CHAPITRE 6 – ELEMENTS FINIS DE CONTRAINTES PLANES

CHAPITRE 6 – ELEMENTS FINIS DE CONTRAINTES PLANES
Nous nous intéressons au cas des structures continues planes, chargées dans leur plan, donc se
déformant en restant planes. Nous pouvons parler de cas de contraintes planes quand ces
structures, qui sont en fait des plaques de contour quelconque, possèdent une épaisseur faible
devant les deux autres dimensions (voir figure 1). Cette propriété permet de considérer que les
contraintes dans la direction normale au plan sont négligeables. Les problèmes où il existe un
chargement susceptible de générer de la flexion transversale ne sont donc pas des problèmes à
contraintes planes (pour ces problèmes, il faudra utiliser des éléments de la famille plaque ou
coque). Dans ce chapitre, nous définissons la matrice de rigidité de l’élément de contrainte
plane le plus simple, l’élément triangulaire à 3 nœuds, et nous donnons quelques informations
sur les autres éléments existants.
Ame d’une poutre
Plaque percée
Figure 1 – Exemples de structures sollicitées en contraintes planes
1 – RAPPEL DES PROPRIETES EN CONTRAINTES PLANES
Nous utiliserons le plan (Oxy) comme plan moyen de la plaque. Nous rappelons que les
hypothèses mises en place dans le cas des contraintes planes conduisent à considérer que :
σ zz = σ zx = σ zy = 0 , soit encore : ε zx = ε zy = 0 . La composante ε zz n’est pas nulle mais peut se
ν
(σ xx + σ yy ) = − ν (ε xx + ε yy ).
E
1- ν
Au cours de la déformation, une fibre transversale (prise dans la direction z), subit :
- une translation u dans la direction x
- une translation v dans la direction y
- une dilatation ε zz dans la direction z.
déduire des autres termes par : ε zz = −
Dans le cadre d’une formulation matricielle, nous avons :
[
= [ε
]
], ε
σ T = σ xx
σ yy
σ xy
εT
ε yy
2 ε xy
xx
zz
se déduisant des autres termes
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 6 – Page 1
U T = [u
v]
0 
∂ ∂x

C= 0
∂ ∂y 
∂ ∂y ∂ ∂x 
et

E 
D=
1− ν2 

1
ν
0
ν
1
0
0
0
(1 − ν )



2
Notons que la matrice D prend une forme particulière en contraintes planes à cause de la prise
en compte indirecte du terme ε zz .
2 – ELEMENT TRIANGULAIRE A CHAMP LINEAIRE
L’élément de contrainte plane le plus simple est le prisme triangulaire d’épaisseur h. Les
nœuds associés sont les 3 points de la fibre moyenne situés aux sommets du triangle.
2.1 – Discrétisation de la structure
La structure doit être divisée en éléments finis de forme triangulaire. Quand le contour de la
plaque n’est pas polygonal mais courbe, le modèle tronque nécessairement certaines parties en
périphérie. L’analyse pourra donc porter sur une géométrie approchée. A nombre égal
d’éléments, il existe une infinité de décompositions possibles. Les propriétés qui seront mises
en évidence plus loin montrent que la précision des résultats obtenus dépend de la finesse du
maillage, notamment dans les zones à fort gradient de contrainte. Il faut donc accentuer la
densité des éléments dans ces zones quand elles présentent un intérêt pour l’étude.
yj
yk
j
k
M
y
yi
i
O
xk xi
Maillage libre sous IDeas
x
xj
Maillage réglé
Figure 2 – Exemples de discrétisations
2.2 – Approximation du champ de déplacement.
Isolons un élément fini e. Les 3 nœuds de l’élément e, notés ici de manière générique i, j et k,
sont repérés par ordre croissant dans le sens trigonométrique. Les coordonnées des nœuds
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 6 – Page 2
dans le repère global sont notées : (xi , yi) pour le nœud i, (xj , yj) pour le nœud j et (xk , yk)
pour le nœud k. Nous utilisons ici directement le repère global de la structure et non un repère
local de l’élément.
vj
vk
k
y, v
u
M
vi
uj
j
uk
v
ui
i
x, u
Figure 3 – Déplacements
Le point courant M, de coordonnées (x , y) dans le repère global subit un déplacement U de
composantes (u , v). Le vecteur des déplacements nodaux de l’élément est :
[
q eT = u i
vi
uj
vj
uk
vk
]
Pour établir une relation entre U et qe, nous devons, à ce stade, définir une approximation du
champ des déplacements à l’intérieur de l’élément e. La solution la plus simple est celle qui
s’appuie sur deux polynômes du premier degré :
u (x, y ) = a 0 + a 1 x + a 2 y

