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Initiation à la Recherche en Laboratoire
Loı̈c MASURE - Emmanuel MAITRE
May 3, 2016
Problèmes de compacité dans l’analyse mathématique des équations
de la mécanique des fluides
1
Contents
0.1
0.2
0.3
Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Objet de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Différence entre convergence forte
1.1 Premier exemple: oscillation . . .
1.2 Deuxième exemple: concentration
1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . .
et convergence faible
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Quelques techniques de compacité
2.1 Contrôle de gradient sur les équations non-linéaires
2.1.1 Un exemple pour commencer . . . . . . . .
2.2 Compacité par convexité . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Compacité par monotonie: technique de Minty . . .
.
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3
4
5
5
5
6
7
7
7
7
10
11
3 Application à une équation de Navier-Stokes: modélisation du GulfStream
3.1 Étape 1: Composition par l’opérateur rotationnel . . . . . . . . . . .
3.2 Étape 2: Utilisation du théorème de Helmholtz . . . . . . . . . . . .
3.3 Étape 3: Prise en main sur une équation linéaire du même type . . .
12
13
13
14
4 Conclusion
4.1 Bilan sur la problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bilan de l’éxpérience vécue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
15
15
5 Bibliographie
16
2
Introduction
0.1
Contexte
La mécanique des fluides est l’étude de l’écoulement des phases fluides dans un milieu
donné. Le fluide, qu’il soit liquide ou gazeux est soumis comme n’importe quel solide
aux lois fondamentales de la mécanique, mais le point de vue adopté pour la mécanique
du point ou des solides n’est pas suffisant. Les fluides ont fait l’objet d’études de la
part de grands scientifiques comme Euler, Lagrange, mais les équations modernes de
la mécanique des fluides portent cependant les noms de Navier et Stokes (abrégé en
Navier-Stokes). Voici la version la plus générale de ces équations:
−
∂ρ →
−
+ ∇ · (ρ→
u)=0
(1)
∂t
−
→
−
−
−→ →
−
∂(ρ→
u) →
+ ∇ · [ρu ⊗ u] = −∇p + ∇ · τ + ρ f
(2)
∂t
→
−− →
− →
−
→
−
∂(ρe) →
−
−
−
u)+ρf →
u + ∇ · ( q̇ ) + r
(3)
+ ∇ · ((ρe + p)→
u ) = ∇ · (τ · →
∂t
Où ⊗ est le produit tensoriel, formant un tenseur à partir des vecteurs le constituant. Une double barre dénote un tenseur.
Ces équations ont un grand intérêt car leurs domaines d’applications sont vastes.
En premier lieu, la modélisation et l’analyse des écoulements de fluides autour d’un
obstacle (un hélice, une voiture ou même un avion), de phénomènes naturels qui nous
entourent comme les courants marins, la prévision météo; ou encore des phénomènes
analogiques à ceux cités précédemment. Ainsi, certains chercheurs se sont penchés
sur la modélisation du traffic urbain à partir d’un modèle de fluide. Les domaines
d’applications sont vastes, mais ce n’est pas seulement cela qui fait la renommée de
ces équations. En effet, leur difficultés de résolution en font un problème coriace, au
point qu’il fait partie des problèmes du prix du millénaire. Comme aucune solution
générale n’a jusque là été proposée, une récompense de 1 million de dollars est promise
à celui qui en donnera la solution.
D’où vient sa difficulté?
Tout d’abord, il y a un certain nombre d’inconnues (le champ de vitesse, le champ
de pression, et le champ de masse volumique) qui font que la résolution est a priori
difficile à la main. Mais le principal obstacle à une résolution analytique simple
est la non-linéarité de l’équation. Il s’agit alors dans un premier temps de tenter
de contourner cette non-linéarité, en formulant des hypothèses qui permettent de
négliger les termes non-linéaires (on parle alors de ”linéariser” l’équation). Certaines
hypothèses sont très fréquentes, et peuvent être classées en fonction d’un paramètre
3
sans dimension appelé Nombre de Reynolds défini par:
Re =
VL
ν
où
ˆ V est la vitesse caractéristique du fluide.
