Courbes régulières

.
Courbes régulières
Pablo CROTTI
Proséminaire
Automne 2008
Sous la responsabilité du Professeur Andreas Bernig & Gautier Berck
Introduction
En géométrie, il est important de pouvoir étudier de manière précise les courbes et surfaces qui
nous sont données à l’aide d’outils analytique qui sont par exemple la dérivation ou
l’intégration. Le sujet qui nous intéresse concerne les courbes régulières ainsi que le
comportement local de celles-ci.
Nous allons d’abord nous concentrer sur ce qu’est une courbe régulière, puis nous étudieront le
comportement local de ces courbes notamment grâce aux courbures et torsions ainsi qu’aux
formules de Frenet.
L’ouvrage de référence utilisé ici est le Differential geometry of curves and surfaces de
Manfredo P. do Carmo .
Table des matières
Introduction
2
Rappel : Produit scalaire
3
1 Courbes lisses paramétrisées
1.1 Courbes lisses paramétrisées & vecteur tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
2 Courbes régulières
2.1 Courbes régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Polygone inscrit à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
10
3 Courbure, Repère de Frenet, Torsion
3.1 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le repère de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Théorème fondamental des courbes paramétrisées
12
12
12
13
13
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Rappel : Produit scalaire
Il est utile de faire un petit rappel sur la définition du produit scalaire.
Définition 0.1. Soient u, v ∈ R3 on définit le produit scalaire comme
< u, v > :=
3
X
ui vi
i=1
Propriété 0.2. Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes
–
–
–
–
Si pour u, v ∈ R3 différents de 0 on a < u , v > = 0 alors u ⊥ v.
<u, v >=<v, u>
λ < u , v > = < λu , v > = < u , λv >
<u, v+w >=<u, v > + <u, w >
Remarque 0.3. La dérivée du produit scalaire entre une application u : I ⊂ R → Rn et une
application v : I ⊂ R → Rn est
d
< u(s) , v(s) > = < u′ (s) , v(s) > + < u(s) , v ′ (s) >
ds
Remarque 0.4. On remarque, par intégration successive que si kα′′ (s)k= 0 alors,
α(s) = as + c ∀ a, c ∈ R ( c’est une droite ).
Démonstration. Si kα′′ (s)k= 0 il s’en suit que α′′ (s) = 0.
1
1.1
Courbes lisses paramétrisées
Courbes lisses paramétrisées & vecteur tangent
Dans ce chapitre nous allons définir les notions de courbes lisses et de vecteur vitesse. Ces
notions nous serons utiles par la suite pour mieux comprendre ce que nous définirons dans les
prochains chapitres (i.e. les courbes régulières)
Définition 1.1. Une courbe lisse est une application α : I → Rn où I = (a, b) est un intervalle
réel et α est C ∞ . Dans le cas où n = 2 on appelle la courbe, planaire et dans le cas où n = 3 on
appelle la courbe, spatiale.
Définition 1.2. L’image α(I) est appelée la trace de α.
Définition 1.3. En notant par x′ (s) la première dérivée de x(s) on a, le vecteur tangent (ou
vecteur vitesse) d’une courbe lisse paramétrisée définit par α′ (s) := (x′ (s), y ′ (s), z ′ (s)).
Définition 1.4. La norme du vecteur tangent (ou vecteur vitesse) kα′ (s)k est appelée la vitesse
de la courbe α.
3
Afin de mieux comprendre à quoi correspondent les courbes paramétrisées il est préférable de
faire quelques exemples.
Exemple 1.5. (Hélice). La courbe d’une hélice peut être simplement décrite en utilisant
α(s) = (a cos(s), a sin(s), bs) ∀s ∈ I et pour a,b choisis
En fait, on remarque que la courbe est tracée sur un cylindre de rayon a et que la courbe "monte"
sur le cylindre avec une vitesse b.
Z
y
t
X
Fig. 1.1 – Helice
Exemple 1.6. (Cercle) Une paramétrisation, dans le sens des aiguilles d’une montre, du cercle
unité commençant en (0,1) est possible en utilisant la paramétrisation
α(s) = ( cos(
π
π
− s), sin( − s) ) ∀s ∈ [0, 2π]
2
2
On remarque ainsi que α(0) = (0, 1).
Exemple 1.7. Considérons les courbes
α(s) = (cos(s), sin(s)), ∀s ∈ I
β(t) = (cos(2s), sin(2s)), ∀s ∈ I
En regardant leurs vitesses (i.e. kα′ k= 1 , kβ ′ k= 2 ) on constate que la courbe β tournera deux
fois plus rapidement.
