Régression non paramétrique sur l`hyper

Groupe de Travail des Thésards du LSTA-LPMA
Jeudi 27 octobre 2011 à 14h - salle de séminaire couloir
16-26 1er
étage
(LPMA, Paris 7)
Régression non paramétrique sur l'hyper-sphère avec design uniformément distribué
Jean-Baptiste Monnier
Résumé : On observe n réalisations indépendantes (Xi , Yi ) du vecteur (X, Y ) de loi inconnue tel que Y = f (X) + Z , où X est uniformément distribué sur un sous-ensemble E
de Rd et Z est un bruit gaussien indépendant de X . Notre objectif consiste à estimer f
de la manière la plus précise possible à partir du jeu des n observations (Xi , Yi ). Lorsque
E est un sous-ensemble non-dégénéré de Rd , les méthodes traditionnelles de régression en
ondelettes permettent d'obtenir un estimateur optimal de f . Malheureusement, ce n'est
plus nécessairement le cas lorsque E est une sous-variété de dimension (d − 1) de Rd . Dans
le cas particulier où E est l'hyper-sphère de Rd , nous montrons que les frames de needlets
sont à l'hyper-sphère ce que les ondelettes sont aux espaces euclidiens. En particulier nous
prouvons qu'ils permettent de transposer les méthodes bien connues d'estimation en ondelettes à l'hyper-sphère. Nous explorons un ranement de cette procédure avec needlets
que nous illustrons par quelques simulations.
(LSTA, Paris 6)
Lois limites fonctionnelles pour le processus empirique et applications
Sarah Ouadah
Résumé : Considérons une suite X1 , X2 , . . . d'observations réelles, indépendantes de même
loi, dénie par une densité f (· ), continue sur un ouvert J ⊆ R. L'estimateur à noyau de
f (· ), dit de Parzen-Rosenblatt, est déni par
n
1 X
fn,h (x) :=
K
nh i=1
x − Xi
h
x ∈ R,
où h > 0 est la fenêtre et le Rnoyau K(· ) est une fonction à variation bornée dans R et à
∞
support compact, telle que −∞
K(t)dt = 1. Soient 0 < an ≤ bn ≤ 1, n = 1, 2, . . . deux
suites de constantes positives. Fixons I = [a, b] ⊂ J et posons log+ x := log(x ∨ e), x ∈ R.
Théorème 0.1 Supposons que lorsque n → ∞, les suites 0 < an ≤ bn ≤ 1 vérient
bn → 0 et
nan
→ ∞.
log n
Alors, pour Hn = [an , bn ], lorsque n → ∞, on a
1/2
nh
sup sup ± {fn,h (x) − Efn,h (x)} − σ(f, K) = oP (1),
2 log+ (1/h)
x∈I
h∈Hn 1/2
R
où σ(f, K) = supx∈I f (x) R K 2 (t)dt
.
Ce résultat est une conséquence d'une loi limite fonctionnelle pour le processus empirique uniforme. L'objet de l'exposé est de présenter des lois limites fonctionnelles et leurs
applications. Ces travaux sont présentés dans Deheuvels et Ouadah (JTP :2011).
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