécessaire (à l’instant t) afin de réaliser les objectifs du client (une certaine
valeur cible à l’instant H). Le seuil minimal est égal à :
Valeur cible en H
Seuil = ------------------------------(1 + r) H-t
Où, r est le rendement de marché en vigueur au temps t.
La différence entre la valeur de marché du portefeuille obligataire et ce seuil constitue le «
coussin de sécurité » qui permet de décider d'un changement de stratégie de gestion, c’està-dire, du passage d’une stratégie active à une stratégie passive si le coussin est trop mince.
Exemple n° 23 :
Le client d’une banque veut investir 50 000 DT, il accepte un rendement annuel de 10.25 %
(capitalisation semestrielle) sur un horizon de 4 ans. En même temps, il est possible pour la
banque de réaliser un rendement de 12.36% sur un portefeuille immunisé.
• La valeur initiale du portefeuille est de 50 000 DT, la valeur cible minimale à atteindre dans
4 ans serait de : 50 000 DT x (1,05)8 = 50 000 DT x (1,1025)4 =73 872,8 DT.
• Le taux de rendement des obligations est de 12.36% et le montant minimum à investir dans
l’achat d’obligations pour réaliser le montant ciblé de 73 872,8 DT est égal la valeur actuelle
de ce montant au taux de 12.36% soit : 73 872,8 DT / (1,06)8, soit 43 348,7 DT.
• Puisque la valeur du portefeuille est de 50 000 DT > 43 348,7 DT, le gestionnaire du
portefeuille pourrait adopter au début une gestion active.
• Supposons que le gestionnaire place tous les fonds dans une obligation d’échéance 20 ans
coupon 12 % (6% semestriel), se transigeant au pair.
Cas 1 : Les taux baissent à 9.2025 % après une période de 6 mois
• Le prix de l’obligation augmente de 1 000 DT à 1 273,40 DT.
• Les 50 obligations acquises initialement valent 63 670 DT (= 50 x 1 273,4 DT). Les coupons
versés sont de 3 000 DT (= 50 x 1000 DT x 0,12/2). La valeur totale du portefeuille est donc
de 66 670 DT.
• Le taux de rendement à ce moment est de 9.2025 %, le montant du portefeuille obligataire
à détenir pour réaliser une valeur cible de 73 872,8 DT (engagement initial ou valeur cible)
correspond à la valeur actuelle au taux de 9.2025 % de cette valeur cible, soit :
73 872,8 DT / (1,092025)3,5 ou un montant de 54 283,9 DT.
• La valeur du portefeuille est de 66 670 DT > 54 283,9 DT : le gestionnaire du portefeuille
continuera à faire de la gestion active. Le coussin de sécurité est la différence entre ces
deux valeurs.
Cas 2 : Les taux augmentent à 14,7684 % après une période de 6 mois ?
80
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
• Le prix de l’obligation baisse de 1 000 DT à 852,32 DT.
• Les 50 000 DT (= 50 x 1 000 DT) initialement investis valent 42 615,8 DT (=50 x 852,32 DT).
Les coupons versés sont de : (50 x 1 000 DT x 0,12 / 2) = 3 000 DT
La valeur totale du portefeuille est donc de 45 615,8 DT.
• Le taux de rendement à ce moment est de 14,7684 % et le montant du portefeuille
obligataire à détenir pour réaliser une valeur cible de 73 872,8 DT correspond à la valeur
actuelle au taux de 14,7684 % de cette valeur cible, soit :
73 872,8 DT / (1,147684)3,5 = 45 614,9 DT.
• La valeur du portefeuille est de 45 615,8 DT ne laissant plus qu'un très faible coussin ou
une marge de sécurité de 0.9 DT, le gestionnaire de portefeuille change alors de stratégie
et immunise son portefeuille.
Conclusion :
Pour mettre en place une stratégie d’immunisation conditionnelle, il faut :
 identifier une valeur cible ou un rendement cible à réaliser (par exemple le coût de
l’argent à investir) ;
 Etablir un montant initial à immuniser en fonction de ce taux cible, ainsi que sa valeur
présente en fonction de l’évolution des taux ;
 Mettre en place des procédures de contrôle afin que la valeur du portefeuille soit
toujours supérieure à la valeur actuelle (au taux du marché) de l’engagement.
5.2.2.3. Stratégie d'immunisation multi-périodique
L’immunisation multi-périodique est une stratégie de gestion de portefeuille qui consiste à
composer un portefeuille de façon à satisfaire plusieurs engagements futurs prédéterminés,
quels que soient les mouvements des taux d’intérêt sur la période. Dans le cas spécial des
mouvements parallèles des taux d’intérêt, Fong et Vasicek (1983) ont montré que les trois
conditions suivantes sont nécessaires et suffisantes pour assurer l’immunisation d’un
portefeuille à engagements multiples :
 La valeur actuelle des flux monétaires du portefeuille obligataire doit être égale à la
valeur actuelle des engagements multi-périodiques ;
 La duration du portefeuille doit être égale à la duration des engagements ;
 La distribution des durations des titres composant le portefeuille doit être plus large
que celle des engagements (ainsi, tous les engagements sont couverts par des flux
monétaires issus du portefeuille obligataire). Cela sous-entend qu'il est nécessaire de
détenir une obligation dont la duration est inférieure ou égale à celle du
décaissement ayant la duration la plus courte. De même, il faudra détenir en
portefeuille une obligation dont la duration est supérieure ou égale à celle du
décaissement le plus lointain.
Exemple n° 24 :
81
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Hypothèse : courbe de taux d’intérêt plate au niveau de r=10%
- Engagements :
Année (n)
Engagement
(1+r)n
Engagement actualisé
Engagement actualisé pondéré
1
100 000
1,100
90 909
90 909
2
100 000
1,210
82 645
165 289
3
110 000
1,331
82 645
247 934
256 198
504 132
Duration :
1,968
-
Obligations choisies pour constituer le portefeuille immunisé :
Obligation 1 :
Coupon 7%
(1+r)n
Flux actualisé
Flux actualisé pondéré
0,5
3,500
1,049
3,337
1,669
1
103,500
1,100
94,091
94,091
97,428
95,759
Duration :
0,983
Obligation 2 :
Coupon 0%
(1+r)n
Flux actualisé
Flux actualisé pondéré
1
0,000
1,100
0,000
0,000
2
100,000
1,210
82,645
165,289
82,645
165,289
Duration :
2,000
Obligation 3 :
Coupon 4%
(1+r)n
Flux actualisé
Flux actualisé pondéré
1
4,000
1,100
3,636
3,636
2
4,000
1,210
3,306
6,612
3
4,000
1,331
3,005
9,016
4
104,000
1,464
71,033
284,134
80,981
303,397
Duration :
2,876
Soient X, Y et Z, les quantités de titres à investir respectivement dans les obligations 1, 2 et
3 sont telles que :
1. La valeur actuelle du portefeuille est égale à la valeur actuelle des engagements :
(256,198) : 97,428 X + 82,645 Y + 80,981 Z = 256 198
2. La duration moyenne du portefeuille est égale à la duration des engagements = 1,968
(97,428 X) 0,983 + (82,645 Y) 2 + (80,981 Z) 3,747 = 1,968
256 198
256 198
256 198
0,374 X + 0,645 Y + 1,184 Z = 1 968
3. La distribution des durations des obligations du portefeuille est plus large que celle
des engagements.
82
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Nous sommes en présence d’un système de deux équations à trois inconnues. Il suffit de
fixer la valeur de l’une de ces trois inconnues pour déduire celles des deux autres. Par
exemple, si on fixe X à 1 000, Y et Z seront égaux respectivement à 1 292 et 642.
Flux de chacune des obligations
Année
0
0,5
1
Flux 1ère obligation
-97,428
3,5
103,5
Flux 2ème obligation
-82,645
Flux 3ème obligation
-80,981
2
3
4
4
104
100
4
4
Flux de l'ensemble du portefeuille
P0
Année
P0
Nombre
Flux 1
obligation
1 000
-97 428
Flux 2ème
obligation
1 292
-106 761
Flux 3ème
obligation
642
0,5
1
3500
103500
2
3
4
2569
2569
66792
106069
131750
2569
66792
3500(1,1) +
106069
=109740
9740(1,1)
+ 131750
=142464
42464(1,1+2
569
=49279
ère
Flux max du
portefeuille
129181
2569
3500
Flux accumulé /
Placement
Engagement à honorer
0
100000
100000
110000
Reste à placer
3500
9740
42464
-60721 =
66792(1,1)-1
Remarques :


Les proportions calculées permettent d’immuniser l’engagement sur l’ensemble de
l’échéancier mais pas à la fin de chaque période. Ainsi, après avoir honoré la première
échéance, il faut revoir la constitution du portefeuille de telle sorte que la duration
du portefeuille soit égale à celle des engagements restants.
Le problème relatif à ce type d’immunisation est l’hypothèse non réaliste de
variations parallèles de la courbe des taux. Plusieurs modèles ont été dérivés pour
tenir compte des variations non parallèles. Toutefois, il n’y a pas de modèle général
pour chaque mouvement de la courbe. Ainsi, un modèle qui protège contre un
83
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
certain mouvement de la courbe peut avoir une grande exposition pour un autre type
de mouvement de la courbe des taux.
5.2.2.4. Stratégie d’appariement des flux d’encaisse :
Cette stratégie consiste à acheter des obligations dont les dates et les montants des flux
monétaires correspondent aux dates et aux montants des décaissements à faire. Le
gestionnaire sélectionne des obligations qui procurent, à chaque période, des flux
monétaires permettant de faire face aux engagements de la période.
Le principe de cette stratégie est le suivant :
a) Une obligation est sélectionnée avec une échéance qui coïncide avec celle de
l’engagement le plus éloigné. On investit dans cette obligation un montant tel que le
flux monétaire qui en découle à l’échéance (valeur nominale ou de remboursement
et dernier coupon) soit égal au montant du dernier engagement.
b) Les autres engagements seront réduits des paiements périodiques de coupons de
l'obligation choisie plus tôt (ici, l'obligation sélectionnée au point (a) et, une autre
obligation est choisie pour faire face au montant restant de l’avant dernier
engagement.
c) La procédure du point (b) sera répétée jusqu’à ce que tous les engagements soient
couverts par les flux du portefeuille obligataire.
Récapitulation :
Soient E1, E2, …. En, les montants des engagements à la fin des périodes 1 à n et, V1, V2, …. Vn,
les valeurs nominales des obligations à échéance 1 à n.