ˆ L est la dimension caractéristique du milieu d’étude
ˆ ν est la viscosité cinématique du fluide : ν =
ρ
µ
Ainsi, à faible nombre de Reynolds (i.e. Re < 1) on peut négliger les termes
convectifs dans l’équation. L’intérêt étant que le terme convectif contient justement
toutes les non-linéarités! On parle alors de régime de Stokes car on retombe sur
l’équation de Stokes (à quelques hypothèses près sur le caractére stationnaire, et
incompressible du régime notamment):
−∆u + ∇p = f
∇.u = 0
(4)
(5)
Cependant, toute personne dotée d’un peu de rigueur scientifique est en droit de
se questionner quant à la véracité des hypothèses faites pour effectuer ses approximations et négliger les termes gênants. Enlève-t-on ces termes juste parce que ça nous
arrange, quitte à négliger aussi l’estimation de l’erreur commise, ou bien enlève-ton ces termes car ceux-ci n’apportent réellement qu’une contribution minoritaire au
résultat? C’est la question à laquelle nous nous proposons de répondre, ou du moins
d’essayer d’apporter des éléments de réponse.
0.2
Objet de l’étude
Dans ce rapport, nous allons donc étudier des équations non-linéaires dépendant
d’un paramètre, noté qui tendra vers 0 pour annuler certains termes. Le but étant
d’étudier le comportement à la limite des solutions des équations (s’il y en a) et de
voir si celles-ci vérifient l’équation-limite associée. Les termes en facteur du paramètre
pourront être linéaire ou non.
Pour ce faire, nous allons utiliser des résultats tirés de l’état de l’art en Analyse
Fonctionnelle comme les espaces de Sobolev ou bien la convexité pour présenter des
techniques théoriques d’analyse sur les équations non-linéaires. Puis nous allons tenter
d’illustrer les phénomènes mis en évidence par des applications numériques en utilisant
les méthodes variationnelles et le logiciel FreeFem++.
4
0.3
Cadre de travail
Ce module d’I.R.L. s’est déroulé essentiellement dans les bureaux de la tour IRMA du
Laboratoire Jean Kuntzmann à Saint Martin d’Hères, à raison d’une après-midi par
semaine en moyenne, généralement le lundi. Les séances commencaient par une mise
au point avec mon encadrant Emmanuel Maı̂tre sur les différentes tâches à accomplir,
des indications et conseils qui m’ont été précieux tout au long du semestre. Nous nous
sommes également rendu à Chambéry dans les locaux du L.A.M.A. (LAboratoire de
MAthématiques de l’Université de Savoie) pour rencontrer Didier Bresch, directeur
de recherches au C.N.R.S. et spécialiste des équations différentiellese et des E.D.P.
(équations aux dérivées partielles). Il m’a énormément renseigné sur les différentes
techniques liées aux équations non-linéaires, et leurs applications concrètes. Enfin,
une dernière facette du module était la participation à une conférence donnée par
Yann Brenier, directeur de recherches au C.N.R.S. le jeudi 31 mars sur les liens entre
le mouvement Brownien et d’autres domaines des mathématiques.
1
Différence entre convergence forte et convergence
faible
Un premier moyen de mettre en évidence les problèmes qu’il peut y avoir lors du
passage à la limite dans une équation non-linéaire est la différence entre limite faible
et limite forte. En effet, l’une des première piste de résolution est de trouver une
solution faible, en résolvant par exemple la forme variationnelle d’une équation. Notons qu’ici l’invocation du théorème de Lax-Milgram pour garantir l’existence d’une
unique solution faible est à écarter d’emblée car il nécessite de faire apparaı̂tre une
forme bilinéaire, ce qui est impossible pour les EDP non-linéaires.
