SYMÉTRIE CENTRALE

SYMÉTRIE CENTRALE
Compétences évaluées dans ce chapitre :
5.G10 Construire des symétriques sur quadrillage
5.G11 Construire l'image d'un point, d'un segment, d'une droite ou demi-droite, d'un cercle, d'un polygone par symétrie centrale.
5.G12 Connaître / utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale.
5.G13 Mettre en évidence le centre de symétrie d’une figure
I . Définition :
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent après un demi-tour
autour du point O.
O s’appelle le centre de symétrie.
Exemple : Sur une carte de jeu, le centre de la carte est un centre de symétrie.
II . Construction du symétrique d’un point :
M
×
O
M’
Le symétrique du point M par rapport au point O est le point M’ qui vérifie : O est le milieu du segment
[MM’].
Remarques :
- Si E est le symétrique de F par rapport à O alors F est le symétrique de E par rapport à O. On dit que E et
F sont symétriques par rapport à O.
- Le symétrique de O est O. C’est le seul point dans ce cas.
III . Symétriques des figures usuelles :
a) Symétrique d’une droite :
d
×O
Le symétrique de la droite d par rapport à O est la droite d’.
Pour la construire, il suffit de choisir deux points sur d et de construire leurs symétriques par rapport à
O.
Propriété :
La symétrie centrale transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.
b) Symétrique d’un segment :
A
×O
B
Le symétrique de [AB] est [A’B’] où A’ est le symétrique de A et B’ le symétrique de B.
Propriété :
La symétrie centrale transforme un segment en un segment de même longueur.
Remarque : Le symétrique par rapport à O du milieu I de [AB] est le milieu de [A’B’].
c) Symétrique d’un cercle :
C
×O
I
Le symétrique du cercle C est le cercle C’.
Pour le construire, il suffit de construire le symétrique du centre I puis de reporter le rayon de C.
Propriété :
La symétrie centrale transforme un cercle en un cercle de même rayon.
d) Symétrique d’un triangle :
A
×O
B
C
Le symétrique du triangle ABC est le triangle A’B’C’ où A’, B’, C’ sont les symétriques resp. de A, B et C.
Propriété : La symétrie centrale transforme un angle en un angle de même mesure.
Propriété : La symétrie centrale transforme un triangle en un
triangle de même périmètre, de même aire.
IV . Centre de symétrie :
Défnition : On dit qu’un point O est le centre de symétrie d’une figure lorsque la symétrique de la figure
par rapport à O est elle-même.
B
A
O est le centre de symétrie du rectangle ABCD.
Exemples :
O
D
Le centre d’un cercle est le centre de symétrie de ce cercle.
C