Pour que les engagements soient parfaitement immunisés, il faut que :
En = Vn + cn,n , avec Vn la valeur nominale de l’obligation dont l’échéance est n (l’échéance du
dernier engagement) et cn,n le dernier coupon de cette même obligation.
En-1 – (cn,n-1) = Vn-1 + cn-1,n-1 , avec cn,n-1 et cn-1,n-1 respectivement les coupons des obligations n
et (n-1) versés l’année (n-1).
En-2 – (cn,n-2 + cn-1,n-2) = Vn-2 + cn-2,n-2 , avec cn, n-2 , cn-1,n-2 et cn-2,n-2 respectivement les coupons
des obligations n, (n-1) et (n-2) versés l’année (n-2).
...
E1 – (cn,1 + cn-1,1 + cn-2,1 + … + c2,1) = V1 + c1,1
Des techniques de programmation dynamique sont généralement utilisées afin de réduire
les coûts relatifs à cette procédure d’immunisation.
Exemple n° 25 :
84
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Une compagnie d’assurance vie a vendu une police d’assurance et promis un rendement de
10% et trois versements annuels d’un montant égal à 12 100, 12 100 et 11200 DT. Le premier
versement devant s’effectuer dans un an. Calculez le prix de vente de cette police.
Cette compagnie a le choix d’investir le prix de la police dans l’acquisition des obligations
suivantes :
Tableau n° 43 : Caractéristiques des obligations disponibles
Obligation 1
Obligation 2
Obligation 3
Valeur nominale
100
100
100
Echéance
1
2
3
Coupon
0%
9%
12%
Prix actuel
89,28571
94,939
100
Duration
1
1,91535
2,69
Obligation 4
100
5
0%
56,743
5
Si la stratégie de la compagnie d’assurance est celle de l’appariement des flux d’encaisse,
quelles seront les obligations à considérer et les quantités à acheter ?
Solution :
Ce sont les obligations 1, 2 et 3 dont les échéances correspondent à celles des engagements.
Pour ce qui est des quantités :
11200 = X (100 + (12% * 100)) => X =100 obligations 1
12100 – (12% * 100 * 100) = Y (100 + 9% * 100) => Y = 100 obligations 2
12100 - (12% * 100 * 100 + 9% * 100 * 100) = Z (100) => Z = 100 obligations 3
Remarques :

Cette stratégie est plus coûteuse que l’immunisation multi-périodique mais ne
comporte :
o Aucune exigence concernant la duration du portefeuille ;
o Aucun rebalancement de portefeuille (au besoin, il suffira de changer des
obligations dont la qualité a baissé) ;
o Aucun risque de ne pas honorer les engagements autre que celui de défaut des
obligations ;
o Pas de risque d’immunisation (variations non parallèles de la courbe de taux).
 Les stratégies d’immunisation présentées jusqu’à maintenant sont basées sur des
modèles déterministes puisque les montants et les échéances des engagements
financiers ont été assumés comme connus. En réalité, les montants et les échéances
des engagements financiers sont souvent incertains. Des stratégies d’immunisation
basées sur des modèles stochastiques (souvent très complexes) permettent
d’incorporer ces incertitudes en utilisant des distributions de probabilité pour les
taux d’intérêt, les montants et les échéances.
85
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________

La combinaison des stratégies appariement-immunisation : Une variante combinant
l’appariement des flux d’encaisse et l’immunisation multi-périodique est souvent
utilisée en pratique. Cette stratégie mixte consiste à composer un portefeuille dont
la duration est égale à celle des engagements avec la contrainte d’un appariement
des flux d’encaisse pour les premières années (souvent les 5 premières années).
L’avantage de la combinaison des deux stratégies réside dans le fait que les besoins
de liquidités sont couverts pour la période initiale d’immunisation, ce qui réduit le
risque lié aux mouvements non parallèles de la courbe des taux. L’inconvénient de la
combinaison des deux stratégies est lié aux coûts de transaction plus élevés.
5.3. Les stratégies hybrides ou la combinaison de stratégies active et d’immunisation :
Dans la stratégie d’immunisation conditionnelle, le gestionnaire de portefeuille adopte soit
une stratégie active ou une stratégie d’immunisation (lorsque la valeur du portefeuille
tombe en dessous d’une certaine valeur) et donc ne peut pas poursuivre les deux stratégies
en même temps. Par contre, dans une combinaison stratégie active/immunisation, une
partie du portefeuille sera gérée activement et l’autre sera immunisée.
L’allocation de la portion des fonds du portefeuille qui sera gérée activement est fonction :
 Du taux cible permettant l’immunisation ;
 Du rendement minimum acceptable par le client et ;
 De l’anticipation du plus faible rendement pouvant découler d’une stratégie active.
Une formule suggérée, par Gifford Fong Associates (société américaine de services de conseil
en gestion de portefeuille, créée en 1974), peut être utilisée pour déterminer la portion du
portefeuille à gérer activement :
Portion active = RC - RM
RC - RF
où :
RC : Rendement cible visé par la stratégie d’immunisation
RM : Rendement minimum requis par le client
RF : Rendement le plus faible anticipé de la stratégie de gestion active
Remarques :


Puisque les rendements de la formule précédente changent dans le temps, il est
nécessaire de procéder à des rebalancements périodiques de portefeuille entre les
deux portions active et passive.
Pour un niveau donné de rendement cible permettant l’immunisation, plus le
rendement minimum acceptable par le client est faible et/ou le rendement minimum
d'une stratégie active est élevé, plus grand est le pourcentage du portefeuille alloué
à la gestion active.
Conclusion :
86
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________






La maîtrise des dimensions de risques spécifiques et systématiques des obligations
permet au gestionnaire de portefeuille d’élaborer des stratégies appropriées pour
tirer profit de ses anticipations de l’évolution des taux.
Il est souvent admis que les gestionnaires de portefeuille achètent des obligations
seulement pour les coupons qu’elles offrent et la garantie d’obtenir la valeur
nominale à l’échéance dans le contexte d’une stratégie d’achat-détention (buy and
hold). Cependant, plusieurs gestionnaires exploitent la volatilité des taux d’intérêt et
les déplacements de la courbe des taux dans leur gestion active de portefeuille
obligataire.
Les stratégies de gestion active visent à tirer profit des anticipations du niveau et de
la structure à terme des taux d’intérêt, des écarts de rendement estimés injustifiés
entre différents segments du marché obligataire, ou tout simplement pour exploiter
des anomalies de marché.
La profitabilité de ces stratégies repose sur les capacités d’analyse et de prévision du
gestionnaire.
Plusieurs investisseurs institutionnels utilisent les placements obligataires pour faire
face à des engagements spécifiques. Les stratégies d’immunisation sont utilisées à
ces fins. Parmi ces stratégies, on distingue celles d’immunisation conditionnelle et
l’appariement des flux d’encaisses.
Les rendements de ces stratégies sont fonction des niveaux de risque qui leur sont
associés.
87
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Tableau n° 44 : Récapitulation des conditions d’adoption et des résultats
des différentes stratégies de gestion de portefeuille obligataire
Stratégie
ou
groupe de stratégies
Stratégie basée sur les durations
Conditions concernant la
courbe des taux d’intérêt
Forme
Détails de la stratégie
Mouvements
Plate
Parallèle
Swap d’anticipation de taux
: opter pour une obligation
ou un
portefeuille obligataire à
duration plus élevée en cas
d’anticipation de baisse de
taux et vice-versa.
Plate
Parallèle
Roll-over
Sans
Stratégies basée sur les anticipations de
taux
Ascendante
Riding the yield curve
changement
Parallèle
Non plate
Aplatissement
Basée sur les
mouvements de la
courbe de taux
(pentification ou
l’aplatissement des
taux)
Stratégies
d’arbitrage
Plate ou
non
Forte variation : Barbell
Faible variation : Bullet
ou barbell
Barbell
Raidissement
Fable variation :
bullet Forte
variation : Barbell
Parallèle ou
non
Butterfly à décaissement nul
() : L’acquisition des titres à
duration
extrème
est
financée par la vente de
titres
à
duration
intermédiaire.
L’investissement net est nul
et la duration pondérée du
portefeuille est nulle.
Ecart de notation
Swap inter marchés :
profiter des écarts de crédit
qui s’allongent en période
de crise et se rétrécissent en
temps de stabilité.
Sur devises
Pari sur les devises en
hausse : investir dans les
devises en appréciation
pour tirer un rendement
additionnel.
Titres sous évalués et
titres surévalués
Acheter les titres sousévalués et liquider les titres
sur-évalués
88
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Dupliquer le portefeuille du
marché.
Stratégie de gestion indicielle
-
Faire face à un seul
engagement
Plate
Parallèle
-
-
-
Stratégies
d’immunisation
Immunisation
multipériodique
-
Duration
du
portefeuille égale à
celle
de
l’engagement.
Valeur actuelle du
portefeuille égale à
la valeur actuelle
de
l’engagement
Duration actuelle
du
portefeuille
égale à celle des
engagements
Valeur actuelle du
portefeuille égale à
celle
de
l’engagement
Distribution
des
durations
des
obligations
du
portefeuille plus
large que celle des
échéances
des
engagements
Appariement des flux
d’encaisse
Faire correspondre les
encaisses
issues
du
portefeuille obligataire aux
décaissements
liés
aux engagements.
Immunisation
conditionnelle
Stratégie active tant que la
valeur du portefeuille est
supérieure à la valeur
actuelle de l’engagement,
sinon immunisation
89
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
6. Mesure et attribution de performance d’un fonds
obligataire
__________________________________________________________________________
Analyser la performance d’un portefeuille obligataire implique de calculer la rentabilité
réalisée (performance « absolue »), d’évaluer la performance relativement à une référence
ou un benchmark, de décomposer la performance selon les sources de rentabilité,
d’identifier la performance liée aux décisions de gestion et d’apprécier la performance par
rapport au niveau du risque pris.
