Terminale SMS

3ème
Correction brevet blanc de mathématiques
Activités numériques : (14 points)
Exercice 1 : (4 points)
1.
Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
12 ×10 −3
B=
−4
16 ×10
−3−−4
3 ×10
B ¿=
4
−3 4
3 ×10
B ¿=
4
3 ×10
B ¿=
4
15
B ¿=
2
2
5
2
A=  −
7
7
25 14
A=
−
49 49
11
A=
49
1 1

9 12
4
3
C=

36 36
7
C=
36
C=
1
1
R=
36
7
1
2. En électricité, pour calculer des valeurs de résistances, on utilise la formule R = R + R .
1
2
Sachant que R1 = 9 ohms et R2 = 12 ohms, déterminer la valeur exacte de R.
On obtient
1 1 1
, d'après la question 1 on a
= 
R 9 12
1
7
=
R 36
donc
ohms
Exercice 2 : ( 2 points)
Ecrire le nombre D =
180 + 3 80 − 2 125 sous la forme a b , avec a et b entiers.
D=  36 ×53 ×  16 ×5−2 ×  25 ×5
D=6  5 3 ×4  5 −2 ×5  5
D=6  5 12  5 −10  5
D=8  5
Exercice 3 : (4 points)
On considère l’expression E = (3x –1)² +(x + 2)(3x – 1).
1. Développer et réduire l’expression E.
2.
E =3 x−12 x23 x−1
E =9 x 2−6 x1 3 x 2− x6 x−2
2
E =12 x − x−1
Factoriser E.
E=3 x−12 x23 x−1
E=3 x−1[3 x−1 x2]
E=3 x−14 x−1
3. Calculer E pour x = – 2.
E=3 ×−2−12 −223 ×−2−1
E=−6−12
E=−72
E=49
4. Résoudre l’équation (3x − 1)(4 x + 1) = 0.
Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul
3 x−1=0
3 x−11=01
1
1
Soit 3 x× =1 ×
3
3
1
x=
3
4 x1=0
4 x1−1=0−1
1
1
Soit 4 x× =−1 ×
4
4
1
x=−
4
Il y a deux solutions
1
1
et −
3
4
Exercice 4 : (4 points)
1.
Calculer le PGCD de 110 et 88.d'Euclide
On utilise l'algorithme
110 =88 ×1 22
.
88 =22 ×4
Le P.G.C.D. De 110 et 88 est 22.
2. Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante :
« découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte. »
Quelle sera la longueur du côté d’un carré ?
Comme on veut obtenir des carrés identiques aussi grands que possible, il faut calculer le P.G.C.D.
de 110 et de 88 . La longueur du côté de ces carrés est de 22 cm.
3.
Combien obtiendra-t-on de carrés par plaque ?
On peut couper 5 carrés dansle sens de la longueur et 4 dans le sens de la largeur. Une plaque permet donc d'obtenir 20
carrés.
Activités géométriques : (12 points)
Exercice 1 : (6 points)
Observer la figure ci-contre. On donne AG = 2 ; AF = 5 ; AC = 4 ; GB = 1,5 ;
AD = 8 et (GB) est parallèle à (FC).
1. Calculer les longueurs AB et FC.
2. Les droites (FC) et (ED) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
AE = 10 ;
1. On sait que : Les points A, B et C d’une part et A, G et F d’autre part sont alignés
sur deux droites sécantes en A. Les doites (GB) et (FC) sont parallèles.
AG AB GB
=
=
.
D’après le théorème de Thalès, On conclut que :
AF AC FC
En remplaçant les longueurs par leurs valeurs numériques, on obtient
2 AB 1,5
=
=
,
5 4 FC
d’où
AB =
2× 4
5 × 1,5
= 1, 6 cm et FC =
= 3, 75 cm.
5
2
2. On sait que : Les points A, F et E d’une part et A, C et D d’autre part sont alignés dans
AC 4
AF 5
AC AF
= = 0,5 et
=
= 0, 5 donc
le même ordre.
.
=
AD 8
AE 10
AD AE
D’après la réciproque du théorème de Thalès,
On conclut que : les droites (FC) et (ED) sont parallèles.
Exercice 2 : (3 points)
Une lampe a la forme d’une boule de centre O et de rayon 30 cm, [AB] est un diamètre et [SO] un
rayon de cette boule (voir figure ci-contre).
1. Calculer le volume de la boule (donner la valeur arrondie au cm3).
2. On donne SB = 30 2 cm. Montrer que la droite (SO) est perpendiculaire à la droite (AB).
4
4
1. Soit V le volume de la boule, V = × π × r 3 = × π × 303 = 36000 × π cm3 (valeur exacte).
3
3
V ≈ 113097 cm3.
2.
On sait que : Dans le triangle SOB, [SB] est le plus grand côté, on a d’une part SB ² = (30 2 )² = 900 × 2 = 1800.
et d’autre part OS² + OB² = 30² + 30² = 900 + 900 = 1800.
On a l’égalité SB² = OB² + OS², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SOB est rectangle en O, donc
