TD 12 - Cinématique du point

TD 12 - Systèmes Mécaniques
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MPSI/PCSI
Système de lancement du Space Mountain® - Corrigé
Q.1.
r
x2
r
y1
β
G
r
y0
r
y
O1
r
x0
α
O
r r r
z = z1 = z2
r
x1
λ
r
x0
r
x1
r
x1
O2
r
y1
r
y
r
y0
O
r
z0
r
Ω1 / 0 = 0
r
y2
α=cte
O1
r
z1
r
x
r
y1
r
x2
β
r
x
r r
z1 = z2
r
x1
r
r
Ω2 / 1 = β& .z2 → Ω2 / 0 = β& .z2
Q.2. VO2 ,2 / 0 =
Q.3. VG,2 / 0 =
r
r
r
r
d
d r
OO2 = (λ .x1 + a1 .x1 + b1 .y1 ) = λ&.x1 → VO2 ,2 / 0 = λ&.x1
dt
dt
0
0
r
r
r
r
r
r
d
d r
dr
OG = (λ.x1 + a1 .x1 + b1 .y1 + a2 .x2 ) = λ&.x1 + a2 . x2 = λ&.x1 + a2 .β& .y2
dt
dt
dt 0
0
0
r
r
→ VG ,2 / 0 = λ&.x1 + a2 .β& .y2
ΓG ,2 / 0 =
(
r
d
d &r
VG,2 / 0 =
λ.x1 + a2 .β& .y2
dt
dt
0
)
r
r
r
r
r
dr
= λ&&.x1 + a2 .β&&.y2 + a2 .β& . y 2 = λ&&.x1 + a2 .β&&.y2 − a2 .β& 2 .x2
dt 0
0
r
r
r
→ ΓG ,2 / 0 = λ&&.x1 + a2 .β&&.y 2 − a2 .β& 2 .x2
Rappels :
d
d
x2 = x 2 + Ω2 / 0 ∧ x 2 = β& .z2 ∧ x2 = β& .y2
dt 0 dt 2
d
d
y2 = y2 + Ω2 / 0 ∧ y2 = β& .z2 ∧ y2 = − β& .x 2
dt 0 dt 2
(ici, il est cependant préférable de trouver ce résultat par les figures géométrales)
Q.4. Accélération maximale = 9 m/s2 d’après le C.d.C.F. → a2 . β&& = 9 → β&& =
9
9
-2
=
= 53 rad.s
a2 0 ,17
β&& = 53 rad.s-2 < 80 rad.s-2 → C.d.C.F. ok
Florestan MATHURIN
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TD 12 - Systèmes Mécaniques
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MPSI/PCSI
Robot ramasseur de fruits - Corrigé
Q.1.
r
y1
r
y2
r
y0
r
y1
r
x1
θ1
r
x0
r r
z1 = z0
r
y3
r r
z1 = z2
r
Ω1 / 0 = θ&1 .z0
r
y2
r
x2
θ2
r
x1
r
r y1
y2
r
x3
θ3
r r
z3 = z2
r
Ω2 / 1 = θ&2 .z0
r
y3
r
x2
r
x3
r
y0
r
θ3 x 2
θ2 r
x1
θ1 r
x0
r r r r
z0 = z1 = z2 = z3
r
Ω 3 / 2 = θ&3 .z0
r
r
d
d r
O0O1 = R.x1 = R.θ&1 .y1 → VO1 ,1 / 0 = R.θ&1 .y1
dt
dt
0
0
r
r
r
r
dr
dr
Rappel :
x1 = x1 + Ω1 / 0 ∧ x1 = θ&1 .z0 ∧ x1 = θ&1 .y1 (ici, il est cependant préférable de trouver ce résultat
dt 0 dt 1
par les figures 2D de repérage paramétrage)
Q.2. VO1 ,1 / 0 = VO1 / 0 =
(
Q.3. VO2 ,2 / 0 = VO2 / 0 =
)
(
(
)
)
r
r
r
r
r
d
d r
O0O2 = (R.x1 + R.x2 ) = R.θ&1 .y1 + R. θ&1 + θ&2 .y2 → VO2 ,2 / 0 = R.θ&1 .y1 + R. θ&1 + θ&2 .y2
dt
dt
0
0
(
)
(
)
r
r r
r
dr
dr
x2 = x2 + Ω2 / 0 ∧ x2 = θ&1 + θ&2 .z0 ∧ x2 = θ&1 + θ&2 .y 2 (ici, il est cependant préférable de trouver
dt 0 dt 2
ce résultat par les figures 2D de repérage paramétrage)
Rappel :
(
)
(
)
r
r
r
r
r
d
d r
O0M = (R.x1 + R.x2 + L.x 3 ) = R.θ&1 .y1 + R. θ&1 + θ&2 .y2 + L. θ&1 + θ&2 + θ&3 .y 3
dt
dt
0
0
r
r
r
&
&
&
&
&
&
→ VM,3 / 0 = R.θ1 .y1 + R. θ1 + θ2 .y2 + L. θ1 + θ2 + θ3 .y 3
Q.4. VM,3 / 0 = VM / 0 =
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r r
r
dr
dr
x 3 = x 3 + Ω 3 / 0 ∧ x 3 = θ&1 + θ&2 + θ&3 .z0 ∧ x 3 = θ&1 + θ&2 + θ&3 .y 3 (ici, il est cependant préférable de
dt 0 dt 3
trouver ce résultat par les figures 2D de repérage paramétrage)