v(x, y ) = a 3 + a 4 x + a 5 y
(1)
Nous avons introduit autant de coefficients inconnus ah qu’il y a de déplacements nodaux, il
est donc possible d’établir leurs expressions. Les relations de départ sont :
 u i = a 0 + a1 x i + a 2 yi
 v =a +a x +a y
3
4
i
5
i
 i
 u j = a 0 + a 1 x j + a 2 y j

 v j = a3 + a4 x j + a5 y j
u k = a 0 + a 1 x k + a 2 y k

v k = a 3 + a 4 x k + a 5 y k
La résolution de ce système linéaire et la substitution des coefficients ah dans l’équation (1)
conduit à la relation suivante, de la forme U = A qe :
 ui 
v 
 i
u   N1 0 N2 0 N3 0   u j 
 v  =  0 N1 0 N2 0 N3  v 
  
 j 
u k 
 
 v k 
où N1, N2 et N3 sont trois fonctions d’interpolation définies par :
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 6 – Page 3
[
]
 N1(x , y ) = x j y k − x k y j + (y j − y k ) x + (x k − x j ) y ∆

 N2(x , y ) = [x k y i − x i y k + (y k − y i ) x + (x i − x k ) y] ∆
 N3(x , y ) = x y − x y + (y − y ) x + (x − x ) y ∆
i
j
j
i
i
j
j
i

[
]
et ∆ = (x j y k − x k y j ) − (x k y i − x i y k ) + (x i y j − x j y i ). ∆ représente l’aire du triangle i-j-k.
Remarque. Il faut noter que le champ des déplacements que nous obtiendrons sur l’ensemble
de la structure sera continu au passage de la frontière entre deux éléments, et cela quelles que
soient les valeurs prises par les déplacements nodaux. En effet, si on considère un point M
appartenant à une frontière, on peut montrer à partir des résultats ci-avant que les
déplacements u et v de M dépendent des déplacements de seulement deux nœuds, ceux qui
bornent cette frontière. Par exemple, si M est pris sur le coté i-j, alors u et v dépendent
seulement de ui, vi, uj et vj (et pas de uk et vk car N3 = 0). Cette propriété est également
vérifiée dans l’élément adjacent, d’où la continuité du champ.
2.3 – Déformations et contraintes.
La relation déformations-déplacements ε = C U s’écrit dans ce cas :
 ε xx  ∂ ∂x
0 
 

∂ ∂y 
 ε yy  =  0
2 ε xy  ∂ ∂y ∂ ∂x 


0 
∂ ∂x
 N1 0 N2 0 N3 0 
u  
∂ ∂y  

v =  0
  ∂ ∂y ∂ ∂x   0 N1 0 N2 0 N3


ui 
v 
 i
u j 
 
vj 
u k 
 
 v k 
d’où la relation suivante, de la forme ε = B qe :
 ε xx   N1,x
 

 ε yy  =  0
2 ε xy   N1, y
 

y j − yk
 ε xx 

 1 
 ε yy  = ∆  0
x k − x j
2 ε xy 



0
N2 , x
0
N3, x
N1, y
0
N2 , y
0
N1, x
N2 , y
N2 , x
N3, y
ui 
v 
0  i
 u 
N3, y   j 
v
N3, x   j 
u k 
 
 v k 
0
yk − yi
0
yi − y j
xk − x j
0
xi − xk
0
y j − yk
xi − xk
yk − yi
x j − xi
ui 
v 
0  i
 u 
x j − xi   j 
v
y i − y j   j 
u k 
 
 v k 
Notons que les termes de la matrice B ne dépendent plus ni de x, ni de y. La loi de Hooke
σ = D ε s’écrit :
σ xx 
E