1.1
Premier exemple: oscillation
Considérons une suite de fonctions de classe (un )n∈N ∈ [C ∞ (0, 1)]N telle que ∀x ∈
(0, 1) un (x) = cos(nx)
5
ˆ Montrons que ∀n ∈ Nun ∈ L2 (0, 1)
Z 1
cos2 (nx)dx
In =
Z0 1
1 1
=
+ cos(2nx)dx
2
0 2
sin(2n)
1
1+
=
2
2n
= < +∞
(6)
(7)
(8)
(9)
Donc un ∈ L2 (0, 1)
L2 (0,1)
ˆ Montrons que un −→ u et explicitons u.
n→∞
R1
Soit φ ∈ L2 (0, 1), alors ∀n ∈ N 0 φ(x) cos(nx)dx est proportionnelle à la partie
réelle du n-ème coefficient de Fourier de φ le prolongement de φ par périodicité
sur R. Or d’après le2 théorème de Riemann-Lebesgue, In −→ 0. Par unicité de
L (0,1)
n→∞
la limite faible, un * 0.
n→∞
ˆ Montrons que 6 (un −→ 0).
n→∞
Si c’était le cas, alors In −→ 0, car In = kun kL2 (0,1) . Or il n’en est rien d’après
n→∞
le calcul précédent.
ˆ Conclusion: On a mis en évidence un cas d’oscillation où convergence faible et
convergence forte ne coı̈ncident pas
1.2
Deuxième exemple: concentration
(√
N
Considérons (un )n∈N ∈ [L2 (0, 1)] définie par: un (x) =
n
0
sur 0, n1
sur n1 , 1
ˆ Convergence simple:
Soit x ∈ (0, 1) ∃Nx ∈ N∀n ≥ N n1 < x. Donc ∀n ≥ Nx un (x) = 0 −→ 0. Il y a
n→∞
donc convergence simple vers 0.
ˆ Convergence en norme:
kun k2L2 (0,1)
Z
=
1
n
√
0
1
n
n
= 1 6= 0.
=
6
2
Z
1
0dx
n dx +
(10)
1
n
(11)
(12)
L2 (0,1)
Donc un −→ 0.
n→∞
ˆ Convergence faible:
Soit φ ∈ L2 (0, 1), alors
Z 1
n
√
φ(x) ndx =
0
√ Z 1 x
n
φ
dx
(13)
n 0
n
Z 1 1
x
= √
φ
dx
(14)
n
n 0
Z 1
1/2 Z 1 1/2
1
x
2
≤ √
1 dx
φ2
dx
(C.-S.) (15)
n
n
0
0
≤ kφkL2 (0,1)
(16)
L2 (0,1)
* 0
(17)
n→∞
ˆ Conclusion:
Là encore, la limite faible et la limite forte ne sont pas les mêmes.
1.3
Conclusion
Ces deux exemples montrent qu’on ne peut pas passer de la limite faible à la limite
forte pour toutes les fonctions de L2 (0, 1), ce qui peut poser problème si on désire
travailler avec la limite faible pour relâcher certaines hypothèses. Ce point justifie
donc la nécessité d’utiliser des techniques pour assurer la convergence forte à partir
de la convergence faible.
2
2.1
Quelques techniques de compacité
Contrôle de gradient sur les équations non-linéaires
Dans cette partie, on se propose de montrer pourquoi les contrôles de gradient
amènent la compacité dans les équations non-linéaires. Ainsi, on devrait pouvoir
utiliser des arguments de compacité développés par la suite pour trouver un moyen
de converger vers la solution de l’équation non-linéaire et par la même, montrer son
existence, voire un moyen de calculer numériquement sa valeur.
2.1.1
Un exemple pour commencer
On commence par considérer un exemple simple en une dimension. Soit Ω =]0, 1[
l’ouvert borné sur lequel on travaille. Considérons l’équation non-linéaire suivante:
7
y0 + y3 = f
y(0) = α
(18)
(19)
L’idée est d’approcher cette équation par une autre équation non-linéaire, mais contenant un terme régularisant:
−y ” + y0 + y3 = f
y (0) = α
y0 (1) = 0
(20)
(21)
(22)
Pour simplifier les calculs, on prendra f = 0 pour commencer. Voici le plan de la
démonstration:
ˆ Montrons que ky kL2 (0,1)) est bornée.
