Test 2

EPFL - Section de Mathématiques
Année 2015-2016
Anneaux et corps
Prof. Eva Bayer Fluckiger
Section Mathématiques
Test 2
Mercredi 25 mai 2016
16h15 – 18h00
Nom : .................................................................................
Prénom : ...........................................................................
Aucun document n’est autorisé. Les calculatrices sont interdites.
Ne pas défaire l’agrafe du document. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons.
Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans l’évaluation.
Exercice 1.
Soit f := X 3 + X 2 + 1 ∈ (Z/2Z)[X].
1. Montrer que f est irréductible dans (Z/2Z)[X].
2. Quel est le cardinal de K := (Z/2Z)[X]/(f ) ? Justifier.
3. Montrer que f se décompose en facteurs de degré 1 sur K.
Exercice 2.
√
Soit d un entier positif divisible par aucun carré parfait, excepté 1. Soit Ad := Z[ −d].
√
1. Montrer que tout élément de Ad est de la forme a + b −d pour certains a, b ∈ Z.
√
2. Soit N : Ad → N, défini par a + b −d 7→ a2 + db2 .
Montrer que N(α · β) = N(α) · N(β) pour tout α, β ∈ Ad .
3. Calculer #A∗d . Justifier.
4. Montrer que si d > 2, alors Ad n’est pas factoriel.
Exercice 3.
Soit p un nombre premier.
1. Soit f := X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 un polynôme dans Z[X] (où n ≥ 1).
Supposons que p|ai pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1} et que p2 ne divise pas a0 . En utilisant
l’homomorphisme φ : Z[X] → (Z/pZ)[X] de réduction des coefficients modulo p, montrer
que f est irréductible dans Z[X].
2. Soient f1 := X 4 + 10X 3 + 5X + 15 et f2 := X 4 + 2X 2 + 1 dans Q[X]. Est-ce que les
anneaux Q[X]/(f1 ) et Q[X]/(f2 ) sont isomorphes ? Justifier.