Analyse complexe et fonctionnelle

Thème scientifique “Analyse Complexe et fonctionnelle”
Membres : Raymond Mortini (Prof.) et Violeta Petkova (MCF)
doctorant : Jérôme Noël
Domaines de recherche :
analyse complexe
théorie des fonctions
analyse fonctionnelle
analyse harmonique classique
théorie des opérateurs
applications de ces domaines en contrôle.
:
Les grandes lignes :
•Etude des propriétés du spectre de H ∞ , développer des méthodes en vue
d’une solution du problème de la couronne sur les domaines planaires.
•Etude des problèmes algébriques de H ∞ , description des idéaux fermés dans
H ∞ en vue d’une solution de la conjecture d’Alling.
•Etude des fonctions intérieures, en particulier des produits de Blaschke en vue
d’une solution du célébre problème de Garnett et Jones sur l’approximation
uniforme de ces prdouits par des produits de Carleson-Newman.
•Etude des sous-espaces invariants d’opérateurs linéaires bornés sur des espaces
de fonctions analytiques, étude des opérateurs de composition, y inclus les
endomorphismes d’algèbres uniformes, étude des vecteurs cycliques et
hypercycliques, étude des opérateurs de Wiener-Hopf sur des espaces de Hilbert
et de Banach
•Etude des spectres des opérateurs qui commutent avec les translations sur des
espaces fonctionnelles sur Rn et étude du spectre du semi- groupe des
translations
:
Definition : Let A be a commutative topological algebra with unit e.
n
An n-tuple a = (aP
1 , ..., an ) ∈ A is called invertible if there exists an n-tuple
n
n
b ∈ A such that j=1 aj bj = e.
An (n + 1)-tuple a is called stable if there exists an n-tuple x such that
(a1 + x1 an+1 , ..., an + xn an+1 ) is invertible. The Bass stable rank (called brs(A))
of the algebra A is the least interger n such that every invertible (n + 1)-tuple
is stable. The topological stable rank of A is the least integer n such that the
set of all invertible n-tuples in An is dense An .
Theorem (R. Mortini, Brett Wick ; J. Reine Angew. Math)
Rank stable de Bass de HR∞ (D)= rank stable topologique de HR∞ (D)=2.
Theorem (R. Mortini, Rudolf Rupp, JFA)
Let K ⊆ C be compact and real-symmetric. Let A(K ) be the algebra of all
functions continuous on K and holomorphic in the interior of K .
Let C (K )sym be the real algebra of all complex-valued functions
continuous on
T
K and satisfying f (z) = f (z). Finally,Tlet A(K )sym = A(K ) C (K )sym . Then
(1)bsr (A(K )sym ) = 1 if and only if K TR is emppty or totally disconnected.
(2) bsr (A(K )sym ) = 2 if and only if K R containsTan interval.
(3) bsr (C (K )sym ) = 1 if and only if K ◦ = ∅ and K R is totally disconnected
or empty ;
T
(4) bsr (C (K )sym ) = 2 if and only if K ◦ 6= ∅ or K R contains an interval.
:
Definition : A function f in the unit ball B of H ∞ is said to be B-universal for
a sequence (φn ) of holomorphic self-maps of D if {f ◦ φn : n ∈ N } is locally
uniformly dense in B.
Theorem (R. Mortini, IEOT)
Let (φn ) be a sequence of selfmaps of D satisfying
|φn (0)| −→ 1
and
lim sup
n→∞
|φ0n (0)|
= 1.
1 − |φn (0)|2
Then, for any sequence (n ) of positive numbers tending to 0, there exists a
thin Blaschke product B with zero-sequence (an ) satisfyig
1 − |an+1 |
≤ n ,
1 − |an |
such that the linear span of {B ◦ φn : n ∈ N} is dense in H 2 .
:
Theorem (R. Mortini, A.Sasane, BLMS)
Let γ = dn be a quotient in A(D). Then the ideal of denominators
D(γ) := {f ∈ A(D) : f γ ∈ A(D)}
is either a principal ideal or not finitely generated. The proof uses the deep
result of Treil on the Bass stable rank on B ∞ and some of its generalizations
by Sasane.
Theorem (avec J. Noel, preprint)
Let I 6= (0) be a finitely generated radical ideal in H ∞ + C . Then I is a
principal ideal generated by an interpolating Blaschke product.
:
Résultats sur les multiplicaters et opérateurs de Wiener-Hopf,
spectres des translations
Soient G un groupe localement compact abélien.