ˆ On en déduit que y admet une sous-suite convergente.
ˆ On montre que la limite notée y0 vérifie l’équation non-linéaire initiale.
1. Montrons que ky kL2 (0,1) est bornée.
On teste l’équation de départ par y :
Z
1
−
Z
1
y0 y
y” y +
0
Z
+
0
1
y4 = 0
0
√ 2
1 0 2
4
y (1) − y0 (0)2 + ky0 kL2 (0,1) = 0
− (y0 (1)y (1) − y0 (0)y (0)) + y0 L2 (0,1) +
2
On teste désormais l’équation de départ par y0 :
Z 1
Z
0
y” y +
−
0
0
1
y0 y
Z
+
1
y4 = 0
0
√ 0
1 √ 0
y4 (1) − y4 (0)
2
2
0 2
− ( y (1)) − ( y (0)) + ky kL2 (0,1) +
=0
2
4
Il vient alors le système d’équations suivant:
√ 2
y 0 2 (0)
4
α + y0 L2 (0,1) + ky0 kL4 (0,1) = 2
1 √ 0
1 4
2
0 2
4
( y (0)) + ky kL2 (0,1) +
y (1) − y (0) = 0
2
4 8
(23)
(24)
De cette dernière équation, on tire que
1 √ 0
1
α4
2
( y (0))2 + ky0 kL2 (0,1) + y4 (1) =
.
2
4
4
Il vient alors que
α4
4
y (1) ≤ C
2
ky0 k ≤
(25)
(26)
p
( ()y0 (0))2 ≤ C
(27)
Or ici,
Z
0
1
y2 (x)dx
Z
1
Z
2
x
y (s)ds + C dx
2
Z x
Z 1 Z x
0
0
y (s)ds + C 2 dx
=
y (s)ds + 2C
0
0
Z 10
Z 1
2
0 4
0
2
≤
x ky kL2 (0,1) + 2C
y (s)ds + C dx
0
0


s
Z 1
Z 1
x2 ky0 k4 2
≤
y0 2 (s)ds + C 2  dx
L (0,1) + 2C
=
0
(29)
(30)
(31)
0
1
8
α2
2
2α
≤
+ 2C
+ C dx
x
16
2
0
α2
1 α8
+ 2C
+ C2
≤
3 16
2
<∞
Z
(28)
0
0
(32)
(33)
(34)
Ce qui achève de montrer que y est borné et :
r
1 α8
α2
ky kL2 (0,1) ≤
+ 2C
+ C 2.
3 16
2
2. Montrons que y admet une sous-suite convergente.
D’après le théorème de Weierstrass, comme L2 (0, 1) est relativement compact, et
que y y est bornée, on peut en extraire une sous-suite convergente. Concrètement,
il ne suffit que de ”régler” la suite (n )n∈N pour que y converge fortement.
9
3. Supposons qu’on a bien une suite convergente, et essayons de trouver les propriétés vérifiées par la limite. En particulier, on veut montrer que celle-ci vérifie
l’équation limite (i.e. de paramètre = 0). Il est évident que les termes comportant des dérivées passent très bien à la limite. Il suffit pour cela de ”transférer”
les dérivées sur les fonction-tests à l’aide de la formule de Green. Pour le terme
en y 3 on va utiliser l’identité remarquable suivante:
y3 − y03 = (y − y0 )(y2 + y y0 + y02 ).
Ainsi,
Z
Ω
y3
−
y03
Z
(y − y0 )(y2 + y y0 + y02 )
ΩZ
≤ M (y − y0 )vdx
=
(35)
(36)
Ω
−→ 0
n→∞
(37)
Ainsi la limite des solutions vérifie l’équation limite:
y0 + y3 = f
y(0) = α
(38)
(39)
Dans ce cas précis, on peut donc dire que la limite des solutions est la
solution de l’équation-limite.
4. Bilan: La présence d’un terme dit ”de gradient” amène un certain contrôle sur
la régularité des solutions dans cet exemple. Pour bien illustrer ce phénomène,
il aurait fallu aller un peu plus en profondeur et montrer avec un contre-exemple
en quoi le contrôle de gradient est utile. Enfin, une démonstration théorique
aurait permis d’achever l’étude de ce point.