Ainsi, il est possible d’avoir la même trace avec des paramétrisations différentes avec seulement
les vitesses qui changent.
Exemple 1.8. (Graphe d’une fonction) Il est aussi possible de paramétriser le graphe d’une
fonction f : R → R ainsi :
α(s) = (s , f (s))
4
2
2.1
Courbes régulières
Courbes régulières
Dans cette section nous allons regarder un peu plus en profondeur le concept de vecteur
tangent, de ligne tangente, de courbes régulières pour comprendre ce que représente la longueur
d’une courbe et ainsi déduire certaines propriétés.
Définition 2.1. Soit α : I → R3 une courbe lisse paramétrisée. Pour chaqure s ∈ I où α′ (s) 6= 0
la droite partie par α(s) et dirigée par le vecteur tangent α′ (s) est appelée la droite tangente.
Définition 2.2. On appelle s0 ∈ I un point singulier si α′ (s0 ) = 0.
Définition 2.3. Une courbe lisse paramétrisée est dite régulière si elle ne possède pas de point
singulier, autrement dit, si α′ (s) 6= 0 ∀ s ∈ I, i.e , si pour tout point de la courbe on peut avoir
une droite tangente.
Exemple 2.4. (La droite) L’exemple triviale de courbe régulière est la droite α(s) = (s, s) ∀ s ∈
R car α′ (s) = (1, 1).
Exemple 2.5. La valeur absolue peut être vue comme
une courbe dans C 2n pour n ∈ N. En
2n+1
2n+1
effet, la suite de fonction, αn (s) = s
, |s
| est 2n-fois différentiable (preuve par calcul)
et possède la même trace que |s|.
Il est même possible de paramétriser la valeur absolue comme une courbe lisse. En effet, en
considérant la fonction
1
f (x) = e− x2 , ∀ x ∈ R
qui est C ∞ et dont f (n) (0) = 0 (preuve par calculs), la courbe α définie par
π
α(s) = tan( f (s))( (−1)I{s<0} (s) , 1)
2
possède la même trace que la valeur absolue et est lisse ! On utilise la tangente car f (s) est
bornée par 1, donc en approchant π2 la tangente tend vers l’infini.
A partir de maintenant nous considérons des courbes lisses régulières, on omettra
le terme lisse.
Définition 2.6. Soit α : I → R3 une courbe régulière. On définit la longueur de la courbe α
depuis le point s0 par
Z s
l(α, s) :=
kα′ (s)kds
s0
Il est nécessaire que la courbe soit régulière sinon l’intégrale peut être nulle. Pour une meilleure
justification de la terminologie, le lecteur est invité à lire le paragraphe 2.2
Remarque 2.7. Si α′ (s) 6= 0 la courbe l(α) est une fonction dérivable en s et
d
′
′
dα l(s) = kα (s)k. Ainsi, si la courbe possède un vecteur tangent unitaire (i.e. kα (s)k= 1) on a
Z s
l = l(α, s) =
ds = s − s0
s0
Une courbe possédant cette propriété est dite "paramétrisée par sa longeur d’arc".
5
Il est important de noter que cette définition est valable pour tout s0 ∈ I. On peut donc
calculer la longueur de la courbe depuis n’importe quel point. Si on définit la courbe
β(−s) = α(s) , s ∈ (−b, −a), on voit que celle-ci possède la même trace que la courbe α mais
qu’elle la parcourt dans l’autre sens. On dit alors que ces courbes diffèrent d’un changement
d’orientation.
Remarque 2.8. On notera que Rtoute courbe α peut être paramétrisée par sa longueur d’arc.
s
En effet, en introduisant φ(s) = s0 kα′ (x)k dx, et en définissant
α(s) := ᾱ(φ(s))
on a que
kα′ (s)k= kφ′ (s)kkᾱ′ (φ(s))k= kα′ (s)kkᾱ′ (φ(s))k
et donc
kᾱ′ (φ(s))k= 1
Remarque 2.9. Un changement d’orientation ne change pas la longueur de la courbe.
Définition 2.10. Soient α : I → Rn et γ : J → Rn deux courbes. S’il existe une fonction
φ : J → I , continue, bijective telle que
γ(s) = α(φ(s)) , s ∈ J
On dit que γ et α diffèrent par un changement de paramétrisation.
