Formulaire : Le repère de Frenet

Formulaire : Le repère de Frenet
(Geoffrey Compère)
Soit une trajectoire r(t) de vitesse v(t) ≡ ṙ(t), d’accélération a(t) ≡ v̇(t) et de
secousse s(t) ≡ ȧ(t).
Définition des trois vecteurs de base (T, N, B) :
• T, vecteur unitaire tangent à la trajectoire :
T≡
ṙ
v
1 dr
dr
= =
=
,
kṙk
v
v dt
dl
où v = kvk, dl ≡ kdrk = kvk dt.
• N, vecteur unitaire normal à la trajectoire :
dT
v × (a × v)
va − v̇v
=
=
,
dl
v ka × vk
ka × vk
N≡R
où la courbure γ = R−1 est l’inverse du rayon de courbure R,
dT 1
kv × ak
γ≡
= =
.
R
dl
v3
Notez que l’accélération peut être écrite comme
a ≡ v̇ = v̇T +
v2
N.
R
• B, vecteur binormal à la trajectoire :
B≡T×N=
v×a
.
kv × ak
On définit la torsion τ par
1
v · (a × s)
τ = − N · Ḃ =
.
v
kv × ak2
Propriétés d’orthonormalité :
kTk = kNk = kBk = 1 ,
B = T × N,
T = N × B,
N=B×T.
Équations d’évolution :





T
0
γ 0
T
d 



0 τ  N 
 N  =  −γ
 .
dl
B
0 −τ 0
B