Transformation de Laplace
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Transformation de Laplace
TRANSFORMÉE DE LAPLACE 1. DEFINITION Soit f(t), une fonction du temps nulle pour t négatif et non nulle pour t ≥ 0. Sa transformée de Laplace est définie par : £(f(t)) = F(p) = ∫ ∞ 0 f ( t ). e − pt dt 2. PROPRIÉTÉS ↔ ↔ ↔ ↔ λ.F(p) + µ.G(p) -τp e .F(p) F(p-a) p.F(p) - f(0) ↔ n dn−1f p n .F(p) − p n−1. f (0) − ∑ p n−i n−1 dt 0 i= 2 f (u). du ↔ F(p) /p • fonction périodique : f(t+nT) = f(t) ↔ F (p ) = • • • • linéarité retard temporel retard fréquentiel dérivation : λ.f(t) + : f(t-τ) at : f(t).e : f'(t) • dérivation d'ordre n : dn f dt n • intégration ∫ : t 0 µ.g(t) 1 1 − e − pt ∫ T 0 e − pt . f ( t ). dt 3. THEORÈMES DE LA VALEUR INITIALE ET DE LA VALEUR FINALE On se souviendra que : • t→0 correspond à p → ∞ t→∞ correspond à p → 0 : régime transitoire : régime permanent • Théorème de la valeur initiale : lim t→ 0 f ( t) = f ( 0 + ) = lim p→∞ p. F(p) • Théorème de la valeur finale : lim t→∞ f ( t) = f ( ∞) = lim p→ 0 p.F(p) 4. APPLICATION Soit à résoudre l'équation différentielle : sa transformée de Laplace s'écrit : soit : Y( p ) = τ.y'(t) + y(t) = f(t) avec y(0 ) = Y0 τ.[p.Y(p) - Y0] + Y(p) = F(p) + τ. Y0 F (p ) + 1 + τ. p 1 + τ. p connaissant F(p), on en déduira Y(p) et finalement y(t). S S M O N N N Seeerrrgggeee M MO ON NN NIIIN N TTTrrraaannnsssfffooorrrm m maaatttiio ioonnn dddeee LLLaaappplla laaccceee...dddoooccc 1 5. DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES Lorsque la fonction de p est une fraction algébrique rationnelle, on la décompose en une somme de fractions simples à chacune desquelles correspond une transformée inverse donnée dans une table. S(p) = N(p) D(p) Exemple : Les zéros du dénominateur s'appellent les pôles de S(p). 1 A B = + (p + a).(p + b) p + a p + b en réduisant au même dénominateur et en identifiant les deux membres de l'égalité, on obtient : A+B = 0 et A.b + B.a = 1, donc : A = -B = 1/(b-a) Cette méthode devient vite lourde lorsque le nombre de fractions simples augmente. On utilise alors les relations suivantes : • si p = p1 est un pôle d'ordre n, on aura les fractions simples suivantes : An (p − p ) n + 1 A n−1 (p − p ) n−1 +...+ A1 (p − p ) 1 1 avec : n N(p) A n = (p − p 1 ) = [F (p)] p= p1 D(p) p= p1 dF(p) A n−1 = dp p= p1 1 diF(p) A n−i = i i! dp p =p1 • si p = p2 est un pôle simple, on aura des termes de la forme : A0 p si p2 = 0 : pôle à l'origine ou bien A1 p − p2 si p2 est un pôle quelconque avec : N(p) A0 = D'(p) p= 0 N(p) A1 = D'(p) p=p2 et D'(p) = dD(p) dp on peut également utiliser les relations suivantes : N(p) A 0 = p D(p) p = 0 N(p) A 1 = (p − p2 ) D(p) p =p 2 • si le dénominateur comporte des pôles complexes conjugués d'ordre n : p1 = a - jb et p2 = a + jb on aura une somme : avec : ((p − a) ( 2 + b2 2 A np1 + Bn = (p − a ) + b2 A n −ip1 + Bn −i S S M O N N N Seeerrrgggeee M MO ON NN NIIIN N A np + B n ) + A n−1p + B n−1 ) ((p − a) n n 2 + b2 ) n−1 +...+ A 1p + B 1 ((p − a) 2 + b2 ) N(p) = [F(p)] p =p1 D(p) p =p1 1 diF(p) = i i! dp p =p1 TTTrrraaannnsssfffooorrrm m maaatttiio ioonnn dddeee LLLaaappplla laaccceee...dddoooccc 2 Exemples : a) On soumet un circuit RC, dont le condensateur est initialement déchargé, à une rampe de tension de pente k. Donner l'équation de la réponse à cette excitation. La transmittance de Laplace du circuit RC a pour expression : T (p ) = 1 1 + RCp La transformée de Laplace de l'excitation s'écrit : E(p) = k p2 La transformée de Laplace de la sortie a donc pour expression : k A B C = 2 + + p p + 1/ τ p ( τp + 1) p k 1 2 A = (p − 0) 2 = k ⇒ F (p ) = τp + 1 p ( τp + 1) p= 0 S(p) = 2 − kτ dF(p) B= = = − kτ 2 dp p= 0 ( τp + 1) p= 0 k C= 2 = kτ τp p= −1/ τ donc : S(p) = et : s(t) k kτ kτ + 2 − p p + 1/ τ p = k.t - k.τ + k.τ.e -t/τ = k.τ.e -t/τ e(t) + k.(t-τ) s(t) t Rq : si les conditions initiales ne sont pas nulles, il faut, à partir de l'équation S(p) = T(p).E(p), revenir à l'équation différentielle puis introduire les conditions initiales dans sa transformée de Laplace avant de déterminer s(t) (voir exercice sur les circuits du premier ordre). S S M O N N N Seeerrrgggeee M MO ON NN NIIIN N TTTrrraaannnsssfffooorrrm m maaatttiio ioonnn dddeee LLLaaappplla laaccceee...dddoooccc 3 b) Décomposer On écrira : S(p) = S(p) = p. (p 2 + p + 1). (p − 1) A. p + B (p 2 1 + p + 1) + C (p − 1) 2 + 2 en fractions simples. D (p − 1) + E p 1 1 C= = 2 p. (p + p + 1) p =1 3 − p.(2. p + 1) − p 2 + p + 1 d ( ) = − 2 1 D= = 2 2 3 dp p. (p + p + 1) p =1 p. (p 2 + p + 1) p =1 ( ) 1 E= 2 =1 2 ( p + p + 1). (p − 1) p= 0 Pour trouver la valeur de A, on peut réduire au même dénominateur S(p) et remarquer que seuls 4 A,D et E sont facteurs de p , donc A + D + E = 0 et A = 2/3 - 1= -1/3, ou bien on peut multiplier les deux membres de l’équation par p et faire tendre p vers l’infini, ce qui donne également A + D + E = 0. Pour B on pourra remplacer p par une valeur simple, mais pas un pôle. Par exemple, avec p = -1, on obtient B = 0. S S M O N N N Seeerrrgggeee M MO ON NN NIIIN N TTTrrraaannnsssfffooorrrm m maaatttiio ioonnn dddeee LLLaaappplla laaccceee...dddoooccc 4