qgiQEqiQD yutils w—thém—tiques Fonctions de Bessel. Exercice 1

GCE3-GE3, Outils Mathématiques
2011
TD 4
Fonctions de Bessel.
Soit x ∈ R. Il est possible de montrer que les Jn(x) pour n ∈ Z sont les
coecients de Fourier complexes de la fonction f (θ) = eix sin(θ).
(On rappelle que pour tout entier n, J−n = (−1)nJn.)
q
Appliquer la formule de Parseval et en déduire que ∀n ≥ 1, |Jn(x)| ≤ 1−J2 (x) .
Exercice 1
2
0
Exercice 2
Orthogonalité des fonctions de Bessel.
Soit n ∈ N. Notons ω1, ω2, etc les zéros de la fonction de Bessel Jn. Nous allons montrer
pour tous i et j distincts
Z 1
xJn (ωi x)Jn (ωj x)dx = 0.
0
Cela signie que lesRapplications fi : x → Jn(ωix) sont deux à deux orthogonales pour le produit
scalaire < f, g >= 01 xf (x)g(x)dx.
1. Montrer que pour tout i dans N et tout x dans R∗,
(xfi0 (x))0 = −(ωi2 x −
n2
)fi (x).
x
2. En déduire que pour tous i et j ,
Z
0
1
(ωi2 x
n2
− )fi (x)fj (x)dx =
x
Z
1
(ωj2 x −
0
n2
)fj (x)fi (x)dx.
x
3. Conclure.
Exercice 3
Équation de la chaleur dans une plaque circulaire
On considère une plaque circulaire de rayon R dont le bord est en contact avec un milieu à
0. On suppose de plus que l'évolution de la température dans la plaque ne dépend que de la
distance au centre (i.e. T (x, y, t) ne dépend que de r et t).
1. Montrer (ou admettre) que l'équation de la chaleur s'écrit
∂T
1 ∂T
∂ 2T
=
+ 2,
∂t
r ∂r
∂r
où r =
p
x2 + y 2 .
2. On cherche les solutions stationnaires de la forme T (x, y, t) = U (r)V (t).
Montrer que U est solution d'une équation de la forme y00 + yr − λy = 0.
r
3. Les conditions au bord permettent de montrer que λ < 0. Poser W (r) = U ( √−λ
) et
montrer que W est solution d'une équation de Bessel.
4. En déduire les expressions de W puis de U . En utilisant la condition au bord et le fait
que la température est dénie partout sur la plaque, déterminer complètement U .
5. Conclure.
6. Que faut-il changer dans les raisonnements ci-dessus si la plaque est en forme d'anneau
de rayons R1 et R2 ?
1
Exercice 4
Interférences lumineuses (suite)
On reprend le problème de la diraction de la lumière. On considère désormais que la
fente est un disque de centre 0 et de rayon R. L'intensité lumineuse sur l'écran est alors donnée
transformée de Fourier en deux variables (c'est à dire une intégrale de la forme
R R par une−ixt
e−iyt dxdy ). Comme il y a une invariance par rotation, on peut exprimer le réf (x, y)e
sultat en fonction de la seule variable r représentant le rayon et après changements de variables,
on obtient que l'intensité I(r) est proportionnelle à
2
1
Z
0
R
Z
2π
−2iπrρ cos(θ)
e
0
2
ρdρdθ .
1. Exprimer cette intégrale à l'aide de la fonction de Bessel J0.
2. Montrer que l'intensité I(r) est proportionnelle à
RJ1 (πrR) 2
.
r
3. Représenter la tâche observée
sur l'écran. Comment évolue-t-elle quand R diminue ?
R
On rappelle que
Jn (x) =
1
2π
2π
0
ei(x sin(θ)−nθ) dθ
et
(xn Jn (x))0 = xn Jn−1 (x).
Transformée de Laplace
Déterminer les fonctions y solutions des équations suivantes. On rappelle que u
désigne la fonction de Heaviside : u = 1[0,+∞[.
1. 4y0(t) + 3y(t) = tu(t) et y(0) = 1 ;
2. y00(t) + 4y0(t) + 3y(t) = e−tu(t) et y(0) = 2 ;
3. y00(t) +Ry(t) = sin(2t)u(t) et y(0) = 0 ;
4. y0(t) + 0t y(x) cos(2(x − t))dx = 10 et y(0) = 2.
Exercice 5
On considère un signal entrant e(t) = tu(t) transformé en un signal sortant
où h est la fonction de transfert dénie par h(t) = cos(t)u(t).
Déterminer s de deux manières diérentes.
Exercice 6
s = e ∗ h,
Exercice 7
Transformée de Laplace de J0
Le but de cet exercice est de calculer la transformée de Laplace de la fonction de Bessel J0
(plus précisemment, de la fonction J0(t)u(t)). On rappelle que J0 vérie l'équation diérentielle
xJ000 + J00 + xJ0 = 0, et J0 (0) = 1. Nous noterons Y = L(J0 ) la transformée de Laplace de la
fonction J0.
1. Montrer que L(xJ000)(p) = −p2Y 0(p) − 2pY (p) + 1.
L(f 00 )(p) = p2 L(f )(p) − pf (0+ ) + f 0 (0+ ) et L(xf (x))(p) = −(L(f ))0 (p).
l'équation satisfaite par J0 que Y satisfait l'équation diérentielle
on rappelle que
2. Déduire de
(p2 + 1)Y 0 + pY = 0.
3. Montrer que Y (p) = L(J0)(p) = √pλ +1 avec λ ∈ R.
4. Sachant que limp→+∞ pL(f )(p) = f (0+), déterminer λ.
5. Déduire du résultat précédent la valeur du produit de convolution J0 ∗ J0.
2
f la fonction constante par morceaux dénie
∀n ∈ N, ∀t ∈ [n, n + 1[, f (t) = n.
Tracer le graphe de f et déterminer sa transformée de Laplace.
Exercice 8
Soit
2
par
∀t < 0, f (t) = 0
et