Théorème 2.11. Si φ : [a′ , b′ ] → [a, b] est un changement de paramétrisation de classe C ∞ et
si
γ(s) = α ◦ φ(s) , s ∈ [a′ , b′ ]
alors
l(γ) = l(α).
Démonstration. Puisque φ : [a′ , b′ ] → [a, b] est bijective et monotone croissante, on a
φ(a′ ) = a, φ(b′ ) = b
et
φ′ (s) ≥ 0, ∀ s ∈ [a′ , b′ ].
Comme
γ(s) = α(φ(s))
on a
γ ′ (s) = α′ (φ(s))φ′ (s)
et la norme est kγ ′ (s)k= kα′ (φ(s))k|φ′ (s)| = kα′ (φ(s))kφ′ (s).
Ainsi
Z b
Z b′
Z b′
Z φ(b′ )
′
′
′
′
kα′ (t)k dt = l(α)
kα (t)k dt =
l(γ) =
kγ (s)k ds =
kα (φ(s))kφ (s) ds =
a′
φ(a′ )
a′
6
a
Exemple 2.12. Nous avons un disque unité roulant sans glisser (i.e, quand le disque a effectué
un tour, la distance parcourue par le point de contact P , est de 2π) sur le plan Oxy comme le
montre la figure ci-dessous.
y
P
G
G
t
x
P
Fig. 2.1 – Cycloïde
On détermine le mouvement d’un point sur le bord du disque (situé en (0, 0)) grâce à une
composition de courbes paramétrisées.
La première étant le centre du disque, définie par G(t) = (s, 1).
La seconde étant le mouvement d’un point P sur le bord, définie par
P (s) = (− sin(s), − cos(s)).
On obtient la courbe finale C(s) en additionnant les deux courbes,i.e,
C(s) = G(s) + P (s) = (s − sin(s), 1 − cos(s)) ∀ s ∈ I
On remarque comme ceci que le point revient sur le plan quand le disque a effectué une
rotation de 2π car C(2π) = (2π, 0) et que les points singuliers de la courbe sont en s = 2πZ.
On voit, de plus, qu’on a bien un roulement sans glissement car la longueur parcourue est 2π.
On calcule la longueur de la courbe pour t ∈ [0, 2π] :
Z 2π p
Z 2π
Z 2π r
s
′
2 − 2 cos(s) ds =
4 sin2 ( ) ds = 8
kC k ds =
l(C) =
2
0
0
0
7
Exemple 2.13. (Cardioïde) Soient deux disques D1 et D2, le premier (D1) centré à l’origine
et le second (D2) collé directement à gauche du premier (voir Fig 2(a) et 2(b)).
En considérant, le point de contact P = (−1, 0) ∈ D2 entre les deux disques, on s’intéresse à la
trace que P va laisser en tournant autour de D1.
Comme pour la cycloïde, on paramétrise le mouvement en deux parties. La première consiste à
paramétriser le centre G de D2
G(s) = ( 2 cos(π + s) , 2 sin(π + s) ).
Il faut maintenant paramétriser le mouvement de P qui roule sans glisser autour de D1. On
remarque grâce à la figure que lorsque D2 aura effectué deux tours sur lui-même, il aura effectué
le tour de D1 donc la paramétrisation de P dans le référentiel de D2 est
PD2 (s) = ( cos(2s) , sin(2s) )
En combinant les deux courbes on obtient la cardioïde
C(s) = ( 2 cos(π + s) + cos(2s) , 2 sin(π + s) + sin(2s) )
comme nous le montre les figures suivantes
2
1
D2
1
D2
D1
G
-3
-2
P
-1
D1
1
0.5
G
-3
-2
P
-1
-1
1
-0.5
-2
-1
(a) D1 et D2
(b) La cardioïde
Fig. 2.2 – Construction de la cardioïde
8
2
3
Exemple 2.14. (Graphe d’une fonction) Si on considère l’ensemble des points formant le graphe
d’une fonction f : [a, b] → R on obtient une courbe paramétrisée α(s) = (s, f (s)) dont la longueur
est définie par
Z bp
l(α) =
1 + f ′ (s)2 ds
a
qui correspond bien à la définition analytique de la longueur.
Exemple 2.15. Soient α1 (s) = (s , sin( 1s )) , s ∈ (0, 1) et α2 (s) = (es cos(s) , es sin(s)) , s ∈
(−∞, 1).
