Coordonnées et distance dans un rep`ere du plan cours 3e
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Coordonnées et distance dans un rep`ere du plan cours 3e
Coordonnées et distance dans un repère du plan cours 3e F.Gaudon 9 août 2004 Table des matières 1 Repères du plan 2 2 Coordonnées de vecteurs 2 3 Conséquences pour le calcul d’autres coordonnées 3.1 Coordonnées du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Coordonnées de la somme de deux vecteurs . . . . . . . . . . . 4 4 5 4 Distance dans un repère orthonormal 6 1 1 Repères du plan Définition : Soient O,I et J trois points du plan. Le repère (O ;I ;J) est le repère d’origine le point O, d’axes les droites (OI) et (OJ). Son axe des abscisses a pour unité OI et l’axe des ordonnées a pour unité OJ. – (O ;I ;J) est dit orthogonal si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires : – (O ;I ;J) est dit orthonormal si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et OI=OJ. J M (1;1) J M (1;1) J (OI) O 2 (OI) I O I M (1;1) (OI) O (OJ) I Coordonnées de vecteurs Exemple : Dans le repère (O ;I ;J) ci-dessous, le vecteur ~u est déterminé par les nombres 3 et 1 (dans cet ordre). Ces deux nombres sont appelés les coordonnées de ~u. On écrit ~u(3; 1). B J A O I (OI) 2 Propriété et définition : Soit (O ;I ;J) un repère du plan. Soit ~u un vecteur et soient A(xA ; yA ) et ~ B(xB ; yB ) deux points tels que ~u = AB. ~ Soient C(xC ; yC ) et D(xD ; yD ) deux autres points tels que ~u = CD. Alors xD − xC = xB − xA et yD − yC = yB − yA . On appelle coordonnées du vecteur ~u le couple de nombres (xB −xA ; yB − yA ). Exemple : M (−5; 1) et N (−2; 3). xN − xM = −2 − (−5) = 3 yN − y M = 3 − 1 = 2 d’où M~N (3; 2). N +2 M J +3 O I Preuve : Admis. Propriété : – Si deux vecteurs sont égaux, alors ils ont les mêmes coordonnées : – si deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, alors ils sont égaux. 3 Preuve : Conséquence directe de la définition. Exemple : Soient M (−5; 1) et R(−2; 3). xM − xR = (−5) − (−2) = −3 et yM − yR = 3 − 1 = 2 ~ (3; 2). d’où RM 3 Conséquences pour le calcul d’autres coordonnées 3.1 Coordonnées du milieu d’un segment Propriété : Soit (O ;I ;J) un repère. Soient A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ). Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées : I( xA + y A xB + y B ; ) 2 2 Preuve : ~ = IB. ~ I est le milieu de [AB] donc AI ~ et IB ~ sont égaux donc ils ont les mêmes coordonnées. Les vecteurs AI D’où xI − xA = xB − xI et yI − yA = yB − yI . Donc xI + xI = xB + xA et yI + yI = yB + yA c’est à dire 2xI = xB + xA et 2yI = yB + yA A A donc xI = xB +x et yI = yB +y . 2 2 Exemple : Soient A(2; 4) et B(−4; 1) et soit I(xI ; yI ) le milieu de [AB]. xI = 2+(−4) et yI = 4+1 2 2 donc xI = −1 et yI = 52 4 3.2 Coordonnées de la somme de deux vecteurs Propriété : Soient ~u(r; s) et ~v (r 0 ; s0 ) deux vecteurs. Alors le vecteur somme ~u + ~v a pour coordonnées (r + r 0 ; s + s0 ). Preuve : ~ Soient A et B deux points tels que ~u = AB. ~ Soit S le point tel que ~v = AS. Les deux vecteurs sont égaux donc ils ont les mêmes coordonnées. ~ 0 ; s0 ). Donc AS(r Soit M le point tel que ABM S soit un parallélogramme. ~ + AS ~ = AM ~ D’après la règle du parallélogramme, AB ~ sont (r + r 0 ; s + s0 ). Il s’agit donc de démontrer que les coordonnées de AM Soit I le point d’intersection des diagonales du parallélogramme. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu donc I est le milieu de [AM ] et de [BS]. D’où xI = x2A + x2S et yI = y2A + y2S mais aussi xI = x2B + x2M et yI = y2B + y2M D’où xA + xS = xB + xM et yA + yS = yB + yM donc xM − xA = xB − xS et yM − yA = yB − yS ce qui peut s’écrire aussi xM − xA = xB − xA + xA − xS et yM − y A = y B − y A + y A − y S c’est à dire xM − xA = r + r 0 et yM − yA = s + s0 . D’où les coordonnées du vecteur somme. Exemple : ~ ~ ~ + BC(3; ~ AB(2; 1) et BC(1; −3). AB −2) 5 B A +1 +2 J −3 O +1 4 I C Distance dans un repère orthonormal Propriété : Soit (O ;I ;J) un repère orthonormal du plan. Soient A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) deux points du plan. Alors la distance entre A et B est donnée par : p AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 c’est à dire AB 2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 6 B J O I yB−yA xB−xA A Preuve : Soit M (xA ; yB ). Le repère (O ;I ;J) étant orthonormal, (OI) et (OJ) sont perpendiculaires. (AM) est parallèle à (OJ). Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre Donc (AM) et (OI) sont perpendiculaires. Or (BM) est parallèle à (OI). Donc par la même propriété, (AM) est perpendiculaire à (BM). Dans le triangle ABM rectangle en M, d’après le théorème de Pythagore : AB 2 = AM 2 + BM 2 Or (AM) est parallèle à (OI) donc AM = yB − yA . De même (BM) est parallèle à (OJ) donc BM = xB − xA . D’où AB 2 = (yB − yA )2 + (xB − xA )2 . Exemple : A(5; −3) et B(3; 1) : AB 2 = (3 − 5)2 + (1 − (−3))2 AB 2 = (−2)2 + 42 AB 2 = 20 D’où AB = √ √ 20 = 2 5. 7