2.2
Compacité par convexité
L2 (0,1)
On suppose que un * u. Considérons également f une fonction réelle convexe.
n→∞
Nous allons montrer dans un premier temps que
lim inf f (un ) ≥ f (u).
n→+∞
On trouve des éléments d’explication dans [Bre] page 38. Le corollaire III.8 prétend
L2 (0,1)
que si f f est une fonction convexe, semi-continue inférieure (s.c.i.) et que un * u
n→∞
alors
f (u) ≤ lim inf f (un ).
n→+∞
10
Ceci tient au fait que f est s.c.i pour la topologie faible. En effet, il suffit de montrer
que ∀λ ∈ R Aλ = {x ∈ L2 (0, 1)|f (x) ≤ λ} est fermé pour la topologie faible. Or A
est convexe (car f est convexe) et A est fortement fermé (i.e. fermé pour la topologie
forte). Or d’après le théorème III.7 de [Bre] si A est convexe, alors A est fortement
fermé ssi A est faiblement fermé. Si la réciproque est triviale, l’implication n’est vraie
que sous ces hypothèses ou bien en dimension finie.
Une fois ce résultat établi, il nous faut montrer que si de plus, lim f (un ) = f (u)
n→+∞
alors on a convergence forte dans L1 (0, 1).
2.3
Compacité par monotonie: technique de Minty
Dans l’équation prise pour exemple pour le contrôle de gradient, on remarque qu’on
peut décomposer le membre de gauche en 2 termes. Un terme linéraire regroupant
les dérivées successives de y et un autre terme non-linéaire en y 3 . La technique
de convergence utilisée dans la première sous-partie tirait profit de la spécificité du
terme non-linéaire, en appliquant deux fois le théorème 1.1.1 de [Evab]. Dans cette
partie, on propose de généraliser un peu plus la convergence d’un terme non-linéaire
qui aurait des propriétés de monotonie et de régularité. Ici, on considère l’équation:
−y ” + y0 + φ(y ) = f
y (0) = α
y0 (1) = 0
(40)
(41)
(42)
où φ est monotone, continue.
Vérifions pour commencer que l’application T : y −→ y 3 vérifie ces hypothèses.
Bien entendu, T est continue par opération. De plus, ∀u, v ∈ L2 (0, 1)
Z 1
Z 1
3
3
u − v . (u − v) =
(u − v)2 .(u2 + uv + v 2 )
(43)
0
0
Z 1
(u − v)2 .(u2 − |uv| + v 2 )
(44)
≥
0
≥0
(45)
Car |uv| ≤ 21 (u2 + v 2 ).
Toujours en invoquant le théorème 1.1.1 de [Evab] on en déduit que
Z 1
Z 1
(φ (y ) − φ (v)) .(y − v)dx −→
(χ − φ (v)) .(y0 − v)dx.
n→∞
0
0
Reste à montrer que χ = φ(y0 ). Pour cela, posons v = y0 + λw où λ ∈ R. Il vient
alors que
Z 1
0≤
(χ − φ (y0 + λw)) .(−λw)dx
0
11
et
Z
1
(χ − φ (y0 + λw)) .(+λw)dx
0≤
0
en posant v = y0 − λw En divisant par λ et en faisant tendre λ vers 0 dans les deux
intégrales, il vient alors la double inégalité suivante: ∀w ∈ L2 (Ω)
Z 1
(χ − φ(y0 )) wdx et
(46)
0≤
0
Z 1
(χ − φ(y0 )) wdx d’où
(47)
0≥
0
Z 1
(χ − φ(y0 )) wdx
(48)
0=
0
Ainsi, on peut affirmer que χ = φ(y0 ) presque partout.
Si on applique cette technique à l’équation de départ, on peut donc faire tendre
les termes linéaires sans problème, et le terme non-linéaire également sous couvert
des hypothèses énoncées ci-dessus. Il y a donc convergence de la solution faible vers
une solution faible du problème pour = 0.