6.1. La mesure de la rentabilité d’un fonds obligataire :
On distingue trois méthodes pour le calcul de la rentabilité d’un fonds obligataire qui sont le
taux de rentabilité interne (TRI), le taux de rentabilité pondéré par les capitaux (TRPC) et le
taux de rentabilité pondéré par le temps (TRPT).
a) Le taux de rentabilité interne (TRI) :
Le TRI est le taux d’actualisation qui rend la valeur initiale du portefeuille égale à la somme
de sa valeur finale actualisée et des flux nets actualisés de capitaux survenus durant la
période. Le flux net de chaque sous période se calcule en faisant la différence entre le flux
entrant dû au réinvestissement des coupons et aux apports des clients et le flux sortant
résultant des versements effectués au profit des clients.
n
V 0 + ∑ Ft
t=1
+ Vn
(1+r)t
(1+r)n
avec,
r : le TRI recherché ;
V0 : la valeur initiale du portefeuille ;
Vn : la valeur finale du portefeuille ;
Ft : le flux net de la période t
Les inconvénients de cette méthode résident dans :
Sa lourdeur, lorsque les flux sont très fréquents durant la période
d’investissement ;
L’impossibilité dans certains cas de déduire un seul TRI (changements
fréquents du signe des flux nets périodiques) et l’obtention de plus d’un TRI non
significatifs.
-
b) Le taux de rentabilité pondéré par les capitaux (TRPC) :
C’est le rapport entre la variation de la valeur du portefeuille et la moyenne des capitaux
investis durant la période.
90
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
n
Vn - (V0 + ∑ Ft )
t=1
r = ---------------------------n
V0 + ∑ (n – t) Ft
t=1
n
Cette méthode tient compte dans la mesure de performance du montant des capitaux
effectivement gérés au cours de la période de mesure. Elle signifie implicitement que les
apports ou retraits effectués entre deux valorisations sont placés à la performance moyenne
réalisée pendant l’ensemble de la période.
c) Le taux de rentabilité pondérée par le temps (TRPT) :
Cette méthode, qui ne tient pas compte des apports ou retraits, permet de calculer une
rentabilité pour chaque sous-période entre deux flux. D’où, La rentabilité sur toute la période
est égale à la moyenne géométrique des rentabilités correspondant aux sous périodes.
n
Rrg = ∏ (1 + rs) - 1
S =1
Contrairement à la méthode précédente (TRPC) qui mesure la performance du fonds, celleci (TRPT), faisant abstraction des flux qui affectent le fonds, mesure plutôt la performance
du gérant du fonds.
Exemple n° 26 :
Soit un portefeuille obligataire d’une valeur initiale en début d’année d’une valeur de 10 000
et qui a subi les flux suivants en termes d’apport et de retrait :
Tableau n° 45 : Evolution des flux du portefeuille
Apport en fin de
Mois
Retrait en fin de mois
mois
Janvier
1000
Février
1800
Mars
500
Avril
1300
Mai
1000
Juin
900
Juillet
2000
Août
800
Septembre
400
Octobre
300
Novembre
1200
Décembre
Déterminez :
91
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Le taux de rentabilité moyenne arithmétique de ce portefeuille,
Le taux de rentabilité interne
Le taux de rentabilité pondérée par les capitaux
Le taux de rentabilité pondérée par le temps
-
Tableau n° 46 : Calcul préliminaire à la détermination des différents taux de rentabilité
Mois
Apport / Retrait
en début de mois
(Ft)
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
10 000,00
1 000,00
1 800,00
- 500,00
1 300,00
- 1 000,00
900,00
- 2 000,00
800,00
- 400,00
300,00
-1 200,00
Valeur en
début de mois
Valeur en
fin de mois
Taux de
rendement
mensuel
n-t
Ft(n-t)/t
10 000,00
12 200,00
16 074,00
14 288,08
13 873,51
13 567,19
16 230,92
14 717,85
16 842,45
14 758,21
14 025,13
13 105,64
11 200,00
14 274,00
14 788,08
12 573,51
14 567,19
15 330,92
16 717,85
16 042,45
15 158,21
13 725,13
14 305,64
14 416,20
12%
17%
-8%
-12%
5%
13%
3%
9%
-10%
-7%
2%
10%
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
916.7
1500
-375
866,7
-583.3 450
-833.3
266.7
-100 50
-100
1 000.00
2058,5
Calcul des différents taux de rentabilité :
1) Rentabilité arithmétique = 14416,2 / 10000 – 1 = 44,16%
2) Taux de rentabilité interne = r tel que :
-10000 – 1000 (1+r)-1 - 1800 (1+r)-2 + 500 (1+r)-3 - 1300 (1+r)-4 + 1000 (1+r)-5
- 900 (1+r)-6 + 2000 (1+r)-7 - 800 (1+r)-8 + 400 (1+r)-9 - 300 (1+r)-10 +1200 (1+r)-11
+ 14416,2 (1+r)-12
r = 28,34%
3) Rentabilité pondérée par les capitaux =
(14416,2 – (10000 + 1000)) / (10000 + 2058,5)= 28,33%
4) Rentabilité pondérée par le temps = (1,12 x 1,17 x 0,92 x 0,88 x 1,05 x 1,13 x 1,03 x
1,09 x 0,90 x 0,93 x 1,02 x 1,10) – 1 = 32,72%
Remarques :


La performance du portefeuille devrait être diminuée du montant des frais de
transaction et des taxes prélevés lors de chaque opération.
Contrairement au premier taux de rentabilité, les trois autres sont beaucoup plus
proches et on peut conclure que le rendement de ce portefeuille est aux alentours
de la moyenne de ces trois taux, à savoir 30%.
6.2. L’analyse de la performance d’un fonds :
92
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Après avoir traité de la performance absolue d’un fonds, on va dans ce qui suit traiter de sa
performance relativement à une référence.
a) La référence à un benchmark et la sur-performance : C’est la comparaison de la
performance du fonds à une référence que l’on appelle benchmark, qui est,
généralement, un indice de marché41 ou une combinaison de plusieurs indices.
On désigne par surperformance (sous-performance) l’excédent (déficit) de la
rentabilité du portefeuille par rapport au benchmark.
b) L’attribution de performance : L’attribution de performance a pour objectif
de décomposer l’écart de performance obtenu par rapport à une référence selon
plusieurs facteurs explicatifs42.
6.2.1. Les modèles spécifiques d’attribution de performance obligataire :
1) La droite de marché obligataire :
Wagner et Tito (1977) ont tenté d’appliquer la technique du MEDAF à l’évaluation de la
performance obligataire43. Ainsi, la duration remplace le bêta comme mesure de risque. La
droite de marché est construite sur la base des points définis par le rendement des Treasury
Bills et de l’indice Lehman Brothers Government Corporate. Ce dernier indique le taux de
rendement annuel moyen du marché durant une certaine période avec comme duration la
somme des durations des titres individuels pondérées par leurs poids respectifs. Une fois
cette droite tracée, l’écart entre le rendement du portefeuille géré et celui se trouvant sur
la droite pour la même duration peut être décomposé en :
41
En dépit du fait que les titres composant le portefeuille peuvent ne pas être tous représentés dans l’indice
(cas de gestion active où le gérant a tendance à dynamiser sa gestion par l’introduction de titres hors indice)
par opposition à la gestion indicielle
42
L’attribution de performance doit être clairement distinguée de la mesure de performance des fonds. Cette
dernière vise à identifier les gérants de fonds les plus performants par la simple lecture de classements réalisés
sur la base de critères de performance plus ou moins sophistiqués notamment quant à la prise en considération
du risque que le gérant fait supporter à son client pour atteindre un niveau de rentabilité. L’attribution de
performance est véritablement un outil de gestion pour le gérant et (ou) son client qui souhaite identifier et
expliquer les causes de la sur (sous)-performance obtenue par rapport à un portefeuille de référence.
43
Tito, D.A. & W.H. Wagner, Is Your Bond Manager Skillful ?, Pension World, June 1977, pp. 10-16.
93
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Rendement
8%
Droite de marché obligataire
(Bond Market Line)
6%
x
Lehman Brothers
Bond Index (LBBI)
4%
2%
x
Treasury Bills
Duration (ans)
3
6
8
9 10
12
Graphique n° 4 : Droite de marché obligataire
Effet stratégie (Policy effect) : C’est la différence de rendement attendu due à une
différence de stratégie concernant la duration du portefeuille comparée à celle de
l’indice (LBBI). Une duration élevée suggère que le portefeuille devrait avoir un
rendement plus élevé. Ainsi, en considérant que la duration et le rendement du LBBI
sont respectivement de 7.5 ans et 5.5%, si le portefeuille géré a une duration de 8
3/4 années, selon la droite de marché obligataire son rendement devrait être
d’environ 6%. La policy effect est donc de 1 1/4 années et 0.5% (50 points de base).
b) Effet anticipation des taux d’intérêt : C’est l’effet d’un changement dans la duration
du portefeuille pendant la période comparée à la duration de long terme. En période
de baisse des taux d’intérêt, le gérant a tendance à augmenter la duration pour
profiter davantage de l’appréciation des prix et vice-versa en période de hausse des
taux afin de limiter l’impact en termes de baisse des prix. En considérant que la
duration de long terme du portefeuille est de 8 3/4 années, elle implique que le
rendement du portefeuille soit de 6%. Si le portefeuille avait une duration de 9 depuis
le début d’année (anticipation de baisse de taux), en utilisant la droite de marché le
rendement de ce portefeuille devrait être de 6,25%, l’effet d’anticipation de taux
durant la période est 0,25%.
a)
c)
Effet analyse : C’est l’écart de rendement attribuable à l’acquisition, en cours de
période, d’obligations temporairement sous-évaluées par rapport à leur niveau de
risque.
d)
Effet trading : il est le résultat des changements de cours des obligations durant la
période, indépendamment de l’effet de variation du taux d’intérêt (effet anticipation
de taux). Cet effet n’intègre pas non plus les augmentations de prix liées au fait que
les titres étaient initialement sous-évalués (effet analyse).
Pour mesurer l’effet combiné d’analyse et de trading, il y a lieu de comparer le rendement
escompté pour le portefeuille géré depuis le début de la période (en utilisant la droite de
marché) par rapport au rendement réel de ce même portefeuille.
94
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Un rendement réel supérieur au rendement attendu (en se situant sur la droite de marché)
implique que le gérant a acquis des titres dont les prix ont augmenté (entre autres parce
qu’ils étaient sous-évalués).
Par exemple, un portefeuille ayant en début de période une duration de 9 ans, a un
rendement anticipé de 6,25%. Si en réalité le rendement de ce portefeuille est de 6,5%, cela
indiquerait un effet combiné d’analyse et de trading de 25 points de base. Ainsi, pour un
effet analyse estimé à 0,15% par exemple, l’effet de trading sera de 0,10%.