σ yy  = 1 − ν 2
σ xy 






Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
1
ν
0
ν
1
0
0
0
(1 − ν )



2
 ε xx 


 ε yy 
2 ε xy 


Ch. 6 – Page 4
d’où la relation suivante, de la forme σ = D B qe :
σ xx 

E



σ
=
 yy  1 − ν 2 ∆ 
σ xy 



(
)
1
ν
0
ν
1
0
0
0
(1 − ν )
 y j − yk
 0

2  x k − x j
y k − yi
0
xi − xk
0
xk − x j
y j − yk
0
xi − xk
yk − yi
yi − y j
0
x j − xi
ui 
v 
0  i
 u 
x j − xi   j 
v
y i − y j   j 
u k 
 
 v k 
Remarque. N1, N2 et N3 étant des fonctions linéaires de x et de y, les termes N1,x, N1,y… et
N3,y ne dépendent plus de x et de y. En conséquence, les déformations et les contraintes
obtenues par cette approche seront uniformes dans tout l’élément. Contrairement aux
déplacements, les déformations et les contraintes ne seront pas continues au passage de la
frontière entre deux éléments.
2.4 – Matrice de rigidité de l’élément.
Rappelons que la matrice de rigidité Ke de l’élément e est définie par la relation :
1 eT e e
1 T
We = ∫
σ ε dv =
q K q
(2)
V2
2
où We est l’énergie de déformation de l’élément. Sachant que σT = qeT BT D et ε = B qe , la
relation (2) induit, de manière générique, que :
(
)
K e = ∫∫∫ BT D B dv
V
Dans notre cas, les termes de B et D étant indépendants de x et y, nous avons :
(
)
(
K e = ∫∫ B T D B h dx dy = h ∆ B T D B
∆
)
Tous calculs faits, la matrice de rigidité élémentaire peut être mise sous la forme suivante :
K e = K eN + K eC
où K eN représente la rigidité due aux contraintes normales et K eC celle due au cisaillement :

(y j − y k )2

(y k − y i )2
 (y j − y k )(y k − y i )

(
)(
)
(yi − y j )2
(y k − y i )(yi − y j )
y − y k yi − y j
Eh
 j
K eN =
4 ∆ 1 − ν 2  ν (y j − y k )(x k − x j ) ν(y k − y i )(x k − x j ) ν(y i − y j )(x k − x j )
 ν(y − y )(x − x ) ν(y − y )(x − x ) ν(y − y )(x − x )
k
i
k
k
i
i
k
i
j
i
k
 j
 ν(y j − y k )(x j − x i ) ν(y k − y i )(x j − x i ) ν(y i − y j )(x j − x i )
(
)

(x k − x j )2

(x k − x j )(x i − x k )
 (x − x )(x − x )
E
h
j
j
i
 k
K eC =
8 ∆ (1 + ν )  (x k − x j )(y j − y k )
(x − x )(y − y )
j
k
i
 k
 (x k − x j )(y i − y j )
(x
(x
(x
k
k
− xj)
2
k
− x j )(x i − x k )
− x j )(x j − x i )
(x i − x k )2
(x i − x k )(x j − x i )
(x i − x k )2
(x j − x i )2
(x i − x k )(x j − x i )
(y j − y k )2
(x i − x k )(y j − y k ) (x j − x i )(y j − y k )
(x i − x k )(y k − yi ) (x j − x i )(y k − yi ) (y j − y k )(y k − yi )
(y k − y i )2
(x i − x k )(yi − y j ) (x j − x i )(y i − y j ) (y j − y k )(y i − y j ) (y k − yi )(yi − y j )
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor









