II - Instabilité de Jeans

Parcours Interuniversitaire de Physique
Option de L3
Ecole Normale Supérieure de Paris
Introduction à l’astrophysique
Steven Balbus
François Levrier
Quatrième TD - Correction
17 octobre 2008
II - Instabilité de Jeans
1. On a ρ0 = µmH n et p0 = nkT , et le poids moléculaire moyen pour un gaz composé à
85% de H2 et à 15% de He est µ = 0.85 × 2 + 0.15 × 4 = 2.3, donc
ρ0 = 3.85 10−17 kg.m−3
et ρ0 = 1.38 10−12 Pa
2. On a
∂ρ
∂ρ
+ ∇. (ρv) =
+ (v.∇) ρ + ρ∇.v = 0 (équation de continuité)
∂t
∂t
∇p
∇p
∂v
+ (v.∇) v = −
+f =−
− ∇Φ
∂t
ρ
ρ
(équation d’Euler)
où f est la force par unité de masse et Φ le potentiel dont elle dérive (ici il s’agit uniquement
du potentiel gravitationnel). Enfin, on a
∆Φ = 4πGρ
(équation de Poisson)
3. On a ρ = ρ0 + ρ1 avec ρ1 ≪ ρ0 , p = p0 + p1 , Φ = Φ0 + Φ1 et v = v 1 . En insérant ces
formes dans les équations précédentes, on a, au premier ordre,
∂ρ
∂ρ1
∂ρ1
+ ∇. (ρv) =
+ ∇. [(ρ0 + ρ1 ) v 1 ] =
+ ρ0 ∇.v 1 = 0
∂t
∂t
∂t
∂v 1
∇p1
− ∇Φ1
=−
∂t
ρ0
4. En prenant la dérivée par rapport au temps de l’équation de continuité, on a :
∂ 2 ρ1
∂v 1
∂ 2 ρ1
∇p1
∂ 2 ρ1
+
ρ
∇.
−
ρ
∇.
+
∇Φ
− ∆p1 − ρ0 ∆Φ1 = 0
=
0
0
1 =
2
2
∂t
∂t
∂t
ρ0
∂t2
Or l’équation de Poisson permet d’écrire ∆Φ1 = 4πGρ1 , donc
∂ 2 ρ1
− ∆p1 − 4πGρ1 ρ0 = 0
∂t2
Pour une évolution isotherme, on a
p=ρ
kT
µmH
donc
p 1 = ρ1
kT
= c2s ρ1
µmH
où cs est la vitesse du son. D’où
∂ 2 ρ1
− c2s ∆ρ1 − 4πGρ0 ρ1 = 0
∂t2
On cherche une solution particulière sous la forme d’une onde progressive caractérisée par
une pulsation ω et un vecteur d’onde k, soit
ρ1 = ρ01 exp (i(k.r − ωt)
On en déduit que
−ω 2 + c2s k 2 − 4πGρ0 = 0
5. Pour que le milieu soit stable vis-à-vis d’une perturbation, il faut que celle-ci soit de longueur d’onde λ telle qu’il existe une solution ω réelle de la relation de dispersion précédente
(dans le cas contraire, une solution imaginaire aboutirait à un mode en croissance exponentielle, donc instable). Il faut donc que c2s k 2 − 4πGρ0 > 0 ce qui impose un nombre d’onde
limite :
√
2 πGρ0
k > kJ =
cs
qui corresnpond à une longueur d’onde critique λJ , appelée longueur de Jeans, au-delà de
laquelle toute perturbation est instable,
r
π
λJ = cs
Gρ0
6. La masse de Jeans est
4
4
MJ = πλ3J ρ0 = πc3s
3
3
π
Gρ0
3/2
ρ0 =
4π 5/2 c3s
1/2
3G3/2 ρ0
∝
s
T3
ρ0
On remarque que la longueur et la masse de Jeans diminuent si la densité augmente. Cela
permet d’interpréter le phénomène de fragmentation des nuages en effondrement.
7. À partir de l’état non perturbé et de l’équation d’Euler, on a
∇Φ0 = 0
donc ∆Φ0 = 0
donc
ρ0 = 0
(équation de Poisson)
Il n’y a donc pas de solution. Il faudrait reprendre tout le problème à la base, en symétrie
sphérique, etc... C’est beaucoup plus compliqué et on n’y gagne en fait pas grand chose,
car en pratique, les expressions générales de λJ et MJ restent applicablea, à un facteur
numérique près, dans une grande variété de situations.
8. On a vu que le temps de chute libre est
1
tff ∝ √
Gρ
La vitesse de propagation d’une onde de pression est la vitesse du son cs , par définition. Le
temps tp d’action des forces de pression sur la sphère de rayon R est donc tp = R/cs . Pour
que la sphère de gaz soit stable vis-à-vis des forces de gravitation, il faut que les forces de
pression puissent réagir sur un temps plus bref que tff , et donc que tp < tff , soit
R
1
< √
cs
Gρ
et donc
cs
R > λJ = √
Gρ