Pour récapituler, le rendement réel de ce portefeuille, 6.5%, comparé à celui de l’indice
obligataire, 5.5%, fait apparaître un excédent total de rendement de 1% qui se décompose
comme suit :




0,5% de « policy effet » dû à la duration plus élevée du portefeuille de long terme ;
0,25% d’ « anticipation effect » dû à l’augmentation de la duration du portefeuille en
cours de période par rapport à celle du portefeuille de long terme ;
0,15% d’ « analysis effect » qui est l’impact d’une bonne sélection de titres
individuels dans le portefeuille de début ;
0,10% de « trading effet ».
Conclusion :
Cette méthode décompose le rendement basé sur la duration comme mesure de risque,
mais, elle ne traite pas du risque de défaut (risque de spread). En d’autres termes, elle ne
distingue pas entre une obligation notée AAA et une autre BBB. Pour une même duration, la
performance pourrait être significativement différente d’une obligation à l’autre.
2) La décomposition de Dietz, Fogler et Hardy (1980)44 :
Dietz, Fogler et Hardy ont développé une technique pour décomposer la performance d’un
portefeuille à travers trois effets : la maturité, le secteur et la qualité :
Le rendement total d’une obligation durant une période est composé d’un :
a) effet revenu connu (jusqu’à la maturité). C’est le rendement que l’investisseur
recevrait si la courbe de taux reste inchangée durant la période.
b) effet changement de prix lui-même inconnu dû à :

un effet taux d’intérêt : il permet de mesurer ce qui est arrivé à chaque titre à cause
de changements dans la structure par terme des taux d’intérêt au cours de la période.
Exemple : supposons un spread de 40 points de base et que le rendement des
Treasury Bills, de maturité correspondant à celle de l’obligation, passe de 3,4% à
3,7%. L’effet taux d’intérêt correspond à l’écart entre la valeur de ladite obligation
44
Dietz, Fogler, and Hardy, ‘The challenge of analyzing bond portfolio returns’, Journal of Portfolio
Management, 1980.
95
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
déterminée sur la base d’un rendement de 3.8% (= 3,4% + 0,4%) et celle sur la base
de 4,1% (= 3,7% + 0,4%).

un effet secteur/qualité : C’est l’impact sur le rendement du portefeuille d’une prise
de position sur un secteur d’activité ou une qualité de titre. Pour isoler cet effet, il
faut déterminer l’excès (ou la réduction) de rendement, après prise en compte de
l’effet revenu et de l’effet taux d’intérêt.
Exemple : Durant une période, on peut trouver qu’en moyenne les titres
d’entreprises de la nouvelle économie, notés A, affichent un excès de rendement de
0,3%.
c) effet résiduel : C’est ce qui reste après la prise en compte des autres effets.
3) La décomposition de Fong, Pearson et Vasicek (1983)45 :
Ces auteurs ont développé une technique de décomposition selon les sources de rendement.
Le premier niveau de décomposition a pour but de distinguer :
 l’effet de l’environnement financier extérieur, qui est indépendant du contrôle du
gestionnaire (I), mesuré par l’indice de performance pondéré de l’ensemble des
émissions du Trésor américain, et
 la contribution du processus de gestion qui représente la valeur ajoutée du gérant
(C).
R=I+C
L’effet de l’environnement financier extérieur peut, à son tour, être décomposé en deux
sources, le rendement lié aux mouvements des taux d’intérêt et celui qui ne l’est pas. L’idée
est de séparer le rendement anticipé du marché obligataire (E) de celui qui ne l’est pas (U),
qui est fonction des changements des taux d’intérêt.
Pour ce qui est des éléments ayant un effet sur la contribution du processus de gestion, on
distingue :


La gestion de la maturité (M) : c’est l’élément ayant le plus grand impact sur la
performance. Détenir un portefeuille avec une duration longue durant une période
de baisse de taux ou un portefeuille avec une duration courte durant une période de
hausse de taux impliquerait un effet positif sur la performance du portefeuille ;
La gestion des spreads (S) : c’est la répartition du portefeuille entre les différents
secteurs et groupes de qualité du marché obligataire. Par exemple, la concentration
du portefeuille dans le secteur de l’énergie en période de hausse du prix du
carburant, augmentera le rendement du portefeuille. Pour mesurer cet effet, les
auteurs proposent de réévaluer avec un spread moyen le prix des obligations.
45
Fong, Gifford, Charles Pearson and Oldrich Vasicek, 1983. “Bond performance : Analyzing sources of return”,
Journal of Portfolio Management 9, pp. 46-50
96
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________

la sélection des titres (B) : c’est l’effet de la sélection de titres spécifiques à un secteur
donné dans le but d’améliorer le rendement du portefeuille. En effet, les titres
individuels affichent des rendements supérieurs ou inférieurs à la performance
moyenne de leur secteur, d’où l’objectif de la sélection est de mettre l’accent sur un
segment d’obligations dont les rendements sont les plus avantageux.
4) Les modèles multi-factoriels d’attribution de performance :
Les modèles qu’on vient de présenter se basent sur une décomposition additive de la
performance d’un portefeuille obligataire. Cette approche est tout à fait acceptable pour
l’analyse mono-périodique mais inappropriée dans un contexte multi-périodique. Le modèle
additif rend difficile la conciliation de la décomposition de la performance avec l’apport des
différents facteurs sur les différentes sous-périodes.
Par ailleurs, ces modèles ne permettent pas de distinguer avec suffisamment de détails les
différents domaines d’expertise du gestionnaire en vue de donner une idée claire sur sa
contribution à la valeur ajoutée du portefeuille. Ils constituent, néanmoins, des bases solides
afin de comprendre les facteurs influençant le rendement d’un portefeuille obligataire.
Parmi les modèles multifactoriels, on va se limiter à la présentation de celui d’Elton, Gruber
et Blake (1995)46. Ces trois auteurs ont, d’abord, étudié en 1993 la performance de 223 fonds
obligataires américains sur la période 1987-91. Ils ont comparé la performance de ces fonds
par rapport à un indice passif. Le but était donc de trouver l’alpha des portefeuilles (la part
du rendement non attribuable à l’indice) sur la base d’un modèle multifactoriel du type :
K
Rit = αi + ∑ βij Ijt + εit
j=1
avec,
Rit : la rentabilité du fonds i sur la période t ;
αi : la rentabilité non expliquée du fonds i ;
Ijt : la rentabilité de l’indice j sur la période t ;
βij : la sensibilité du fonds i au facteur j ;
K : le nombre d’indice utilisés ;
εit : la rentabilité résiduelle, et
βij = Dij . Xij
Dj
avec,
Dij: la duration des titres du fonds i appartenant à la classe d’actifs j ;
46
Elton, Edwin J.; Gruber, Martin J.; and Blake, Christopher R. (1995). Fundamental variables, APT, and bond
fund performance. Journal of Finance 50:1229-1256.
97
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Dj : la duration de l’indice utilisé pour la classe d’actif j ;
Xij : la proportion d’obligations dans le fonds i investie dans la classe d’actif j
Dans leur modèle, Elton, Gruber et Blake (EGB) ont utilisé six indices représentatifs des
obligations d’Etats à long terme, des obligations privées à long terme, des obligations d’Etats
à moyen terme, des obligations privés à moyen terme, des obligations à haut rendement et
des fonds communs de créances.
A l’issue de cette étude, ils ont conclu que la performance des fonds obligataires était
fortement corrélée aux indices pris en compte et qu’il n’existait pratiquement pas de gérant
réalisant une performance supérieure à celle des autres.
Etant donné que cette étude ne renseigne pas l’observateur sur les facteurs influençant la
performance des fonds, EGB ont développé une seconde étude plus détaillée. Son originalité
réside dans l’utilisation de variables économiques aussi bien pour expliquer la performance
de l’indice que pour expliquer le rendement réel et anticipé des portefeuilles obligataires.
Ils sont partis du principe que des études antérieures ont montré que certains facteurs
étaient significatifs pour expliquer le rendement réel et anticipé des actions :
- Le rendement du marché des actions en tant que mesure d’anticipation des
conditions économiques générales ;
-
Le risque de défaut (ou risque de spread) ;
-
Le risque à terme (ou risque de taux) ;
-
Les changements non anticipés de l’inflation ;
-
Les changements non anticipés dans la croissance économique.
Ces deux dernières variables mesurent les influences macro-économiques. En effet, un
changement de ces variables fondamentales va affecter le niveau des taux d’intérêt (et donc
le rendement des obligations) mais pourrait aussi impacter la certitude des flux futurs sur
différents types d’obligations (titres d’entreprises ou immobiliers). Le canal de propagation
étant les taux à court terme.
A ces variables, ils ont rajouté deux autres : un indice de rendement immobilier ainsi qu’un
indice global de la rentabilité des titres obligataires (indice agrégé).
Le nombre total des facteurs est sept dont certains sont des indices négociés sur les marchés
alors que les autres sont des facteurs mesurant les variations non anticipées des variables
économiques.
La rentabilité d’un titre est donc donnée par :
J
K
Rit = E(Ri) + ∑βij λj + ∑ γik λk
j=1
(1)
k=1
avec,
Rit : la rentabilité de l’actif i au temps t ;
98
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
βij : la sensibilité de l’actif i au j-ème portefeuille ;
γik : la sensibilité de l’actif i au k-ème facteur économique ;
λj : la prime de risque de l’indice j ;
λk : la prime de risque de la k-ème variable économique.
J : le nombre d’indice utilisés ;
K : le nombre de facteurs.
Un raisonnement par arbitrage permet d’écrire :
J
K
E(Ri) = λ0 + ∑βij λj + ∑ γik λk
j=1
(2)
k=1
avec,
λ0 : la rentabilité de l’actif sans risque ;
Lorsque les variables sont des indices utilisés sur les marchés, la prime de risque s’écrit :
λj = E(Rj) - Rf
J
K
E(Ri) = Rft + ∑βij (E(Rj) - Rft) + ∑ γik λk
j=1
(3)
k=1
En reportant cette expression dans l’équation (1), on obtient :
J
K
Rit = Rft + ∑ βij (Rjt - Rft) + ∑ γik (λkt + gkt) + ŋit
j=1
(4)
k=1
avec,
Rjt : la rentabilité d’un portefeuille j négociable au temps t ;
gkt : le changement non anticipé de la kème variable économique au temps t avec E(git) = 0,
ŋkt : le rendement au temps t de l’actif i, non expliqué par les facteurs et les indices avec E(ŋ it)
=0
Ce qui peut encore s’écrire :
J
K
Rit - Rft = αi+ ∑ βij (Rjt - Rft) + ∑ γik (λkt + gkt) + ŋit
j=1
(5)
k=1
avec,
K
αi = ∑ γik λk
k=1
Une fois le modèle paramétré, il peut être utilisé pour évaluer la performance des
portefeuilles obligataires. Il pourrait être d’un grand intérêt pour mesurer l’aptitude du
gérant à anticiper les changements dans la prévision des variables fondamentales ou pour
expliquer aux gérants (et non seulement aux clients) les raisons de l’échec ou de la réussite
de leur stratégie.