1
0.8
0.5
0.6
0.2
0.4
0.6
0.4
1
0.8
0.2
-0.5
-1
0.1
(a)
sin( 1s )
0.2
0.3
0.4
0.5
(b) Spirale logarithmique
Fig. 2.3 – sin( 1s ) et la spirale logarithmique
Le calcul des vitesses nous donne
kα′1 (s)k=
s
s4 + cos( 1s )2
s4
et
kα′2 (s)k=
√
2e2s .
Le longueur de α1 est donnée par
l(α1 ) =
Z
1
0
s
s4 + cos( 1s )2
ds
s4
Il est difficile de trouver une primitive pour la vitesse cependant on remarque qu’en calculant
la longueur du polygone inscrit à la courbe (voir paragraphe 2.2), on peut minorer la longueur
réelle de la courbe par des segments finis et ainsi montrer la divergence de l’intégrale.
La longueur de α2 est
Z 1 √
√
2es ds = 2e
l(α2 ) =
−∞
Dans le premier cas, la longueur sur un intervalle fini, diverge. Dans le second cas, la longueur
sur un intervalle infini, converge !
9
2.2
Polygone inscrit à une courbe
Pour une partition P = {s0 = a < s1 < . . . < sn = b} de [a, b], le polygone inscrit à une
courbe α : I ⊂ [a, b] → R2 est Pn = α(s0 )α(s1 ) . . . α(sn ) , comme le montre la figure ci-dessous
a(s7)
a(s5)
a(s6)
a(s4)
a(s3)
a(s1)
a(s2)
a(s0)
Fig. 2.4 – Polygone inscrit à la courbe α(s)
On utilise, ici, un intervalle fermé contrairement à la définition qui prenait un intervalle ouvert.
Ceci nous permet simplement de débuter le polygone en s0 .
Définition 2.16. La longueur du polygone inscrit Pn à la courbe α(s) est
n
X
kα(si ) − α(si−1 )k.
l(α, Pn ) :=
i=1
Cette définition est similaire à la Définition 2.6.
Théorème 2.17. En posant kP k = max {si − si−1 } , i = 1, . . . , n, pour ǫ > 0, il existe δ > 0
tel que pour toute partition P avec kP k< δ on a
Z b
| kα′ (s)kds − l(α, Pn )| < ǫ
a
Démonstration. Posons ǫ′ =
On remarque que pour
√
ǫ
.
n(b−a)
u, v ∈ Rn , |ui − vi | < ǫ′ ∀ i ⇒ kuk ≤ kvk +
En effet,
(ui − vi )2 ≤ ǫ′2
ku − vk2 =
n
X
(ui − vi )2 ≤ nǫ′2
i=1
10
√
nǫ′ .
Comme chaque αi (s) de α(s) est uniformément continue sur [a, b], pour ǫ′ il existe δi tel que
|α′ (s) − α′ (τ )| < ǫ′
pour n’importe quel s, τ ∈ [a, b] vérifiant
|s − τ | < δi .
D’après le Théorème de la valeur intermédiaire, il existe pour chaque k = 0, . . . , n − 1 un
τk ∈ [sk , sk+1 ] tel que
αi (sk+1 ) − αi (sk )
.
α′ (τk ) =
sk+1 − sk
Pour tout s ∈ [sk , sk+1 ]
′
αi (s) − αi (sk+1 ) − αi (sk ) = kα′i (s) − α′i (τk )k < ǫ′ .
sk+1 − sk
Par la remarque du début de preuve on a
α(sk+1 − αsk ) √ ′
′
+ nǫ
kα (s)k ≤ sk+1 − sk donc
Z
sk+1
sk
kα′ (s)kds ≤ (sk+1 − sk )
kα(sk+1 ) − α(sk )k √ ′
+ nǫ
sk+1 − sk
√
= kα(sk+1 ) − α(sk )k + (sk+1 − sk ) nǫ′ .
Ainsi
Z
a
b
′
kα (s)kds =
≤
n−1 Z
X
k=0
sk+1
sk
kα′ (s)dsk
n−1
X
k=0
kα(sk+1 ) − α(sk )k +
≤ l(α, Pn ) +
√
n(b − a)ǫ′ .
{z
}
|
ǫ
11
n−1
X
k=0
!
(sk+1 − sk )
√
nǫ′
3
3.1
Courbure, Repère de Frenet, Torsion
Courbure
Soit α : I → R3 une courbe régulière possédant un vecteur tangent unitaire (i.e. kα′ (t)k=
1).La valeur de kα′′ (t)k, mesure la moyenne des changements d’angle entre la courbe et le vecteur
tangent au point s. C’est une indication sur la rapidité avec laquelle la courbe s’éloigne du vecteur
tangent.