3
Application à une équation de Navier-Stokes:
modélisation du Gulf-Stream
On se propose d’appliquer ces techniques variationnelles à un exemple concret: les
courants marins dans l’océan Atlantique-Nord gouvernés par le phénomène de GulfStream. Ce courant marin fait remonter les eaux chaudes des mers tropicales vers
les côtes d’Europe, permettant au Vieux continent de bénéficier de températures bien
plus clémentes que celles des régions situées aux mêmes latitudes en Amérique du
Nord. On prendra comme point de départ, l’équation de Navier-Stokes suivante:
(−∆u + u∇u) + ∇p + x2 u⊥ = f
div u = 0
(49)
(50)
où u est le champ de vitesse du courant en 2 dimensions, p est le champ scalaire
des pressions et f une fonction quelconque.
Cette équation a deux inconnues qui sont u et p. De plus, u est une fonction vectorielle et non scalaire. Nous allons dans un premier temps reformuler cette équation
dans le but de se ramener à une équation scalaire. Notons également que cette
équation est non-linéaire, et l’on peut s’attendre à ce que sa reformulation le soit
aussi.
12
3.1
Étape 1: Composition par l’opérateur rotationnel
On pose ω = u = ∂x1 u2 −∂x2 u1 le vecteur tourbillon. Avant tout calcul, voici quelques
résultats utiles à savoir sur l’opérateur .
ˆ rot∇p = 0
ˆ rot et ∆ commutent.
On peut à présent appliquer l’opérateur rotationnel à l’équation posée plus haut:
rot(∆u) = ∂x1 (∆u2 ) − ∂x2 (∆u1 )
= (∂x1 x1 x1 u2 + ∂x1 x2 x2 u2 ) − (∂x1 x1 x2 u1 + ∂x2 x2 x2 u1 )
= ∂x1 x1 (∂x1 u2 − ∂x2 u1 ) + ∂x2 x2 (∂x1 u2 − ∂x2 u1 )
= ∆(ω)
(51)
(52)
(53)
(54)
(55)
rot(u∇u) = ∂x1 (u.∇u2 ) − ∂x2 (u.∇u1 )
= u1 (∂x1 x1 u2 − ∂x1 x2 u1 ) + u2 (∂x1 x2 u2 − ∂x2 x2 u1 )
= u∇ω
(56)
(57)
(58)
rot(x2 u⊥ ) = ∂x1 (x2 u1 ) − ∂x2 (−x2 u2 )
= x2 (∂x1 u1 + ∂x2 u2 )) + u2
= x2 (div u) + u2
= u2
(59)
(60)
(61)
(62)
De plus,
Enfin:
Ainsi, en regroupant tous les termes de l’équation de départ, il vient:
(−∆ω + u∇ω) + u2 = 1.
3.2
Étape 2: Utilisation du théorème de Helmholtz
Sur un ouvert étoilé (ce qui est le cas ici), tout champ vectoriel de divergence nulle
dérive d’un potentiel vecteur défini par la relation suivante:
u = ∇⊥ ψ.
13
Ainsi, on obtient le résultat suivant:
ω = rot(u) = ∆ψ.
Il n’y a plus qu’à injecter ces deux égalités dans l’équation précédente:
−∆2 ψ + ∇⊥ .∇ (∆ψ) + ∂x1 ψ = 1
ψ = 0 sur ∂Ω
∆ψ = 0 sur ∂Ω
(63)
(64)
(65)
C’est cette équation que l’on va essayer de résoudre numériquement à l’aide de
FreeFem++. Puis on va étudier le comportement de la solution lorsque −→ 0.