99
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
6.2.2. Les modèles simples de décomposition de la performance d’un fonds
d’investissement :
Le marché de la gestion d’actifs financiers pour compte de tiers s’est beaucoup développé47.
Plus de la moitié est gérée de façon collective (OPCVM : SICAV et FCP) et le reste sous forme
de mandat et concerne la plupart du temps des clients institutionnels (compagnie
d’assurance, caisse de retraite, etc.).
L’essor qu’a connu ce métier au cours des dernières années s’est accompagné d’une
demande accrue d’information de la part de la clientèle, notamment en matière de mesure
de performance et, depuis peu, d’attribution de performance.
La demande croissante d’information émanant de la clientèle, surtout institutionnelle, a
rendu nécessaire de dépasser les mesures globales de la performance. Un client peut
légitimement se questionner sur les faits générateurs de la sur ou sous-performance du
fonds dans lequel il a investi. Dès lors, il s’agit d’être capable, pour répondre à cette attente,
de décomposer la sur ou sous-performance en ses principaux éléments constitutifs ; c’est le
rôle de ce qu’il est convenu d’appeler l’attribution de performance.
Remarquons que l’information délivrée par cette analyse est également riche
d’enseignements pour le gérant du fonds ainsi que pour les différents intervenants dans le
processus de gestion.
Le modèle de Brinson, Hood et Beebower (1986) 48 : est le modèle d’attribution de
performance couramment utilisé. Il décompose la performance en fonction des étapes du
processus de gestion.
Portefeuille benchmark
Portefeuille réel
Rendement de l’allocation stratégique du
Benchmark :
∑(Wpi . Rpi)
avec
Wpi: le poids de la classe de risque i dans le
benchmark
et Rpi : rendement de la classe i dans le
benchmark
III
Rendement provenant de l’allocation et de
la sélection des titres :
∑(Wpi . Rai)
avec
Wpi: le poids de la classe de risque i dans le
benchmark
et Rai : le rendement de la classe i dans le
portefeuille réel
I
47
Le marché français, par exemple, figure parmi les leaders mondiaux. Il représente aujourd’hui près de 2000
milliards d’euros d’actifs dont plus de la moitié est gérée sous forme de gestion collective avec un total de plus
de 10000 OPCVM (SICAV et FCP).
48
Brinson, Gary P; Hood, L Randolph; Beebower, Gilbert L Financial Analysts Journal; Jan/Feb 1995; 51, 1;
ABI/INFORM Global pg. 133
100
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
II
IV
Rendement de l’allocation stratégique et
tactique
∑(Wai . Rpi)
avec
Wai: le poids de la classe de risque i dans le
portefeuille réel
et Rpi : le rendement de la classe i dans le
benchmark
Rendement du portefeuille réel
∑(Wai . Rai)
avec
Wai: le poids de la classe de risque i dans le
portefeuille réel
et Rai : le rendement de la classe i dans le
portefeuille réel
a. L’effet allocation tactique (active asset allocation) : C’est l’effet d’une sur (ou sous)
pondération d’une classe ou d’un secteur par rapport à son poids dans le benchmark.
II – I = ∑(Wai . Rpi) - ∑(Wpi . Rpi) = ∑(Wai - Wpi) . Rpi
b. L’effet sélection d’actif (security selection) : c’est le résultat du timing du gérant dans
sa sélection de titres comparativement à leur poids dans le benchmark.
III – I = ∑(Wpi . Rai) - ∑(Wpi . Rpi) = ∑Wpi . (Rai - Rpi)
c. L’effet interaction : C’est l’effet combiné des décisions de gestion sur la performance
du portefeuille et la contribution supplémentaire, ou au contraire, la réduction de
performance qui en résulte.
IV – II + III – I = ∑(Wai - Wpi) (Rai - Rpi)
d. L’effet total (ou la sur-performance) :
IV – I = ∑(Wai . Rai) - (Wpi . Rpi)
Conclusion :
Les modèles simples de décomposition suivant les étapes du processus de gestion sont basés
sur le même principe, à savoir la distinction entre la performance provenant du risque pris
et celle provenant de la sélection de titres. En outre, ces modèles considèrent que le principal
facteur influençant la performance d’un fonds est l’indice de marché, d’où la limite de leur
pouvoir explicatif, les fonds obligataires étant affectés par des facteurs plus complexes.
Toutefois, la simplicité de ces modèles en fait leur force, car ils permettent assez clairement
d’expliquer pour les fonds investis en actions la stratégie mise en place par le gérant et ses
résultats. Toutefois, concernant les fonds obligataires, des lacunes sérieuses existent dans
ces modèles. En effet, l’appréciation des deux risques définis plus haut, constitue la valeur
ajoutée du gérant obligataire, chose que permettent d’expliquer les modèles d’attribution
101
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
de base de manière plus ou moins simpliste. Toutefois, se pose le problème de
décomposition de la part de rendement attribuable à la bonne anticipation de mouvement
de la courbe de taux. De plus, comment calculer la contribution d’une classe à la
performance quand les caractéristiques des obligations changent au cours du temps
(sensibilité, duration, …) ? Comment gérer le passage d’une classe à l’autre pour une
obligation qui change de maturité à une autre inférieure ?
Depuis les années 70, des auteurs se sont penchés sur ce problème et ont tenté de
développer des modèles alternatifs tenant compte des particularités des fonds obligataires.
Les premiers modèles spécifiques n’ont commencé à voir le jour qu’au début des années 80.
102
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
BIBLIOGRAPHIE
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pp. 10-16.
104
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
APPENDICE
NOTIONS DE MATHEMATIQUES FINANCIERES
1. L’intérêt simple :
Dans un placement ou un emprunt de courte durée (moins d’un an), les intérêts sont calculés
de manière simple. Ils sont déterminés proportionnellement au capital placé ou emprunté,
au taux d’intérêt et à la durée du placement. Le montant de l’intérêt se mesure donc par :
-
Intérêts = I = V0 i n
360
Avec, V0 : le capital placé ou emprunté, i : le taux annuel d’intérêt et n : le nombre de jours
de placement ou d’emprunt49.
1.1. Valeur acquise, valeur actuelle
Pour comparer ou additionner des sommes versées ou reçues à des dates différentes, il est
nécessaire au préalable de les actualiser afin de les ramener en théorie à la même date.
L’actualisation consiste soit à calculer leurs valeurs à une date future, que l'on appelle
valeurs futures ou valeurs acquises, soit à calculer leurs valeurs aujourd’hui, (ou leurs valeurs
actuelles). Le taux d'intérêt qui permet de passer d’une valeur future à une valeur actuelle
et inversement s’appelle taux d’actualisation. Concrètement, ce taux est soit un taux
d’emprunt, soit un taux de placement, suivant la situation que l’on envisage.
1.2. Intérêts post-comptés et précomptés :
Lorsque l'intérêt est versé à la fin de l’opération (prêt ou emprunt), ce qui est le cas le plus
courant, il est dit post-compté ou à terme échu. Ainsi, une somme V0 placée ou empruntée
pendant n jours au taux i post-compté donnera lieu n jours plus tard à un remboursement
de : Vn = V0 + I. C’est le cas de la plupart des opérations financières à court terme (découvert
bancaire, compte sur livret, placement à terme…).
Lorsque l'intérêt est versé au début de l’opération, il est dit précompté. Ainsi, une somme
V0 empruntée sur n jours au taux i précompté ne donne lieu au début de l'opération qu'à un
versement de V0 – I. A l'échéance, l'emprunteur devra rembourser V0. C'est le cas
notamment de l'escompte commercial, de certains certificats de dépôts ou de certains
billets de trésorerie. L'intérêt précompté avantage le prêteur puisqu'il reçoit l'intérêt plus
tôt, au début de la période de placement. Par contre, l'intérêt post-compté avantage
l'emprunteur qui verse l'intérêt plus tard, à la fin de la période d'emprunt.
Cas des intérêts post-comptés :
49
Par convention, le taux d’intérêt pour une période de moins d’un an est calculé sur la base d’une année de
360 jours (12 mois de 30 jours).
105
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
-
Valeur acquise ou future d’un capital :
La valeur acquise ou future d’un capital V0 placé au taux post compté i pendant n jours est
égale à la valeur initiale de ce capital augmentée de la valeur des intérêts.
Vn = V0 x (1 + i x n /360).
Exemple n° 1 :
Un capital de 5.000 DT a été placé à intérêt simple au taux de 5,5 % le 1er octobre. Quelle est
sa valeur acquise le 10 novembre ?
Solution :
Il y a 40 jours entre le 1er octobre et le 10 novembre50.
Vn = 5.000 x (1 + 5,5 % x 40/360) = 5 030,56 DT.
-
Valeur actuelle d’un capital :
Pour calculer la valeur actuelle d’un capital, on utilise un procédé inverse à celui utilisé pour
calculer la valeur future :
Vn = V0 x (1 + i x n /360), donc :
V0 = Vn / (1 + i x n /360)
Exemple n° 2 :
Quelle est la valeur actuelle, au taux d’actualisation de 5 %, d’un capital de 500 DT à recevoir
dans 25 jours ?
Solution :
V0 = 500 / (1 + 5% x 25/360) = 498,27 DT.
Cas des intérêts précomptés :
-
Valeur actuelle d’un capital :
La valeur actuelle d’un montant Vn à recevoir ou à payer dans j jours au taux i précompté est
égale à la valeur de cette somme diminuée de la valeur des intérêts.
V0 = Vn x (1 - i x n /360)
Exemple n° 3 :
Une entreprise émet sur le marché des billets de trésorerie d'un montant nominal de 150
mille DT, d'échéance 90 jours et de taux facial 3,5% précompté. Quel est le prix d'émission
du billet de trésorerie ?
50
La durée est calculée en nombre de jours exacts (sur une année de 365 ou 366 jours).