- Ĝ le groupe dual de G .
- E un espace de Banach de fonctions sur G .
- M l’ensemble des multiplicateurs sur E : les opérateurs bornés sur E qui
commutent avec les translations.
Théorème (Résultat classique) :
b ) t.q.
Soit E = Lp (G ), 1 ≤ p < +∞. Pour tout M ∈ M, ∃hM ∈ L∞ (G
\
c (χ) = hM (χ)b
b.
Mf
f (χ), ∀f ∈ Lp (G ) L2 (G ), χ ∈ G
hM est appelé le symbole de M
khM k∞ ≤ kMk.
:
fE des morphismes continus θ de G dans C∗ tels que
On définit l’ensemble G
˛R
˛
˛
˛
˛
˛
˛e ˛
˛f (θ)˛ := ˛ G f (x)θ(x)−1 dx ˛ ≤ kMf k, ∀f ∈ Cc (G )
Mf : E 3 g −→ f ∗ g ∈ E .
Théorème (V.Petkova Bull. London Math Soc.)
fE . On a
i) Soient M ∈ M et θ ∈ G
(Mf )|θ|−1 ∈ L2 (G ), ∀f ∈ Cc (G ).
Posons,
\
f (θ) = (Mf
Mf
)|θ|−1
“ θ ”
, p.p.
|θ|
fE , d ⊗ m) telle que khM k∞ ≤ C kMk et
Il existe une fonction hM ∈ L∞ (G
]) = hM f˜, ∀f ∈ Cc (G ).
(Mf
:
Le cas G = R
Soit E un espace de Hilbert ou soit E = Lpω (R), avec p ≥ 1 et ω un poids sur R.
1
α0 = limt→+∞ ln kSt k t
1
α1 = limt→+∞ ln kS−t k t
Théorème (P. 2011) :
Soit M un multiplicateurs sur E . Soit a ∈] − α1 , α0 [, 1) On a (Mf )e a. ∈ L2 (R),
pour tout f ∈ E tel que fe a. ∈ L2 (R).
2) Il existe une fonction νa ∈ L∞ (R) t.q.
\
a. (x), ∀f ∈ E , t.q. fe a. ∈ L2 (R), p.p.
d
(Mf
)e a. (x) = νa (x)fe
De plus, on a kνa k∞ ≤ C kMk, ∀a ∈] − α1 , α0 [.
◦
3) Si U := {z ∈ C : =z ∈] − α1 , α0 [} 6= ∅, il existe une fonction ν ∈ H∞ (U)
t.q.
c = ν fˆ, ∀f ∈ Cc (R),
Mf
\
c (a + ix) = (Mf
où Mf
)a (x) pour a ∈] − α1 , α0 [, f ∈ Cc (R).
:
Applications spectrales
Théorème : On a
σ(St ) = {z ∈ C, e −α1 t ≤ |z| ≤ e α0 t }, ∀t ∈ R.
Soit M ∈ M et soit µM le symbol de M.
Soit U = {z ∈ C : =z ∈] − α1 , α0 [} On a
µM (U) ⊂ σ(M).
Des résultatts similaires pour G = Rk , Z ou Zk .
Des résultats similaires pour les opérateurs de Wiener-Hopf
Définition : Un opérateur T défini sur un espace de fonctions sur R+ est appelé
opérateur de Wiener-Hopf si il est borné et
P + S−t TSt = T , ∀t ∈ R.
Soient
1
1
α0 = lim ln kP + St k t , α1 = lim ln kP + S−t k t .
t→+∞
t→+∞
Théorème (P. 2011)
σ(P + St ) = {z ∈ C, |z| ≤ e α0 t }, ∀t > 0.
σ(P + S−t ) = {z ∈ C, |z| ≤ e α1 t }, ∀t > 0.
:
Outils
Théorème [Gearhart, I. Herbst] : Spectral theorem for strongly continuous
semigroups of operators on a Hilbert space H Soit A le génerateur d’un
semi-groupe fortement continu (e tA ). e −z0 ∈
/ σ(exp(−A)) si et seulement si
z0 + 2πin ∈
/ σ(A), ∀n ∈ Z et
::::::::::::::::::::::::::
sup k(z0 + 2kiπ − A)−1 k < +∞.
k∈Z
Plus précisement, si e −z0 ∈ σ(exp(−A)), mais z0 ∈
/ σ(A) alors il existe une
suite d’entiers (nk ) telle que
lim k(z0 + 2nk iπ − A)−1 k = +∞.
k→+∞
: