L3 – TDs de soutien en Math Opérateurs linéaires - Inac

Université Joseph Fourier
L3 Physique
Julia Meyer
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L3 – TDs de soutien en Math
Opérateurs linéaires
Plus d’informations sur les TDs de soutien en Math se trouvent à :
http://inac.cea.fr/Pisp/julia.meyer/math-L3_SOUTIEN.html
Algèbre: Soit a, b, c ∈ E, donc
a + b, a · b ∈ E
a+b=b+a
a · (b + c) = a · b + a · b, (a + b) · c = a · c + b · c
(a · b) · c = a · (b · c)
∃0∈E : a+0=a
∃1∈E : 1·a=a·1=a
∃ − a ∈ E : a + (−a) = 0
∃ 1/a ∈ E : (1/a) · a = a · (1/a) = 1
[A, B] = A · B − B · A
Opérateurs linéaires: O[λf1 + µf2 ] = λO[f1 ] + µO[f2 ]
(u, Ov) = (O† u, v)
Ovn = λn vn (λn valeur propre, vn vecteur propre)
Df (x) = f 0 (x)
Xf (x) = xf (x)
1. Quelques exemples d’opérateurs linéaires
a) Démontrer que D2 − X 2 = (D + X)(D − X) + 1 = (D − X)(D + X) − 1. En déduire, [D − X, D + X]
et [D2 − X 2 , D ± X].
b) Démontrer que exp[P −1 AP ] = P −1 exp[A]P où A, P sont deux opérateurs linéaires.
2. Equation d’onde
Résoudre l’équation d’onde
2
∂2
2 ∂
u
−
c
u=0
∂t2
∂x2
avec les conditions initiales u(x, 0) = f (x) et ∂t u(x, t)|t=0 = g(x).
3. Fonctions d’Hermite
Soit les fonctions d’Hermite
hn (x) = Cn (−1)n exp
x2 dn
exp −x2 .
n
2 dx
On peut démontrer que les fonctions hn forment une base.
Démontrer que pour l’opérateur H = −D2 + X 2 , nous avons Hhn (x) = (2n + 1)hn (x). Donner alors
la représentation de H dans la base des hn .
1
4. Valeurs et vecteurs propres
Soit


0 −1
1 1 .
0 1
1
M = 3
−4
Déterminer les valeurs et vecteurs propres. En déduire les valeurs et vecteurs propres de exp[tM ].
5. Oscillateur harmonique
On définit A = D + X.
a) Trouver A† . En déduire [A, A† ] = 2.
b) Ecrire H = −D2 + X 2 en fonction de A et A† .
c) Soit HψE = EψE . Trouver HA† ψE .
d) Il existe une fonction ψ0 pour laquelle Aψ0 = 0. Trouver Hψ0 . En déduire ψ0 .
e) Soit Hψn = (2n + 1)ψn . Utiliser les résultats ci-dessus pour déterminer ψn .
2