(AB) est perpendiculaire à (SO).
Exercice 3 : (5 points)
1.
Roméo (R) veut rejoindre Juliette (J) à sa fenêtre. Pour
cela, il place une échelle [JR] contre le mur [JH]. Le
mur et le sol sont perpendiculaires.
On donne : HR = 3 et JH = 4.
a. Calculer JR.
·
·
b. Calculer cos HJR,
puis la valeur de l’angle HJR
2.
a.
arrondie au degré.
L’échelle glisse.
·
On donne : JR = 5 et HJR
= 40°.
Calculer HR (donner la valeur arrondie au dixième).
b. Ecrire l’expression de tan ·HJR , puis calculer JH (donner la valeur arrondie au dixième).
1. a. On sait que : JHR est un triangle rectangle en H (le mur et le sol sont perpendiculaires).
D’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité : JR² = HJ² + HR².
JR² = 4² + 3² , d’où JR² = 16 + 9 = 25 et JR = 25 = 5 m.
JH 4
·
= = 0,8 ; d’où
b. Le triangle JHR est rectangle en H donc on peut appliquer la trigonométrie, on a cos (HJR)=
JR 5
·
HJR
= cos −1 (0,8) ≈ 37°.
HR HR
·
=
, d’où
a. Le triangle JHR est rectangle en H donc on peut appliquer la trigonométrie, on a sin (HJR)=
JR
5
HR
sin 40 =
, HR = 5 × sin 40 ≈ 3, 2 m.
5
HR 5 × sin 40
5 × sin 40
=
, JH =
≈ 3,8 m.
b. tan ·HJR =
HJ
JH
tan 40
2.
Problème : (12 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J). On considère les points A(6 ; 5), B(2 ; – 3) et C(– 4 ;0).
1. Faire la figure sur la feuille de copie en utilisant le centimètre comme unité sur chaque axe. Le point O, origine du repère sera
placé sur une ligne au centre de la feuille de copie.
2. Calculer les distances AB, BC et CA. Donner les résultats sous la forme a 5 où a est un nombre entier positif.
3.
4.
AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²
BC²=(xC-xB)²+(yC-yB)²
CA²=(xA-xC)²+(yA-yC)²
AB²=(2-6)²+(-3-5)²
BC²=(-4-2)²+(0-(-3))²
CA²=(6-(-4))²+(5-0)²
AB²=(-4)²+(-8)²
BC²=(-6)²+3²
CA²=(6+4)²+25
AB²=16+64
BC²=36+9
CA²=100+25
AB²=80
BC²=45
CA²=125
AB=  80
BC=  45
CA=  125
AB= 4  5
BC= 3  5
CA = 5  5
En déduire la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.
Le triangle semble être rectangle, AC est le plus long côté.
D'une part AC²=125
D'autre part : AB²+BC²=80+45
=125
AB²+BC²=AC²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.
Calculer l’aire du triangle ABC.
base×hauteur
2
AB× AC
=
2
4  5 ×5  5
=
2
20 ×5
=
2
= 50 cm²
Aire du triangle ABC =
5.
5.
Calculer le périmètre du triangle ABC, donner le résultat sous la forme a 5 puis la valeur arrondie au dixième de ce résultat.
Périmètre de ABC = AB + AC + BC
= 4  5 3  5 5  5
= 12  5
On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
a. Préciser la position de son centre E en justifiant la réponse. Calculer les coordonnées de ce point.
Je sais que: Le triangle ABC est rectangle en B et E est le centre du cercle circonscrit
Propriété: Si un triangles est rectangle alors le centre se son cerclecirconscrit est le milieu de l'hypoténuse.
Conclusion : E est lemilieu de l'hypoténuse [AC].
b. Déterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle.
Le rayon du cercle est égal à
AC 5  5
=
2
2
·
6. Calculer la valeur exacte de tan ·ACB puis une valeur approchée au degré près de l’angle ACB
.
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
AB
AC
4 5
tan 
ACB=
5 5
4
tan 
ACB=
5
tan 
ACB=
7.
a.

ACB=39
Calculer les coordonnées du milieu F du segment [AB].
xF=
6 2
5−3
=4 yF=
=1 Donc F(4;1)
2
2
b. En déduire les coordonnées du point D tel que ACBD soit un parallélogramme.
Je sais que : ABCD est un parallélogramme de F est le milieu de [AB]
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Conclusion: F est le milieu de [CD].
Soit D(x;y) le point cherché
−4 x
2
8 =−4 x
x=12
¿4 =
¿1 =
2 =y
0 y
. Donc on a D(12;2)
2