Correction du devoir commun n°7 du 31/03/10

CLASSE DE QUATRIÈME
DEVOIR EN COMMUN N˚7
Présentation : 2 points.
Exercice 1 (3 points)
Résoudre les équations suivantes :
4x − 9 = 3 − 5x
2 (2 − 3 x) − 3 (2 x − 5) = 0
Solution 1.
4
12
⇐⇒ x =
(4 x − 9 = 3 − 5 x) ⇐⇒ (4 x + 5 x = 3 + 9) ⇐⇒ (9 x = 12) ⇐⇒ x =
9
3
(2
(2
−
3
x)
−
3
(2
x
−
5)
=
0)
⇐⇒
(4
−
6
x
−
6
x
+
15
=
0)
⇐⇒
(19
−
12
x
=
0)
⇐⇒
19
x=
12
(12 x = 19)
⇐⇒
Exercice 2 (3 points)
Calculer : A =
1
×7
1−
3 9
3
et B = − × 6
1
2 2
1− ×7
3
Solution 2.
3 1
1
2
14
−
×7
×7
×7
14
3
7
14
3
3 3
3
3
=
=
=
=
× −
A=
=− =−
3 7
1
7
4
3
4
4
2
−
1− ×7
1−
−
3
3
3 3
3
3 9
3
3
3 54
51
B = − × 6 = − 9 × 3 = − 27 = −
=−
2 2
2
2
2
2
2
1−
Exercice 3 (4 points)
Dans une élection, un candidat a obtenu les résultats suivants :
1. Dans la commune A, il y a 2 500 votants et il a obtenu 32 % des voix.
Quel est son nombre de voix ?
2. Dans la commune B, il a obtenu 792 voix, soit 36 % des voix.
Quel est le nombre de votants ?
3. Dans la commune C, il a obtenu 750 voix sur 2 500 votants.
Quel est le pourcentage de voix obtenues ?
4. On réunit les trois communes. Donner le pourcentage de voix obtenues par rapport au nombre de votants.
On arrondira le résultat au centième.
Solution 3.
Nombre de voix
32
32
= 32 % =
. On en déduit : Nombre de voix = 2 500 ×
= 800.
2 500
100
100
36
792 × 100
792
= 36 % =
. On en déduit : Nombre de votants =
= 2 200.
2.
Nombre de votants
100
36
750
= 0, 3 = 30 %.
3. Pourcentage de voix obtenues =
2 500
800 + 792 + 750
2 342
4. Pourcentage de voix obtenues dans les trois communes =
=
≃ 32, 53 %.
2 500 + 2 200 + 2 500
7 200
1.
Exercice 4 (8 points)
B
La figure ci-contre n’est pas représentée en vraie grandeur.
On donne :
– AB = 1,3 cm
– BC = 8,4 cm
– AC = 8,5 cm
– CD = 6,8 cm
– le triangle ADC est rectangle en D.
8,4 cm
1,3 cm
8,5 cm
A
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
2. Calculer la longueur du côté [AD].
C
6,8 cm
D
3. Calculer l’aire et le périmètre du quadrilatère ABCD.
4. Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera la position du centre O et
la valeur exacte du rayon r.
Solution 4.
1. Utilisons la réciproque du théorème de Pythagore.
Comparons AC 2 et AB 2 + BC 2 .
AC 2 = 8, 52 = 72, 25 et AB 2 + BC 2 = 1, 32 + 8, 42 = 1, 69 + 70, 56 = 72, 25.
On a donc : AC 2 = AB 2 + BC 2 , ce qui prouve que le triangle ABC est rectangle en B.
2. Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle ACD rectangle en D.
AD2 =pAC 2 − CD2 = 8, 52 − 6, 82 = 72, 25 − 46, 24 = 26, 01.
AD = 26, 01 = 5, 1 cm.
AD × DC
1, 3 × 8, 4 5, 1 × 6, 8
AB × BC
+
=
+
= 5, 46 + 17, 34 =
3. A (ABCD) = A (ABC) + A (ACD) =
2
2
2
2
2
22, 8 cm .
p (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 1, 3 + 8, 4 + 6, 8 + 5, 1 = 21, 6 cm.
4. ABC est un triangle rectangle en B. Le cercle circonscrit à ce triangle a pour diamètre l’hypoténuse [AC].
ABD est un triangle rectangle en D. Le cercle circonscrit à ce triangle a pour diamètre l’hypoténuse [AC].
Ce cercle passe donc par les quatre points A, B, C et D.
Son centre est le milieu du segment [AC] et son rayon r vaut 4,25 cm.
Exercice 5 (Bonus : 2 points).
L’âge de Pierre est la moitié de celui de son frère Jean.
Dans 10 ans, ils auront 38 ans à eux deux.
Quels sont leurs âges ?
Écrire une équation.
Solution 5.
Soit P l’âge de Pierre.
Aujourd’hui
Age de Pierre P
Age de Jean
2P
Dans 10 ans
P + 10
2 P + 10
On a donc l’équation : (P + 10) + (2 P + 10) = 38.
Soit 3 P + 20 = 38. On en déduit 3 P = 18 et P = 6.
Pierre a donc 6 ans et Jean 12 ans.