SYM
(x
− xi )
2
j
SYM
(y
− yj)
2
i









Ch. 6 – Page 5
2.5 – Exemple.
Considérons une plaque rectangulaire (300mm x 100mm x 2mm, E = 207Mpa, ν = 0.29)
chargée uniformément sur le bord supérieur (50N/mm) et reposant sur des appuis simples au
niveau des deux coins inférieurs. La figure 4 illustre quatre maillages réguliers à base
d’éléments triangulaires à champ linéaire :
- 24 éléments, 21 nœuds, 42 d.d.l.
- 96 éléments, 65 nœuds, 130 d.d.l.
- 384 éléments, 225 nœuds, 450 d.d.l.
- 1536 éléments, 833 nœuds, 1666 d.d.l.
Figure 4 – Différents maillages d’une plaque rectangulaire
X (mm)
0
50
100
150
200
250
300
0
24 éléments
-0,05
96 éléments
Flèche (mm)
384 éléments
-0,1
1536 éléments
-0,15
-0,2
-0,25
-0,3
Figure 5 – Flèche obtenue sur le bord inférieur
La figure 5 donne la flèche obtenue par la MEF au niveau du bord inférieur pour chacun de
ces maillages. Notons la lenteur de la convergence qui est une caractéristique de ce type
d’élément. Les résultats obtenus avec peu d’éléments s’approchent de ceux de la théorie des
poutres (celle négligeant le cisaillement) alors que les résultats avec un très grand nombre
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 6 – Page 6
d’éléments tendent vers ceux obtenus par la théorie de l’élasticité. Remarquons que les
déplacements augmentent quand le maillage s’affine. Nous pouvons en conclure que plus le
maillage est grossier, plus la MEF sous-estime les déplacements.
3 – ELEMENT TRIANGULAIRE A CHAMP QUADRATIQUE
Nous présentons brièvement un élément triangulaire de contrainte plane un peu plus
sophistiqué. Celui-ci possède 6 nœuds : 3 situés aux sommets du triangle, les 3 autres aux
milieux des trois côtés.
k
l
m
y, v
v
n M
i
u
j
x, u
Figure 6 – Elément triangulaire à champ quadratique
Comme dans le cas précédent, le point courant M subit un déplacement U de composantes
(u , v). Le vecteur des déplacements nodaux de l’élément est :
[
q eT = u i
vi
uj
vj
uk
vk
ul
vl
um
vm
un
vn
]
Nous pouvons dans ce cas utiliser une interpolation quadratique des déplacements à l’intérieur
de l’élément :
u (x, y ) = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 x y + a 5 y 2

2
2
v(x, y ) = a 6 + a 7 x + a 8 y + a 9 x + a 10 x y + a 11 y
(1)
Les douze coefficients inconnus ah s’expriment de façon unique en fonction des douze
déplacements nodaux. Nous pouvons mettre en place la relation U = A qe où la matrice
d’interpolation A est de la forme :
 N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 N5 0 N6 0 
A=

 0 N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 N5 0 N6
Les six fonctions d’interpolation N1, N2… N6 sont dans ce cas des fonctions quadratiques
(second degré) de x et y. Leur nature fait que la continuité du champ U des déplacements au
passage de la frontière entre deux éléments adjacents est obtenue.
ε, σ et D sont de la même nature que dans le cas précédent. Par contre, la matrice B = D C
s’écrit ici :
 N1, x

B= 0
 N1, y

0
N2 ,x
0
N3, x
0
N4 , x
0
N5 , x
0
N6 , x
N1, y
0
N2 , y
0
N3, y
0
N4 , y
0
N5 , y
0
N1, x
N2 , y
N2 , x
N3, y
N3, x
N4 , y
N4 , x
N5 , y
N5 , x
N6 , y
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
0 