Rappel :
π
Q.5. On a θ2 = π − 2.θ1 → θ&2 = −2.θ&1 et θ3 = θ1 − → θ&3 = θ&1
2
r
r r
r r
&
&
D’où : VM,3 / 0 . x 0 = R.θ1 .y1 . x 0 − R. θ1 .y2 . x 0 et à l’aide des figures planes on obtient :
r r
y1 . x 0 = − sinθ1
r r
r r
r r
y 2 . x 0 = − sin (θ1 + θ2 ) → y 2 . x 0 = − sin (θ1 + π − 2.θ1 ) → y 2 . x 0 = − sin (− θ1 + π ) = − sin (θ1 )
r
r
→ VM,3 / 0 . x 0 = −R.θ&1 . sinθ1 + R.θ&1 . sinθ1 = 0 → VM,3 / 0 . x 0 = 0
( )
r r
r r
r r
VM,3 / 0 = R.θ&1 .(y1 − y 2 ) → VM,3 / 0 = VM,3 / 0 . VM,3 / 0 = R.θ&1 . (y1 − y2 )2 = R.θ&1 . 2 − 2.y1 .y2
VM,3 / 0 = R.θ&1 . 2 − 2. cos θ2 = R.θ&1 . 2 − 2. cos (π − 2.θ1 ) → VM,3 / 0 = R.θ&1 . 2 + 2. cos (2.θ1 )
Q.6. VM,3 / 0 est maxi pour θ1 = 0 → VM,3 / 0 = 48 × 0,08 ×
Florestan MATHURIN
2π
× 2 = 0,8 cm/s < 2 cm/s → C.d.C.F ok.
60
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TD 12 - Systèmes Mécaniques
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MPSI/PCSI
Manège Magic Arms - Corrigé
Q.1.
r
y1
r
y2
x
r
y0
r
x2
x
r
x3
r
x1
x
β
α
x
r r r
z0 = z1 = z2
r
Ω1 / 0 = α& .z0
r
Ω2 / 1 = β& .z0
r
Ω3 / 2 = ϕ&.y2
r
x2
r
z3
x
ϕ
r
x0
r r
y2 = y3
(
)
r
= (α& + β& ).z
r
Ω2 / 0 = Ω21 + Ω10 = α& + β& .z0
r
z2
Ω3 / 0 = Ω3 / 2 + Ω21 + Ω10
x
0
r
+ ϕ&.y 2
Q.2. Le point P a une réalité physique sur le solide 3, on peut utiliser le calcul direct.
VP ,3 / 0 = VP / 0 =
Avec
(
)
r
r
r
r
r
d
d
d r
O1P = (− l1 .y1 − l2 .y2 − R.z3 ) = l1 .α& .x1 + l2 . α& + β& .x2 − R. (z3 )
dt
dt
dt
0
0
0
((
)
(
)
)
(
)
r
r
r
r
r
r
dr
dr
z3 = z3 + Ω3 / 0 ∧ z3 = α& + β& .z2 + ϕ&.y 3 ∧ z3 = α& + β& . sinϕ .y 2 + ϕ&.x 3
dt 0 dt 3
(
)
r
r
r
r
→ VP ,3 / 0 = l1 .α& .x1 + l2 . α& + β& .x2 − R. α& + β& . sinϕ .y2 − R.ϕ&.x 3
Q.3. Pour t [17-27] secondes on a les trois vitesses angulaires constantes → il y a donc 3 mouvements
circulaires uniformes (accélérations nulles) :
α& = 0,84 rad/s
β& = 0,94 rad/s
ϕ& = −0,628 rad/s
Loi du mouvement → α(t) = α& .t + cte1 et à t = 17s, on a α= 10,5 rad
Loi du mouvement → β(t) = β& .t + cte2 et à t = 17s, on a β= 3,76 rad
Loi du mouvement → ϕ(t) = ϕ&.t + cte3 et à t = 17s, on a γ = –10,676 rad
→ α(17 s) =10,5 rad = 0 ,84 × 17 + cte1 → cte1 = 10,5 − 0 ,84 × 17 = – 3,78
→ β(17 s) = 3,76 rad = 0 ,94 × 17 + cte2 → cte2 = 3,76 − 0 ,94 × 17 = – 12,22
→ ϕ(17 s) = -10,676 rad = −0 ,628 × 17 + cte3 → cte3 = −10,676 + 0,628 × 17 = 0
Loi du mouvement → α(t) = 0,84.t − 3,78
Loi du mouvement → β(t) = 0 ,94.t − 12,22
Loi du mouvement → ϕ(t) = −0 ,628.t
Q.4. Pour t1=19,8 s on a :
α(19,8) = α& .t − 3,78 = 0,84 × 19,8 − 3,78 = 12,852 rad
β(19,8) = β& .t − 12,22 = 0 ,94 × 19,8 − 12,22 = 6,392 rad
ϕ(19,8) = ϕ&.t = −0 ,628 × 19,8 = –12,43 rad
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
r
Q.5. VP ,3 / 0 = l1 .α& .x1 + l2 . α& + β& .x2 − R. α& + β& . sinϕ .y2 − R.ϕ&.x 3 = Vx2 .x2 + Vy2 .y 2 + Vz2 .z2 .