Définition 3.1. Soit α : I → R3 une courbe paramétrisée par longueur d’arc. Le nombre
k(s) = kα′′ (s)k est appelé la courbure de α en s.
Remarque 3.2. Si α(s) = us + v , u, v ∈ R3 , alors, la courbure est nulle.
Remarque 3.3. Le vecteur α′′ (s) est perpendiculaire au vecteur α′ (s). En effet, si
kα′ (s)k = 1,
alors
d
< α′ (a), α′ (s) > = 2 < α′′ (s), α′ (s) > = 0
dt
Donc par définition de <, >, α′ (s) ⊥ α′′ (s).
3.2
Le repère de Frenet
Il est intéressant de regarder les propriétés locales des courbes, pour ce faire nous allons
introduire le plan osculateur ainsi que le repère de Frenet. Avec ces nouvelles notions il est
possible de regarder la courbure et la torsion locale d’une courbe. Il faut noter que nous
considérons des courbes ne possédant pas de point singulier d’ordre 1 (i.e, s ∈ I est un point
singulier d’ordre 0 si α′ (s) = 0 et d’ordre 1 si α′′ (s) = 0).
′′
′′
(s)
Définition 3.4. Le vecteur n(s) := αk(s)
= kαα′′ (s)
(s)k est la normalisation du vecteur de
deuxième dérivée. Il est appelé le vecteur normal.
La remarque 3.3 indique que le vecteur normal est bien perpendiculaire au vecteur tangent.
Remarque 3.5. Pour k(s) 6= 0, le vecteur tangent et le vecteur normal forment un plan
appelé plan osculateur
Désormais on écrira t(s) = α′ (s). Ceci permettant d’introduire nos vecteurs qui formeront le
dît Repère de Frenet.
Définition 3.6. Le vecteur b(s) := t(s) ∧ n(s) est appelé le vecteur binormal. Il est unitaire et
perpendiculaire aux vecteurs t(s) par définition du produit vectoriel.
Nous avons maintenant nos trois vecteurs, t(s), n(s) et b(s).
Définition 3.7. On appelle (t(s), n(s), b(s)) le repère de Frenet.
Théorème 3.8. Le repère de Frenet est un repère orthonormé.
Démonstration. Par la Remarque 3.3, t ⊥ n. Comme, ktk= knk= 1 et t ⊥ n, on obtient par
définition de b que kbk= 1. Ainsi, le repère de Frenet est orthonormé.
12
3.3
Torsion
Définition 3.9. Pour α : I → R3 , une courbe doublement régulière (i.e α′′ (s) 6= 0 ∀ s ∈ I) et
paramétrisée par sa longueur d’arc, le nombre τ (s) définit par b′ (s) = τ (s)n(s) est la torsion
de la courbe au point s.
Théorème 3.10. On appelle les formules suivantes, les formules de Frenet.
t′ (s)
n′ (s)
b′ (s)
=
=
=
k(s)n(s)
−k(s)t(s) − τ (s)b(s)
τ (s)n(s)
Démonstration. Par orthonormalité du repère de Frenet on a
d
′
ds < t, t > = 2 < t, t > = < t, kn > = 0
d
′
′
1
ds < n, n > = 2 < n, n > = 0 ⇒ n = λt + µb d
ds
< b, b > = 2 < b, b′ > = 0 ⇒
d
ds
d
ds
d
ds
< t, n > = < t′ , n > + < t, n′ > = < kn, n > + < t, n′ >⇒ < t, n′ > = −k
< t, b > = < t′ , b > + < t, b′ >= 0 ⇒ < t, b′ > = 0
< b, n > = < b′ , n > + < b, n′ > = 0 ⇒ −τ = < n′ , b >.
2
b′ = γt + δn 1 et le produit scalaire < , n > sur 2 on
En appliquant le produit scalaire < , t > sur obtient que
λ = −k , µ = −τ , γ = 0 , δ = τ
Définition 3.11. Le rayon R :=
1
k(s)
est le rayon de courbure en s.
Exemple 3.12. Soit α(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π] le cercle unité.
On a alors α′′ (s) = (− cos(t), − sin(t)).
Donc k(s) = 1 et R = 11 = 1.
3.4
Théorème fondamental des courbes paramétrisées
Le théorème suivant permet de déterminer à isométrie près une courbe en ayant que la
courbure et la torsion.