106
Gestion obligataire
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Solution :
V0 = 150 000 x (1 - 3,5 % x 90 / 360) = 148 687,50 DT
-
Valeur acquise d'un capital :
Pour calculer la valeur acquise d'un montant V0 placée ou emprunté à taux précompté, on
utilise un procédé inverse de celui utilisé pour calculer la valeur actuelle :
V0 = Vn x (1 - i x n /360),
donc :
Vn = V0 / (1 - i x n /360)
Exemple n° 4 :
Une entreprise a besoin d'un financement d'au moins 30 000 000 DT et souhaite émettre
sur le marché des billets de trésorerie de valeur nominale 150 000 DT, d'échéance 180 jours
et de taux facial 4,5 % précompté. Combien de billets de trésorerie doit-elle émettre ?
Solution :
Si l'entreprise émet 200 billets de trésorerie (30 000 000 / 150 000), elle n'obtiendra qu'un
financement de : 30 000 000 (1 - 4,5 % x 180 /360) = 29 325 000 DT.
Pour obtenir au moins 30 000 000 DT, elle doit donc emprunter un montant correspondant
à la valeur future des 30 000 000 DT dont elle a besoin aujourd'hui : Vn = 30 000 000 / (1 4,5 % x 180 /360) = 30 690 537,08 DT. Les billets de trésorerie étant d'une valeur nominale
de 150 000 DT, il faut que cette entreprise émette 205 billets pour obtenir un peu plus de
30 millions DT.
Passage du Taux post-compté au taux précompté :
Démonstration :
Considérons : D = n/360
L’intérêt précompté est égal à :
Ipré = Vn  Tpré D = (Vn - Ipré)  D  Tpost , donc :
Vn  Tpré  D = (Vn – Vn  Tpré  D)  D  Tpost . D’où :
Tpré = Tpost / (1 + Tpost  D)
et
Tpost = Tpré / (1 - Tpré  D)
Taux précompté = Taux postcompté / [1 + (taux postcompté x nbre de jours) / 360]
107
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Taux postcompté = Taux précompté / [1 – (taux précompté x nbre de jours) / 360]
Remarque :
Le taux post-compté est appelé aussi taux de rendement ou taux « in fine » car il permet
de calculer les intérêts réellement perçus pour un capital placé.
2. Intérêt composé et notion de capitalisation :
En opérations financières à moyen ou long terme, un prêt ou un placement peut durer
plusieurs années. Il semble naturel que le prêteur, au bout d’un an, considère l’intérêt
produit par son capital comme un nouveau capital qui, ajouté au capital initial, portera
intérêt à son tour.
Ainsi, 100 DT placés à 10% produiront à la fin de la première année 10 DT d’intérêts simples
qui porteront le capital placé à 100 + 10 = 110 DT. Ce capital de 110 DT fournira à la fin de la
deuxième année à 10%, 11 DT d’intérêts, qui capitalisés à leur tour, porteront le capital placé
à 110 + 11 = 121 DT qui produiront des intérêts au cours de la troisième année et ainsi de
suite jusqu’à la fin de la durée du placement.
La capitalisation des intérêts (le fait de les ajouter au capital) à la fin d’une période convenue
(généralement l’année) est la caractéristique des placements à intérêts composés.
2.1. Valeur acquise d’un capital :
En reprenant l’exemple précédent et en calculant le capital obtenu à la fin de chaque année :
Année
Capital placé en début d’année
Intérêts
1
2
3
100
110
121
100 x 0.1 = 10
110 x 0.1 = 11
121 x 0.1 = 12.1
Capital accumulé en fin de chaque
année
110
121
133.1
Le capital obtenu à la fin de chaque année s’appelle « valeur acquise » par le capital placé
en début d’année.
Généralisation :
Considérons :
V0 : le capital placé en début de la première période,
i : le taux d’intérêt nominal,
n : le nombre de période de placement.
Tableau n° 1 : Valeur acquise d’un capital
1
V0
V0 i
Capital accumulé en fin de chaque
période
V1 = V0 (1+i)
2
V0 (1+i)
V0 (1+i) i
V2 = V0 (1+i)2
3
V0 (1+i)2
V0 (1+i)2 i
V3 = V0 (1+i)3
Période Capital placé en début de période
Intérêts
108
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
…
…
…
…
n
V0 (1+i)n-1
V0 (1+i)n-1 i
Vn = V0 (1+i)n
Remarques :
-
La capitalisation des intérêts peut être discontinue (annuelle, semestrielle,
trimestrielle, mensuelle, quotidienne, …) ou continue.
-
Plus la capitalisation est fréquente, plus le capital accumulé au bout d’une même
période est élevé.
-
Le taux d’intérêt i est nominal. C’est un taux simple par an. Il peut être périodique.
Dans ce cas, il est égal à i/m, soit i/2 par semestre, i/4 par trimestre et i/12 par mois,
etc.
Mais :
Vn = V0 (1+i)n < V0 [1+(i/m)]nm
-
La formule Vn = V0 (1+i)n n’est applicable que si le taux d’intérêt i et la durée n sont
homogènes, c’est-à-dire exprimés dans la même unité de temps que la période de
capitalisation convenue.
Exemple n° 5 :
Un capital de 8500 DT placé à intérêts composés au taux de 11.4% pendant 10 ans. Calculez
sa valeur acquise.
V0 = 8500 DT, i = 11,4%, n = 10
V10 = 8500(1,114)10 = 8500 x 2,943578
= 25020,413 DT
Exemple n° 6 :
Un capital de 15000 DT est placé à intérêts composés au taux de 12% l’an. Calculer sa valeur
acquise au bout de 7 et 8 mois.
V7+8/12 = 15000 (1,12)7+8/12
(1,12)7+8/12 = 2,210681 + 0,265282 x 8 = 2,3875356
12
V7+8/12 = 35813,034 DT
Exemple n° 7 :
Calculer la valeur acquise par un capital de 13500 DT placé au taux de 10,8% pendant 6 ans
et 7 mois.
V6+7/12 = 13500 (1,108)6+7/12
= 13500 x 1,9668826 = 26552,915 DT
2.2. Taux proportionnels et taux équivalents :

Taux proportionnels : le taux proportionnel au taux annuel i et relatif à une période
k fois plus petite que l’année est égale à i/k. Ainsi, le taux mensuel proportionnel au
109
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
taux annuel 9% est 0,09/12 = 0,75%. Le taux semestriel proportionnel à ce même taux
annuel est 0,09/2 = 4,5%.

Taux équivalents : En intérêts composés, plus la période de capitalisation est courte,
plus la valeur acquise par le même capital au bout de la même période est grande.
Pour que la valeur acquise du même capital soit la même quelle que soit la durée de
placement, il faut appliquer des taux équivalents. Deux taux sont dits équivalents si,
appliqués à un même capital pendant la même durée, donnent la même valeur
acquise.
V0 (1+ia)n = V0 [1+(im)]nm
(1+ia)n = [1+(im)]nm
ia = [1+(im)]m - 1
im = [1+ia]1/m - 1
Exemple n° 8 :
Quelle banque faut-il choisir pour placer son argent si les conditions se présentent comme
suit :
Banque A : taux nominal : 8% l’an, capitalisation annuelle.
Banque B : taux nominal : 8% l’an, capitalisation semestrielle.
Considérons une durée de placement d’une année, la valeur accumulée par un capital V0
étant données les conditions de chacune des deux banques s’élève à :
Banque 1 : V0 (1+ia)n = V0 (1,08)1
Banque 2 : V0 (1+is)2n = V0 (1+is)2x1
Pour que les conditions des deux banques soient équivalentes, il faut que :
V0 (1,08)1 = V0 (1+is)2x1
(1,08)1 = (1+is)2x1
is = 3,92%
Conclusion : les conditions de la banque B sont plus intéressantes.
Remarques :
-
Les taux équivalents correspondant à une période plus courte sont inférieurs aux
taux proportionnels.
-
Les taux équivalents correspondant à une période plus longue sont, par contre,
supérieurs aux taux proportionnels.
-
Dans le cas où la fréquence de versements ne correspond pas à celle de la
capitalisation, on applique la formule ci-après :
Taux nominal
110
Nombre de capitalisations
durant l’année
----------------------------------------Nombre de versements durant
l’année
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Taux périodique
1 + --------------------------------------équivalent
=
Nombre de capitalisations
durant l’année
Tableau n° 2 : Taux périodiques équivalents
Versement
annuel
Taux annuel
équivalent : ia
Versement
semestriel
Taux semestriel
équivalent : is
Versement
trimestriel
Taux trimestriel
équivalent : it
[1+(i/1)]1/2 - 1
[1+ (i/1)]1/4 - 1
[1+(i/1)]1/12 - 1
Semestrielle
[1+(i/1)]1/1 – 1
=i
[1+(i/2)]2/1 - 1
[1+(i/2)]2/4 - 1
[1+(i/2)]2/12 - 1
Trimestrielle
[1+(i/4)]4/1 - 1
[1+(i/2)]2/2 – 1
= i/2
[1+(i/4)]4/2 – 1
[1+(i/4)]4/12 - 1
Mensuelle
[1+(i/12)]12/1 - 1
[1+(i/12)]12/2 - 1
[1+(i/4)]4/4 – 1
= i/4
[1+(i/12)]12/4 - 1
Capitalisation
Annuelle
Versement annuel
Taux mensuel
équivalent : im
[1+(i/12)]12/12 – 1 = i/12
2.3. Valeur actuelle d’un capital :
A partir de la formule de la valeur acquise Vn = V0 (1+i)n, il est possible de calculer le capital
initial placé. Cette valeur s’appelle valeur actuelle de Vn.
V0 = Vn (1+i)-n
3. Equivalence de capitaux :
a. Equivalence de deux capitaux :
Deux capitaux sont équivalents si le montant placé à une certaine date pour donner ce
capital est égal à la valeur actuelle au même taux et à la même date de l’autre capital.
Date
d’équivalence
n1
n2
Vn1
Vn2
Considérons deux capitaux de nominal Vn1 et Vn2, payables respectivement dans n1 et n2
périodes. Nous choisissons la date d’origine comme date d’équivalence.
Vn1 est équivalent à Vn2 si Vn1(1+i)-n1 = Vn2(1+i)-n2
Exemple n° 9 :
Un commerçant ayant une dette de 20.000 DT exigible dans 10 ans, use de son droit au
remboursement par anticipation et décide de s’acquitter de sa dette 7 ans après la date de
son émission. Calculer le capital à rembourser en considérant un taux d’intérêt de 8%.
