Matrices inversibles
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Chapitre IV Matrices inversibles - Applications 1 Inverse d’une matrice carrée Définition 1 Soit A une matrice carrée d’ordre n ≥ 2. Dire que A est inversible signifie qu’il existe une matrice carrée d’ordre n telle que AB = BA = In . Propriété 1 S’il existe B telle que AB = In (ou BA = In ), alors A est inversible. Propriété 2 Si A est inversible, son inverse est unique et notée A−1 a b Propriété 3 Une matrice carrée A = d’ordre 2 est inversible si et seulement si son c d déterminant ad − bc est non nul. 1 d −b . Dans ce cas, on a A−1 = ad − bc −c a Remarque 1 Dans la pratique, on utilisera la calculatrice pour inverser une matrice. 2 Écriture matricielle d’un système linéaire Soit (S) le système : 2x − 3y = 1 . 5x + 7y = −3 2 −3 x 1 (S) s’écrit sous forme matricielle AX = B avec A = ;X= et B = 5 7 y −3 Propriété 4 Soit A une matrice carrée inversible et B une matrice colonne. Le système dont l’écriture matricielle est AX = B admet une unique solution : X = A−1 B. Démonstration : −1 −1 Si AX = B et A inversible alors |A−1 {zA} X = A B soit X = A B. In Réciproquement, si X = A−1 B alors AX = AA−1 B = B. On a donc bien AX = B ⇐⇒ X = A−1 B. 1 3 Matrices diagonalisables Définition 2 Soit A une matrice carrée d’ordre n. On dit que A est diagonalisable s’il existe une matrice carrée P d’ordre n inversible et une matrice D diagonale telles que A = P DP −1 Remarque 2 Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables. Déterminer si une matrice est diagonalisable nécessite des connaissances d’algèbre linéaire hors-programme. En TS, on donnera donc les matrices P et D telles que A = P DP −1. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel. Par exemple, sous xcas, l’instruction jordan(A) donne, si elles existent, les matrices P et D. L’intérêt de la diagonalisation réside dans la propriété qui suit (énoncée pour les matrices d’ordre 2) qui se démontre facilement par récurrence : Propriété 5 Soit A une matrice carrée d’ordre 2 telle que A = P DP −1 n a 0 n n −1 P −1 . Alors, pour tout n ∈ N, A = P D P = P 0 bn 2 a 0 . avec D = 0 b