n→∞
3.3
Étape 3: Prise en main sur une équation linéaire du
même type
À défaut de temps pour résoudre correctement l’équation proposée au dessus, nous
nous proposons de commencer par étudier un cas simple et similaire. Considérons
l’équation suivante:
−∆ψ − ∂x1 ψ = 1 sur ]0, 1[2 = Ω
ψ = 0 sur ∂Ω
∆ψ = 0 sur ∂Ω
(66)
(67)
(68)
Commencons par donner la formulation variationnelle du problème:
mesh Th=square(200,200); // Déclaration du maillage sur ]0,1[ x ]0,1[
real epsilon=1.0;
fespace Vh(Th, P1); // On prend des éléments finis P1
int k;
Vh u,v;
for (epsilon = 1.0; epsilon > 0.001; epsilon = epsilon/1.3){
solve lineaire(u,v,solver=CG) = int2d(Th)(epsilon*( dx(u)*dx(v)+ dy(u)*dy(v)) )
+ int2d(Th)( u*dx(v))
- int2d(Th)( v )
+ on(1,2,3,4, u=0);
plot(u, fill=0, wait=1, value=0, coef=0.2);
cout << u ;
}
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4
4.1
Conclusion
Bilan sur la problématique
On a donc passé en revue plusieurs techniques d’analyse permettant de garantir un
comportement régulier des solutions pour l’équation-limite. L’intérêt est donc à la
fois de pouvoir justifier certaines approximations faı̂tes pour pouvoir se ramener à des
équations plus faciles, mais également pourvoir approcher une solution d’une EDP en
résolvant une EDP presque semblable, puis en faisant tendre un paramètre vers 0.
Bien que le sujet ne soit pas facile et demande une bonne maı̂trise du cours
d’Analyse enseigné à l’ENSIMAG, cette I.R.L. permet de faire un pont entre les
mathématiques pures et les mathématiques appliquées. On passe facilement de résultats
abstraits à des réalisations concrètes, et c’était là tout l’intérêt de ce sujet.
4.2
Bilan de l’éxpérience vécue
Cette I.R.L. m’a été très formatrice. Elle venait s’inscrire dans le cadre de mon projet
professionnel, puisque j’envisageais de m’engager dans le monde de la recherche après
l’ENSIMAG, mais sans trop de conviction. J’ai donc pu découvrir comment fonctionnait un laboratoire de recherche, quelles sont les avantages et les difficultés rencontrés
par les personnes travaillant en laboratoire. Je retiens notamment les discussion avec
Emmanuel Maı̂tre sur le chemin vers Chambéry sur le milieu professionnel qu’est le
monde de la recherche, et plus particulièrement sur les nombreuses collaborations
avec les équipes des autres laboratoires en France.
Je nourris toutefois quelques regrets: je n’ai pas eu le temps de développer tous les
aspects intéressants du sujet, et j’ai souvent été limité par mon manque de maı̂trise
des concepts pointus en analyse pour être efficace. Fort heureusement, Didier Bresch
m’a rassuré en disant qu’il était normal de se sentir un peu perdu dans ce monde et
qu’on ne pouvait commencer à maı̂triser certains concepts qu’au bout de quelques
années de pratique. Enfin, la prise en main d’un nouvel outil qu’est FreeFem++ n’a
pas été toujours facile.
Peut-être qu’avec un peu plus de temps, j’aurais pu entrevoir les résultats intéressants
sur la modélisation du Gulf-Stream dont Didier m’avait parlé.
4.3
Remerciements
Je tiens à remercier Emmanuel Maı̂tre pour m’avoir encadré, pour avoir passé du
temps à m’aider dans un sujet loin d’être facile, ainsi que pour son écoute lorsque je
butais sur un point épineux.
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Je tiens également à remercier Didier Bresch pour m’avoir reçu à son laboratoire
deux fois, afin de passer du temps pour m’expliquer les phénomènes à étudier, et pour
avoir guidé mes recherches.
L’un comme l’autre ont contribué à faire de ce sujet qui n’est pas à la portée de
tout le monde un sujet plus accessible et surtout extrêment passionnant.
5
Bibliographie
References
[Boy] Fabrie Boyer. Mathematical Tools for the Study of the Incompressible NavierStokes Equations and Related Models. Springer.
[Bre]
Haim Brezis. Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Masson.
[Evaa] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. American Mathematical
Society.
[Evab] Lawrence C. Evans. Weak Convergence methods for nonlinear partial differntial equations. American Mathematical Society.
[Evaa] [Boy]
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