Vn1(1+i)-n1 = Vn2(1+i)-n2
111
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Vn1(1.08)-7 = 20.000(1.08)-10
Vn1= 20.000(1.08)-10 + 7
Vn1= 15.876,638
b. Equivalence d’un capital et d’un groupe de capitaux :
Un capital est équivalent à un groupe de capitaux si le montant placé à une date donnée
pour donner ce capital est égal à la somme des valeurs actuelles des autres capitaux au
même taux et à la même date.
Date
n1
n
n2
n3
V1
V
V2
V3
d’équivalence
Considérons V la valeur nominale du capital de remplacement payable dans n périodes et
V1, V2 et V3 les valeurs nominales respectives des autres capitaux venant à échéance dans n 1,
n2 et n3 périodes.
V(1+i)-n = V1(1+i)-n1 + V2(1+i)-n2 + V3(1+i)-n3
La même formule s’applique aussi bien pour calculer la valeur nominale du capital de
remplacement connaissant son échéance, que pour calculer l’échéance du capital de
remplacement connaissant la valeur nominale.
4. Les annuités :
Généralement, on désigne par annuités une série de versements effectués à intervalles de
temps régulier. C’est alors qu’on peut parler d’annuités, de semestrialités, de trimestrialités,
de mensualités lorsque la période séparant deux versements successifs est respectivement
une année, un semestre, un trimestre ou un mois.
Plusieurs classifications des annuités sont possibles. On distingue :
-
les annuités de placement et de remboursement :
-
les annuités constantes et variables ;
-
les annuités de début et de fin de période :
-
les annuités certaines dont le nombre est connu à l’avance et viagères dont le
nombre est en rapport avec la durée de vie de la personne qui va effectuer les
versements ou en bénéficier.
112
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
4.1. Valeur future (ou acquise) d’une suite d’annuités :
La valeur future ou acquise d’une suite d’annuités est égale à la somme des valeurs futures
de ces annuités :
0
1
a1
2
a2
3
a3 …
n-1
an-1
n
Périodes
an
a1(1+i)n-1
a2(1+i)n-2
a3(1+i)n-3
…
an-1(1+i)
an
Soient :
-
Vn : la valeur future d’une série de n annuités à la date du dernier versement ;
-
i : l’intérêt de 1 dinar pendant une période.
Vn = a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + a3(1+i)n-3 + … + an-1(1+i) + an
4.1.1. Cas d’annuités constantes :
a1 = a2 = a3 =… = an-1 = an = a
Vn = a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + a3(1+i)n-3 + … + an-1(1+i) + an
Vn = a(1+i)n-1 + a(1+i)n-2 + a(1+i)n-3 + …… + a(1+i) + a
Vn = a (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ……… + (1+i) + 1
Vn = a (1+i)n - 1
i
4.1.2. Cas d’annuités en progression arithmétique :
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
…
an = an-1 + r = a1 + (n-1)r
Vn = a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + a3(1+i)n-3 + … + an-1(1+i) + an
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Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
= a1(1+i)n-1 + (a1 + r) (1+i)n-2 + (a1 + 2r) (1+i)n-3 + … + (a1+ (n-2)r) (1+i) + a1 + (n-1)r
= a1(1+i)n-1 + a1 (1+i)n-2 + a1 (1+i)n-3 + … + a1 (1+i) + a1
+ r (1+i)n-2 + 2r (1+i)n-3 + … + (n-2)r (1+i) + (n-1)r
= a1 (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + … + (1+i) + 1
+ r (1+i)n-2 + 2(1+i)n-3 + … + (n-2) (1+i) + (n-1)
S
Vn = a1 (1+i)n – 1 + r S
i
avec :
S = (1+i)n-2 + 2(1+i)n-3 + … + (n-2) (1+i) + (n-1)
Multiplions par (1+i) les deux membres de l’égalité, on obtient :
(1+i) S = (1+i)n-1 + 2(1+i)n-2 + … + (n-2) (1+i)2 + (n -1) (1+i)
Faisons (1+i)S – S :
(1+i)S – S = Si = (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + … + (1+i)2 + (1+i) + 1 – n
= (1+i)n – 1 - n
I
D’où :
Vn = a1 (1+i)n – 1 + r (1+i)n – 1 + nr
i
i
i
i
4.1.3. Cas d’annuités en progression géométrique :
a1 = a1
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q2
…
an = an-1 . q = a1 . qn-1
Vn = a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + a3(1+i)n-3 + … + an-1(1+i) + an
= a1(1+i)n-1 + a1. q (1+i)n-2 + a1 . q2 (1+i)n-3 + … + a1 . qn-2 (1+i) + a1 . qn-1
= a1 (1+i)n-1 + q (1+i)n-2 + q2 (1+i)n-3 + … + qn-2 (1+i) + qn-1
Somme d’une suite géométrique de 1er terme : ((1+i)n-1 de raison : q.(1+i)-1 et de n termes
114
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Vn = a1(1+i)n-1 1 – [q (1+i)-1]n
1 – [q (1+i)-1]
Vn = a1(1+i)n-1 1 – [q n (1+i)-n]
1 – [q (1+i)-1]
En multipliant par (1+i) le numérateur et le dénominateur, on obtient après simplification :
Vn = a1 (1+i)n – qn
(1+i) – q
4.2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités :
La valeur actuelle d’une suite d’annuités est égale à la somme des valeurs actuelles de ces
annuités :
Soient :
-
V0 : la valeur actuelle d’une série de n annuités à la date 0 (une période avant le
premier versement) ;
-
i : l’intérêt de 1 dinar pendant une période.
0
1
a1
a1
2
3
a2
n-1
a3
…
an-1
(1+i)-1
a2(1+i)-2
a3(1+i)-3
…
an-1(1+i)-n+1
an(1+i)-n
V0 = a1(1+i)-1 + a2(1+i)-2 + a3(1+i)-3 + … + an-1(1+i)–n+1 + an (1+i)–n
4.2.1. Cas d’annuités constantes :
V0 = a (1+i)-1 + a (1+i)-2 + a (1+i)-3 + … + a (1+i)–n+1 + a (1+i)–n
=a
(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + … + (1+i)–n+1 + (1+i)–n
115
n Périodes
an
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
= a 1 - (1+i) –n
i
Remarques :
-
La valeur actuelle d’une suite d’annuités à la date 0 est égale à la valeur actuelle à
cette même date de la valeur acquise de cette série d’annuités à la date du dernier
versement.
n périodes
0 1 2 3
n
V0
Vn
V0 = a 1 - (1+i)–n = a (1+i)n – 1 (1+i)–n = Vn (1+i)–n
i
i
V0 = Vn (1+i)–n
et,
Vn = V0 (1+i)n
-
La valeur d’une suite d’annuités à une date quelconque (comprise entre la date 0 et
la date du dernier versement) est égale à la valeur actuelle à cette date de la valeur
acquise de cette série d’annuités calculée à la date du dernier versement, ou à la
valeur acquise à cette date de la valeur actuelle de cette suite d’annuités obtenue à
la date 0. Si cette date est m avec 0<m<n :
n périodes
0 1 2 3
m
V0
n
Périodes
Vn
Vm
m périodes
(n-m) périodes
Vm = V0 (1+i)m = Vn (1+i)–(n-m)
-
La valeur d’une suite d’annuités à une date quelconque (antérieure à la date 0) est
égale à la valeur actuelle à cette date de la valeur acquise de cette série d’annuités
calculée à la date du dernier versement, ou de sa valeur actuelle obtenue à la date
0. Si cette date est q :
q périodes
n périodes
116
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
q
0 1 2 3
n
Vq
V0
Vn
Périodes
Vq = V0 (1+i)-q = Vn (1+i)–(n+q)
-
La valeur d’une suite d’annuités à une date quelconque (postérieure à la date 0) est
égale à la valeur future à cette date de la valeur acquise de cette série d’annuités
calculée à la date du dernier versement, ou de sa valeur actuelle obtenue à la date
0. Si cette date est p :
n périodes
0 1 2 3
n
p
V0
Vn
Vq
Vp = V0 (1+i)n+p = Vn (1+i)p
4.2.2. Cas d’annuités en progression arithmétique :
V0 = Vn (1+i)–n
Vn = a1 (1+i)n – 1 + r (1+i)n – 1 + nr
i
i
i
i
V0 = a1 { (1+i)n – 1 + r (1+i)n – 1 + nr } (1+i)-n
i
i
i
i
V0 = a1 + r + nr
i
i
p périodes
1 - (1+i)-n - nr
i
i
4.2.3. Cas d’annuités en progression géométrique :
V0 = Vn (1+i)–n
Vn = a1 (1+i)n – qn
(1+i) – q
V0 = a1 (1+i)n – qn
(1+i) – q
(1+i)-n
V0 = a1 1 - qn (1+i)-n
(1+i) – q
5. Les opérations de prêt ou d’emprunt :
117
Périodes
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Quatre instruments de crédit se distinguent par la manière dont les flux de
paiements se répartissent dans le temps
-
Le prêt simple : il s’agit du prêt d'un principal qui est remboursé à l'échéance avec
des intérêts.
-
Le crédit à versements périodiques (à annuité constantes ou variables) : des
montants incluant à la fois le remboursement du principal et les intérêts, sont versés
périodiquement par l'emprunteur.
-
L'obligation classique : elle donne lieu au paiement périodique (annuel, semestriel
ou mensuel) d'un intérêt ou coupon jusqu'à sa maturité, date à laquelle est effectué
le remboursement. Le coupon correspond à la valeur faciale ou nominale multiplié
par le taux nominal, ou taux du coupon. La prime de remboursement est égale à la
différence entre le montant remboursé à maturité et la valeur faciale (ou nominale).
La prime d'émission est égale à la différence entre la valeur faciale et le montant
effectivement versé à l'emprunteur au moment de l'émission (prix d’émission).
-
L'obligation zéro-coupon : elle est émise à un prix inférieur à la valeur faciale, ne
verse pas de coupon, et est remboursée à l'échéance à sa valeur faciale.
6. L’emprunt obligataire :
6.1. Définitions :
L’emprunt obligataire suppose généralement l’existence de plusieurs prêteurs, d’où son
montant est divisé en plusieurs parts égales appelées obligations. Le recours à cette forme
d’emprunt s’explique par l’importance des sommes que l’émetteur veut collecter.
