Exercice 1 (8 points) Ingénieur chez un marchand de glaces, vous

Examen final d’Analyse Vectorielle
UPA-Juin 2011
Exercice 1 (8 points)
Ingénieur chez un marchand de glaces, vous êtes chargé d’effectuer une étude mathématique d’un petit
cornet de glace au chocolat.
I- Le biscuit est formé par la révolution du segment de droite 𝑧 = 4𝑥
autour de l’axe (𝑂𝑧), entre les points 𝑂(0,0) et 𝑆(2,8).
Le biscuit admet donc une forme conique dont l’équation de la surface
est 𝑧 = 4 𝑥 2 + 𝑦 2 .
a. Calculer l’aire de la surface de révolution du biscuit ainsi
obtenu.
𝑆=
𝑥𝐴
𝑥𝑂
2
2𝜋𝑥
0
2𝜋𝑥 1 + 𝑧′𝑥 2 𝑑𝑥 : 𝑧 = 4𝑥 ⇒ 𝑧′𝑥 = 4 ⇒ 𝑆 =
17𝑑𝑥 = 4 17𝜋.
b. Calculer le volume du cornet vide.
En utilisant les coordonnées cylindriques :
2𝜋
𝑉=
2
8
𝑑𝑉 =
𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 =
𝜃=0 𝑟=0 𝑧=4𝑟
32
𝜋
3
II- On suppose que le cornet contient de la glace au chocolat entre le
paraboloïde 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4 et la sphère d’équation :
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 68.
Une coupe de la glace dans le plan (𝑥𝑂𝑧) est schématisée dans la figure
ci-contre.
a. Utiliser les coordonnées cylindriques pour calculer le volume de
glace compris entre le paraboloïde et le bord circulaire du cornet.
2𝜋
𝑉=
2
8
𝑑𝑉 =
𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 8𝜋
𝜃=0 𝑟=0 𝑧=𝑟 2 +4
b. Utiliser les coordonnées sphériques pour calculer le volume de glace compris entre le bord
circulaire et la partie de la sphère.
Volume du secteur sphérique :
cos −1
𝑉𝑠 =
𝑑𝑉 =
𝜑=0
8
68
2𝜋
68
𝜌2 sin 𝜑 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜑 =
272
𝜃=0 𝜌=0
Alors le volume de la glace = 𝑉𝑠 -Volume du cône =
272 17−1120
3
𝜋 ≈ 1.555
17 − 4
𝜋
3
III- Quel est le volume de la partie restant vide du cornet ?
32
8
𝑉=
𝜋 − 8𝜋 = 𝜋
3
3
Exercice 2 (4 points)
Soit 𝐷 le domaine défini par:
𝐷 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4
Calculer sur 𝐷 l’intégrale double suivante :
𝐷
𝑥3 𝑦
1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2
2
𝑑𝑥𝑑𝑦
En coordonnées polaires :
𝑥3 𝑦
1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2
𝐷
𝜋
2
𝜃=0
2
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
2
𝑟 3 cos 3 θ r sin θ
1 5
𝑟𝑑𝑟
𝑑𝜃
=
ln
2 4
8 2
𝑟=1 (1 + 𝑟 )𝑟
O
1
2
Exercice 3 (3 points)
On considère le domaine 𝑇 compris entre les deux droites : 𝑥 + 𝑦 = 2 et 𝑦 = 4 et la parabole
𝑦 = 𝑥2 .
1. Schématiser 𝑇.
y
y=x 2
y=4
O
1 2
y=2-x
x
2. Calculer la surface de 𝑇.
𝑆=
4
𝑦
𝑦=1 𝑥=2−𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦=
1
4
𝑥=−2 𝑦=2−𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥 +
2
4
𝑥=1 𝑦=𝑥 2
𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
37
6
x
Exercice 4 (5 points)
On considère la boîte cylindrique composée par le cylindre 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 et 0 ≤ 𝑧 ≤ 4.
Soit 𝑉 le champ de vecteurs défini par : 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 𝑖 + 𝑦 2 𝑗 + 𝑧 2 𝑘.
1. Calculer le flux de 𝑉 à travers la surface de la boîte (3 surfaces) directement.
On calcule le flux au travers de chaque partie de la surface :
a. Pour la surface latérale du cylindre, on peut la paramétrer avec les coordonnées cylindriques :
𝑋 𝜃, 𝑧 = (4 cos 𝜃 , 4 sin 𝜃 , 𝑧) avec 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 et 0 ≤ 𝑧 ≤ 4. Le vecteur normal à cette
𝜕𝑋
𝜕𝑋
surface et orienté vers l’extérieur est alors : 𝑣 = 𝜕𝜃 ∧ 𝜕𝑧 = (4 cos 𝜃 , 4 sin 𝜃, 0), alors
2𝜋
Φ1 =
4
64 ( cos3 θ + sin3 θ) dz dθ = 0
𝑉 . 𝑣 𝑑𝜃 𝑑𝑧 =
𝑋
𝜃=0 𝑧=0
b. Pour le disque du bas, le vecteur normal n’est autre que 𝑣(0,0, −1) (selon l’axe des 𝑧 dirigé vers le
bas). Donc 𝑉 . 𝑣 = −𝑧 2 = 0, alors Φ2 = 0.
c. Pour le disque du haut, le vecteur normal n’est autre que 𝑣(0,0,1) (selon l’axe des 𝑧 dirigé vers le
haut). Donc 𝑉 . 𝑣 = 𝑧 2 = 16, alors Φ3 =
𝑋
16 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 16
2𝜋
2
𝑟
𝜃=0 𝑟=0
𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 64𝜋.
2. Retrouver le flux en utilisant la formule d’Ostrogradski.
Φ=
𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
4
2𝜋
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
2
=
2𝑟 cos 𝜃 + 2𝑟 sin 𝜃 + 2𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 = 64𝜋
𝑧=0 𝜃=0 𝑟=0
(coordonnées cylindriques)