Université de Bourgogne Année 2013-2014 L2

Université de Bourgogne
UFR Sciences et Techniques
Année 2013-2014
L2 - UV Probabilités
Troisième feuille de TD
Probabilités conditionnelles
Exercice 1 Poker Patrick tire 5 cartes dans un jeu de 52, sans les regarder. Quelle est la probabilité qu’il
ait une ’couleur’ ? (cinq cartes de pique, ou cinq cartes de cœur, etc.).
Il retourne les deux premières cartes : ce sont des piques. Quelle est la probabilité d’avoir une couleur ?
Il retourne la troisième carte, c’est encore un pique. Même question. Et après la quatrième ?
Exercice 2 Madame Irma Parmi les clients d’une voyante, 70% souhaitent la fortune et 30% l’amour.
1- Comme Mme Irma ne connaı̂t pas les souhaits des clients, elle leur promet au hasard soit la fortune,
soit l’amour. Quelle est la probabilité qu’un client pris au hasard soit satisfait de sa promesse ?
2- La voyante vient d’apprendre les souhaits de ses clients par une enquête statistique. Elle en tient
compte en promettant 7 fois sur 10 la fortune (sa décision est indépendante du souhait du client). Montrer
que le client a une probabilité 0.58 d’être satisfait.
Exercice 3 Nimbus Le professeur Nimbus a perdu son parapluie en allant à l’université. Il l’a perdu soit
dans le tram (probabilité (1 − p)), soit dans un des étages (avec probabilité p/3 pour chaque étage).
Il retourne à l’université pour le chercher, et ne le trouve dans aucun des 2 premiers étages. Quelle est
la probabilité qu’il le trouve au dernier ?
Exercice 4 Test On s’intéresse à un test de dépistage d’une certaine maladie. On note M l’événement ’être
malade’, + l’événement ’le test est positif’ et − l’événement ’le test est négatif’. On mesure la qualité du
test par deux indices :
– Indice de sensibilité : Se = PM (+),
– Indice de spécificité : Sp = PM c (−).
Les quantités qui intéressent le clinicien sont les valeurs prédictives du test :
– Valeur prédictive positive : V P P = P+ (M ),
– Valeur prédicitive négative : V P N = P− (M c ).
Calculer les valeurs prédictives dans les cas suivants :
1. Se = 0, 99, Sp = 0, 99, P (M ) = 0, 1,
2. Se = 0, 99, Sp = 0, 99, P (M ) = 0, 005,
3. Se = 0, 99, Sp = 0, 99, P (M ) = 0, 0001,
4. Se = 0, 97, Sp = 0, 97, P (M ) = 0, 005.
Exercice 5 Les demi-finales Roger, Rafael, Novak et Gaël s’affrontent dans un tournoi de tennis. Les trois
premiers sont de même force et ont une chance sur deux de gagner le match s’ils sont opposés à l’un des
deux autres. Ils gagnent systématiquement contre Gaël.
L’organisateur du tournoi choisit au hasard (uniformément) les demi-finales, mais impose que Rafael et
Novak ne s’affrontent pas en demi-finale.
Quelle est la probabilité pour chacun des joueurs de gagner le tournoi ?
1
Exercice 6 Balrog ? Aragorn explore un souterrain. Soudain, il rencontre un monstre : il s’agit soit d’un
gobelin (trois chances sur cinq), soit d’un orc (trois chances sur dix), soit d’un Balrog (une chance sur dix).
S’il rencontre un gobelin, il le tue avec probabilité 9/10. S’il rencontre un orc, il a 7 chances sur 10 de
vaincre. Enfin, s’il rencontre un Balrog, il a une chance sur 2 de l’emporter.
Sachant qu’Aragorn est sorti vivant du souterrain, quelle est la probabilité qu’il ait rencontré un Balrog ?
Exercice 7 Route Pour sa promenade du dimanche, Marcel a le choix entre deux chemins. Malheureusement, certaines parties des chemins sont coupées à cause des inondations. Le chemin de chez Swann
se compose de deux parties, et chacune est ouverte à la circulation avec probabilité 2/3. Le chemin de
Guermantes a trois parties, ouverte chacune avec probabilité 3/4.
1. Si Marcel choisit un des deux chemins au hasard (uniformément), et essaie de le suivre, quelle est la
probabilité qu’il finisse sa promenade sans encombres ?
2. Supposons maintenant que Marcel voie, de sa chambre, quelles parties des chemins sont libres. Si
aucun chemin n’est libre, Marcel reste couché. Quelle est la probabilité qu’il se lève ?
Exercice 8 Les pièces du magicien Un magicien a six pièces de monnaie : deux d’entre elles ont deux ’pile’,
une a deux ’face’ et les trois autres sont normales.
1. Il ferme les yeux, choisit une pièce au hasard et la lance. Quelle est la probabilité que la face inférieure
soit ’face’ ?
2. Il ouvre les yeux et voit un ’face’. Quelle est la probabilité que la face inférieure soit ’face’ ?
3. Il ferme les yeux et relance la même pièce. Quelle est la probabilité que la face inférieure soit ’face’ ?
Exercice 9 Trois urnes, deux couleurs On dispose de trois urnes contenant chacune un certain nombre de
boules colorées, comme indiqué dans le tableau ci-dessous :
U1
U2
U3
boules bleues
1
3
4
boules rouges
3
2
2
On tire au hasard une urne, puis une boule de cette urne.
1. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue et sorte de l’urne U 2 ?
2. Quelle est la probaiblité que la boue tirée soit bleue ?
3. La boule tirée est bleue (B). Quelle est la probabilité qu’elle provienne de U 1 ?
Exercice 10 Parties nulles Patrick et Doyle jouent l’un contre l’autre à un jeu de hasard. A chaque manche,
Patrick gagne avec probabilité p, Doyle avec probabilité q et la manche est nulle avec probabilité r (p+q+r =
1). Le premier à gagner une manche gagne la partie.
On note Pn l’événement ’Patrick gagne à la ne manche’, Nn l’événement ’es n premières manches sont
nulles’.
1. Calculer la probabilité conditonnelle : P la partie se finit en une seule manche ( Patrick gagne la partie).
2. Que dire de la suite Nn ? Que vaut Nn ∩Nn−1 ? En déduire que, pour n ≥ 1, P(Nn ) = P(Nn |Nn−1 )P (Nn−1 ).
En déduire une relation de récurrence sur la suite P(Nn ), puis la valeur de P(Nn ).
3. En utilisant le fait que Pn ⊂ Nn−1 , montrer que P(Pn ) = prn−1 .
p
.
4. Montrer que P( Patrick gagne la partie) =
p+q
2