Activité

Terminale S1
Equation de CARDAN
(2013-2014)
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Activité ✆
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Pour tout réel a, il√existe un unique réel dont le cube est a. Ce nombre est appelé racine cubique de a et noté
√
3
a. Par exemple, 3 8 = . . . . . . .
Au XVIème siècle, Jérôme CARDAN, confronté à la résolution des équations du troisième degré de la forme
x3 = px + q, donne la formule suivante appelée formule de CARDAN :
si
q2
p3
−
> 0, alors une solution de l’équation est
4
27
s
s
r
r
2
3
3 q
3 q
q
p
q2
p3
x=
+
−
+
−
−
.
2
4
27
2
4
27
1˚) On considère l’équation x3 = 1. Donner les valeurs de p et q.
Vérifier que l’on peut utiliser la formule de CARDAN. Quelle solution obtient-on ?
2˚) On considère l’équation x3 = 2x + 4.
√ 3
Vérifier que l’on peut utiliser la formule de CARDAN. Quelle solution obtient-on ? (On pourra développer 3 + 3
√ 3
et 3 − 3 )
Existe t’il d’autre(s) solution(s) réelle(s) ?
3˚) On considère l’équation x3 = 15x + 4.
Vérifier que la formule ne peut pas s’appliquer.
√
a) Imaginons un nombre dont le carré est −1 et que l’on notera très temporairement −1.
En utilisant
√ 3ce nombre
√ « imaginaire » et en utilisant les calculs « habituels », montrer que
2 + −1 = 2 + √−121.
√
En déduire que 2 + −1 est une √
« racine cubique » de 2 + −121.
√
« Démontrer » de même que 2 − −1 est une « racine cubique » de 2 − −121.
b) En utilisant la formule de CARDAN, montrer que l’équation x3 = 15x + 4 admet 4 comme solution.
Vérifier.
En utilisant des nombres « imaginaires », on a déterminé une solution réelle à cette équation.