Théorème 3.13. Etant donné k(s) > 0 et τ (s), s ∈ I, des fonctions différentiables, il existe
une courbe régulière α : I → R3 telle que l est la longueur d’arc, k(s) la courbure et τ (s) la
torsion de α. Tout autre courbe α̃ possédant les mêmes propriétés diffère de α d’un mouvement
rigide, c-à-d, qu’il existe une application linéaire orthogonal ρ de R3 possédant un déterminant
strictement positif et tel que pour un vecteur c dans R3
α̃ = ρ ◦ α + c
Démonstration. La démonstration de l’existence fait intervenir le théorème d’existence et d’unicité des équations différentielles ordinaires, donc nous ne montrerons que l’unicité du théorème.
On voit directement que la courbure et la torsion sont invariantes par un mouvement rigide car
l’application est orthogonale. Si nous avons les courbes α et α̃ avec la même courbure et même
13
torsion, on donne les repères de Frenet correspondants. Après avoir effectué un mouvement
rigide, on a α̃(s0 ) = α(s0 ). Les formules de Frenet de α et α̃,sont
dt
ds
=
kn
dt̃
ds
=
kñ
dn
ds
=
−kt − τ b
dñ
ds
=
−kt̃ − τ ñ
db
ds
=
τn
db̃
ds
=
τ ñ
Avec s0 , on a
t(s0 ) = t̃(s0 ) , n(s0 ) = ñ(s0 ) , b(s0 ) = b̃(s0 ).
En utilisant les formules on obtient que
1 d
2 +kn − ñk2 +kb − b̃k2
kt
−
t̃k
2 ds
=< t − t̃ , t′ − t˜′ > + < n − ñ , n′ − ñ′ > + < b − b̃ , b′ − b̃′ >
= k < t − t̃ , n − ñ > +τ < b − b̃ , n − ñ > −k < n − ñ , t − t̃ > −τ < n − ñ , b − b̃ >
=0 ∀s∈I
Ainsi pour s = s0 on a t(s) = t̃(s) , n(s) = ñ(s) , b(s) = b̃(s) et
dα̃
dα
= t = t̃ =
.
ds
ds
d
Nous obtenons finalement que ds
(α − α̃) = 0 et α(s) = α̃(s) + a.
Comme α(s0 ) = α̃(s0 ) on a a = 0.
Finalement, α(s) = α̃(s) ∀s ∈ I.
Remarque 3.14. Dans le cas où α : I → R2 , il est possible de donner un signe à la courbure k(s).
En prenant la base (t(s), n(s)) et en regardant son orientation par rapport à la base canonique
(e1 , e2 ), on détermine à nouveau la courbure par
dt
= kn.
ds
En fait, le sens dans lequel le repère tourne, donne, un signe positif (sens inverse des aiguilles
d’une montre) ou négatif (sens des aiguilles d’une montre), comme le montre la figure suivante.
e2
e1
n
k < 0
t
n
t
k > 0
Fig. 3.1 – Signe de la courbure
14
Remarque 3.15. Formule de la courbure et de la torsion pour une courbe quelconque (voir F.
Borceux, Invitation à la géométrie p.525-528, Ciaco, Louvain-la-Neuve, 1986).
k(s) =
τ (s) =
kα′ (s) ∧ α′′ (s)k
kα′ (s)k3
< α′ (s) ∧ α′′ (s), α′′′ (s) >
kα′ (s) ∧ α′′ (s)k2
Exemple 3.16. Considérons l’hélice donnée par la paramétrisation suivante
α(s) = (a cos
s
c
, a sin
s bs
, ), c = a2 + b2 , s ∈ R ,
c
c
On montre premièrement que cette courbe est paramétrisée par sa longueur d’arc. En effet,
r
a2 + b2
′
= 1.
kα (s)k=
c2
Nous obtenons ensuite la courbure et la torsion avec
k(s) = kα′′ (s)k=
s
c
n(s) = (− cos
b(s) = ( bc sin
s
c
a
c2
, − sin
s
c
, − cb cos
s
c
, 0) ,
, ac ) ,
τ (s) = < b′ (s), n(s) > = 1.
La torsion est donc constante tout le long de la courbe (on le voit bien, la courbe est une hélice).
Nous pouvons maintenant donner le plan osculateur définit par



 a
− c sin( sc )
− cos( sc )
Π = λn(s) + µα′ (s) = λ  − sin( sc )  + µ  ac cos( sc )  , ∀λ, µ ∈ R
b
0
c
15