N6 , y 
N6 , x 
Ch. 6 – Page 7
Les coefficients de cette matrice sont des fonctions linéaires de x et y. Les déformations et les
contraintes obtenues par cette formulation varient donc linéairement à l’intérieur de chaque
élément. De ce fait, les termes de la matrice K e = ∫∫ (B T D B) h dx dy ont des expressions
∆
plus complexes que dans le cas de l’élément précédent.
A nombre de d.d.l. identique, ce type d’élément donne des résultats plus précis que ceux
fournis par l’élément à 3 nœuds (champ linéaire). Reprenons à titre d’exemple le cas de la
plaque rectangulaire introduit au paragraphe précédent. La figure 7 illustre un maillage à 96
éléments, 225 nœuds, 450 d.d.l..
Figure 7 – Maillage d’une plaque rectangulaire à base de triangles à champ quadratique
Ce modèle peut être comparé au maillage à 384 éléments triangulaires à champ linéaire qui
conduisait au même nombre de nœuds et de d.d.l.. La figure 8 permet de constater que les
résultats obtenus par les deux types d’éléments triangulaires ne sont pas identiques. La flèche
obtenue avec les éléments à champ quadratique sont plus précis, ils se rapprochent ici des
résultats obtenus avec le modèle à 1536 éléments à champ linéaire.
0
50
100
X (mm)
150
200
250
300
0
Flèche (mm)
-0,05
linéaire
quadratique
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
-0,3
Figure 8 – Comparaison des résultats obtenus à partir des deux types d’éléments triangulaires
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 6 – Page 8
4 – AUTRES ELEMENTS
La figure 9 montre que la communauté scientifique et technique a développé un nombre
important d’éléments de contraintes planes.
Triangles
Quadrilatères
Linéaire
Quadratique
Cubique
Linéaire
Quadratique
Cubique
C.S.T. 6 ddl
L.S.T. 12 ddl
Q.S.T. 20 ddl
Q4 8 ddl
Q8 16 ddl
Q12 24 ddl
Q8 Lagrange
Q12 Lagrange
Isoparamétrique
Isoparamétrique
Isoparamétrique
Isoparamétrique
Figure 9 – Différents types d’éléments de contrainte plane
Reprenons l’exemple de la plaque rectangulaire utilisé dans les paragraphes précédents. La
figure 10 illustre un maillage à 48 éléments quadrilatères à champ quadratique, 177 nœuds,
354 d.d.l..
Figure 10 – Maillage d’une plaque rectangulaire à base de quadrilatères à champ quadratique
Ce modèle peut être comparé au maillage à 96 éléments triangulaires à champ quadratique
(celui de la figure 7) qui conduisait à 225 nœuds et 450 d.d.l.. La figure 11 montre que, bien
que le nombre de d.d.l. considéré soit moindre, la flèche obtenue avec les quadrilatères est
plus précise que celle obtenue par les triangles.
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 6 – Page 9
0
50
100
X (mm)
150
200
250
300
0
Flèche (mm)
-0,05
96 triangles
48 quadrilatères
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
-0,3
Figure 11 – Comparaison des résultats obtenus à partir des deux types d’éléments triangulaires
Lorsqu’on doit résoudre un problème donné, différents choix sont envisageables, parmi
lesquels deux choix extrêmes :
- retenir les éléments les plus simples (linéaires) et effectuer un maillage très fin
- retenir des éléments d’ordre élevé et effectuer un maillage relativement grossier.
Il n’est pas possible d’affirmer qu’une technique est plus avantageuse qu’une autre dans tous
les cas (de nombreux paramètres rentrent en ligne de compte, par exemple la qualité des
maillages utilisés). Mais l’étude de nombreux cas tests a permis de dégager des tendances et
des règles :
- Les éléments à base de quadrilatères donnent de meilleurs résultats que les
éléments à base de triangles
- A nombre de degrés de liberté équivalent (nombre de composantes du vecteur q
global), les éléments à champ quadratique offrent une meilleure précision que les
éléments à champ linéaire.
- L’utilisation d’éléments allongés est à proscrire, la dégradation des résultats
pouvant être très significative.
- Pour les problèmes où il existe des gradients de contraintes importants, il est
préférable de mettre en œuvre des quadrilatères à champ quadratique qui offrent un
bon compromis entre précision et complexité (lourdeur du modèle).
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 6 – Page 10
5 - EXERCICES
Exercice 6.1 –
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 6 – Page 11