Le remboursement de l’emprunt obligataire s’effectue par le rachat des obligations sur toute
la durée de l’emprunt ou in fine. Cela signifie qu’à la fin de chaque période, généralement
l’année, l’émetteur va déterminer le nombre d’obligations (ou titres) qui seront tirées au
sort et remboursées (amorties).
Chaque obligation se caractérise par trois valeurs qui sont les suivantes :
-
La valeur nominale (VN) : il s’agit de la valeur imprimée sur la face de l’obligation.
Elle est, pour cette raison, appelée également valeur faciale de l’obligation.
-
Le prix d’émission (P0) : c’est le prix auquel l’obligation sera vendue au public.
L’émission peut se faire au pair (P0 = VN), à escompte (P0 < VN) ou à prime (P0 > VN).
-
La valeur de remboursement (VR) : c’est le prix auquel l’émetteur va racheter les
obligations. Elle peut être supérieure ou égale (cas général) à la valeur nominale.
Les obligations peuvent être avec ou sans coupon (zéro coupon). Lorsque qu’elles sont avec
coupon et le remboursement n’est pas in fine, à la fin de chaque période, et en plus du
remboursement d’une partie des obligations en circulation, l’émetteur verse, à toutes les
obligations non remboursées, des intérêts (coupons). La valeur du coupon (c) est
déterminée par l’application du taux nominal (i) à la valeur nominale de l’obligation.
118
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
L’annuité totale versée à la fin de chaque période par l’émetteur aux porteurs d’obligations,
se décompose en :
-
Intérêts dont le montant est déterminé en multipliant le montant du coupon par le
nombre de titres en circulation au cours de la période en question ;
-
Un amortissement dont le montant est égal à la valeur de remboursement multipliée
par le nombre d’obligations tirés au sort.
6.2. Tableau d’amortissement :
Considérons :
N0 : le nombre total d’obligations émises ;
V0 : la dette initiale de l’émetteur vis-à-vis de l’ensemble des porteurs d’obligations. Cette
dette est égale au nombre total de titres émis multiplié par la valeur de remboursement des
titres.
V0 = N0 x VR
NP-1 : le nombre de titres en circulation au début de la période p.
Vp-1 : la dette vivante au début de la période p.
Vp-1 = Np-1 x VR
np : le nombre d’obligations amorties, c’est-à-dire, rachetées à la fin de la période p.
Ap : l’amortissement effectué à la fin de la période p.
Ap = np x VR
D’où, le capital restant dû après l’amortissement de la période p = Vp = Vp-1 - Ap = Vp-1 - VR.np
ap : l’annuité versée par l’émetteur à la fin de la période p.
ap = Ap + Np-1c , c étant le coupon par obligation.
Récapitulation :
0
Nombre d’obligations amorties
Nombre d’obligations vivantes
Amortissements
Annuités
1
2
3
p
n-1
n
n1
N1
A1
a1
n2
N2
A2
ap
n3
N3
A3
a3
np
Np
Ap
ap
nn-1
Nn-1
An-1
an-1
nn
Nn
An
an
Tableau n° 3 : Tableau d’amortissement
119
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Dette ou capital
Nombre de titres
Nombre Intérêts
Périodes
restant dû en
en circulation en Amortissement de titres (coupon
Annuités
début de période début de période
amortis
total)
1
V0
N0
A1
n1
N0 c
a1 = A1 + N0c
2
V 1 = V0 - A 1
N1= N0 - n1
A2
n2
N1 c
a2 = A2 + N1c
…
…
…
…
…
…
P
Vp-1 = Vp-2 – Ap-1
Np-1= Np-2 – np-1
Ap
np
NP-1 c
ap = Ap + Np-1c
…
…
…
…
…
…
N
Vn-1 = Vn-2 – An-1
N1= N0 - n1
An
nn
Nn-1 c
an = An + Nn-1c
Ce tableau appelle trois remarques importantes :
-
La somme des amortissements est égale au montant de la dette initiale :
n
V 0 = ∑ Ap
p=1
-
Le nombre total des titres amortis sur la durée de l’emprunt est égal au nombre total
des titres émis :
n
N0 = ∑ n p
p=1
-
Dans la mesure où après le paiement de An la dette vis-à-vis des porteurs
d’obligations devient nulle (Vn = 0), il est possible d’écrire :
An = Vn-1
6.3. Relations entre les différents paramètres de l’emprunt : cas des annuités
constantes
Il est possible d’envisager différentes relations entre les annuités et les amortissements.
6.3.1. Loi de succession des nombres de titres amortis :
Considérons les annuités de rangs p et (p+1) qui sont toutes les deux égales à l’annuité
constante « a », nous avons alors :
ap = Ap + Np-1c
ap+1 = Ap+1 + Npc
Les deux annuités étant égales à « a », nous pouvons écrire :
Ap + Np-1c = Ap+1 + Npc
ou bien,
Ap+1 = Ap + Np-1c - Npc
d’où :
Ap+1 = Ap + (Np-1 - Np) c
(1)
120
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
La parenthèse représente ici la différence entre le nombre de titres en circulation au début
de la période p et celui en début de période (p+1). Cette différence représente le nombre
de titres amortis ou remboursés à la fin de la période p. Ce nombre est égal à np.
Np = Np-1 - np , donc : Np-1 - Np = np
L’équation (1) devient alors :
Ap+1 = Ap + np c
Par définition, nous avons : Ap = np VR
Nous pouvons donc écrire : np+1 VR = np VR + np c
En divisant les deux membres par VR, nous obtenons :
np+1 = np + np (c/VR)
En remplaçant (c/VR) par r, l’équation ci-dessus devient :
np+1 = np (1+ r)
(2)
Ainsi, lorsque les annuités sont constantes, les nombres de titres amortis à la fin de chaque
période sont en progression géométrique de raison (1+r).
6.3.2. Loi de succession des amortissements :
Il est possible d’établir cette loi en multipliant les deux membres de l’équation précédente
par VR. Nous obtenons alors :
np+1 VR = np VR (1+ r)
or, comme Ap = np x VR, nous pouvons écrire :
Ap+1 = Ap (1+ r)
(3)
En d’autres termes, lorsque les annuités sont constantes, les amortissements sont en
progression géométrique de raison (1+r).
Nous pouvons par ailleurs remarquer que lorsque le remboursement de l’emprunt
obligataire est effectué au pair, c’est à dire lorsque VR = VN, nous avons :
R = c/VR = c/VN = i VN/VN = i
La loi de succession des amortissements devient alors :
Ap+1 = Ap (1+ i)
6.3.3. Relation entre le nombre total de titres émis N0 et le nombre de titres amortis
à la fin de la première période n1 :
Nous savons que par définition le nombre total de titres émis est égal au total des titres
amortis à la fin des différentes périodes :
121
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
N0 = n1 + n2 + n3 + … + np + … + nn-1 + nn
D’après la relation (3), il est possible d’écrire :
N0 = n1 + n1 (1+r) + n1 (1+r)2 + … + n1 (1+r)p-1 + … + n1 (1+r)n-2 + n1 (1+r)n-1
N0 = n1 1 + (1+r) + (1+r)2 + … + (1+r)p-1 + ……… + (1+r)n-2 + (1+r)n-1
N0 = n1 (1+ r)n - 1
r
(4)
En généralisant ce même raisonnement, il est possible de déterminer le nombre
d’obligations remboursées après le pème tirage
Xp = n1 (1+ r)p - 1
r
Le nombre d’obligations vivantes après ce même pème tirage, c’est à dire Np, est égal à :
N0 - n1 (1+ r)p - 1 = n1 (1+ r)n - (1+ r)p
r
r
6.3.4. Relation entre le montant total de la dette et le premier amortissement :
Cette relation est facile à établir. Il suffit, en effet, de multiplier les deux termes de l’équation
(4) par VR. Cela nous donne :
N0 VR = n1 VR (1+ r)n - 1
r
V0 = A1 (1+ r)n - 1
r
(5)
6.3.5. Relation entre l’annuité constante « a » et le premier amortissement (A1):
D’une façon générale, nous avons :
ap = Ap + Np-1c
et
an = An + Nn-1c
or, comme Nn-1 = nn et An = nn x VR, nous pouvons écrire :
an = nn (VR + c)
Cette égalité peut encore s’écrire sous la forme :
an = nn VR (VR/VR + c/VR)
122
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
an = An (1 + r)
Puisque l’annuité est constante :
a = An (1 + r)
(6)
Cette dernière égalité décrit la relation qui lie l’annuité constante au dernier amortissement.
Il est possible d’en déduire, en la combinant avec l’équation (5), la relation qui lie cette
même annuité constante au premier amortissement A1. En effet d’après la loi de succession
des amortissements, nous avons :
Ap+1 = Ap (1 + i)
Et donc,
An = A1 (1 + r)n-1
En remplaçant An par sa valeur en fonction de A1 dans l’équation (6), celle-ci devient :
a = A1 (1 + r)(1 + r)n-1
a = A1 (1 + r)n
(7)
En inversant l’équation, il est possible d’exprimer A1 en fonction de a.
A1 = a (1 + r)-n
(8)
6.3.6. Relation entre l’annuité constante « a » et la dette initiale (V0) :
Il est possible d’établir cette relation en combinant les relations (5) et (8). En effet, en
remplaçant dans l’équation (7), A1 par sa valeur dans l’équation (8), nous obtenons :
V0 = a (1 + r)-n (1+ r)n - 1
r
Cette équation devient après transformation :
V0 = a 1 – (1+ r)-n
r
(9)
a = V0 _____r____
1 – (1+ r)-n
(10)
123
Gestion obligataire
______________________________________________________________________________________
Page
Préambule : Notions de Mathématiques financières
1. L’intérêt simple
1.1. Valeur acquise, valeur actuelle
1.2. Intérêt post-comptés, intérêt précompté
2. Intérêts composés et notion de capitalisation
2.1. Valeur acquise d’un capital
2.2. Taux proportionnel et taux équivalents
2.3. Valeur actuelle d’un capital
3. Equivalence de capitaux
4. Les annuités
4.1. Valeur future d’une suite d’annuités
4.2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités
5. Les opérations de prêt et d’emprunt
6. L’emprunt obligataire
7.1. Définitions
7.2. Tableau d’amortissement
7.3. Relations entre les différents paramètres d’un emprunt
n
124
4
4
4
4
7
7
8
9
9
11
11
13
16
17
17
18
19