Avec :
r
r
r
x1 = cos β .x2 − sin β .y 2
r
r
r
x 3 = − sinϕ .z2 + cos ϕ .x2
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
VP ,3 / 0 = l1 .α& .(cos β .x2 − sin β .y 2 ) + l2 . α& + β& .x2 − R. α& + β& . sinϕ .y 2 − R.ϕ&.(− sinϕ .z2 + cos ϕ .x2 )
Florestan MATHURIN
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TD 12 - Systèmes Mécaniques
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MPSI/PCSI
(
(
)
)
 Vx 2 = l1 .α& . cos β + l2 . α& + β& − R.ϕ&. cos ϕ

Soit :  Vy2 = −l1 .α& . sin β − R. α& + β& . sinϕ
V = +R.ϕ&. sinϕ
 z2
Vx2 = 3,9 × 0,84 × cos 6,392 + 2,87.(0,84 + 0,94 ) + 2,61 × 0,628. cos(−12,43)

A.N. :  Vy2 = −3,9 × 0,84. sin 6,392 − 2,61.(0,84 + 0,94 ). sin(−12,43)
 V = −2,61 × 0,628. sin(−12,43)
 z2
Soit Vx 2 = 10 m/s, Vy2 = −0,967 m/s et Vz2 = −0,215 m/s.
(
)
(
)
r
r
r
r
Q.6. VP ,3 / 0 = l1 .α& .x1 + l2 . α& + β& .x2 − R. α& + β& . sinϕ .y 2 − R.ϕ&.x 3
ΓP ,3 / 0 =
(
(
)
(
)
r
r
r
r
d
d
VP ,3 / 0 =
l1 .α& .x1 + l2 . α& + β& .x2 − R. α& + β& . sinϕ .y 2 − R.ϕ&.x 3
dt
dt
0
ΓP ,3 / 0 = l1 .α& .
(
)
(
)
(
)
0
)
r
dr
dr
dr
dr
x1 + l2 . α& + β& . x2 − R.ϕ&. α& + β& . cos ϕ .y2 − R. α& + β& . sinϕ l2 . y2 − R.ϕ&. x 3
dt 0
dt 0
dt 0
dt 0
Avec :
r
dr
x1 = α& .y1
dt 0
r
dr
x2 = (α& + β& ).y2
dt 0
r
dr
y 2 = −(α& + β& ).x2
dt 0
((
)
)
(
)
r
r
r
r
r
r
dr
dr
x 3 = x 3 + Ω3 / 0 ∧ x 3 = α& + β& .z2 + ϕ&.y 3 ∧ x 3 = α& + β& . cos ϕ .y2 − ϕ&.z3
dt 0 dt 3
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
ΓP ,3 / 0 = l1 .α& 2 .y1 + l2 .(α& + β& )2 .y 2 − R.ϕ&. α& + β& . cos ϕ .y 2 + R.(α& + β& )2 . sinϕ .x2 − R.ϕ&. α& + β& . cos ϕ .y2 + R.ϕ& 2 .z3
Q.7. Pour t1=19,8 s, on a graphiquement VP ,3 / 0 = 10 m/s.
D’après Q.5. on a VP ,3 / 0 =
Vx22 + Vy22 + Vz22 = 102 + 0,9672 + 0,2152 = 10,04 m/s
→ On retrouve les mêmes résultats.
Q.8. Graphiquement on a ΓP ,3 / 0
Florestan MATHURIN
max
= 17,7 m/s2 soit
17,7 17,7
=
= 1,8 g < 2,5.g → C.d.C.F. ok.
g
9,81
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